跨学科到底怎么跨|乘方|加法|宇宙|无穷大|自然数|跨学科|逆运算

开篇先预告一场直播闲聊局：

又是一个周三，这周发一篇孩子曾经跟我交流的内容。当时七七问哥哥，最大的数是什么？哥哥在回答了很多后，自己也想到了一个跨越学科的内容。我们经常会听到“跨学科”“底层”“本质思考”“追问源头”等各种内容，这篇文字可以作为一个小小引子，供弟弟妹妹们参考，希望弟弟妹妹们能有更多思考和想象。

当学东西变成提问、探索、解谜，学东西就不再是苦差事，而是会变成真正的快乐之一。大家一定要相信，真正保有好奇心和想象力，保有热情，不去磨灭，是会有求知欲和探索欲的。

下面内容，是把小孩聊天的内容导出成文字。

算数里定义的那些数字，究竟有什么意义？

比如我们刚开始学算术时，都是从认识数字起步的。拿数苹果举例，我们把苹果抽象成数字1、2、3、4……这个过程有个关键前提——这些苹果是完全等价的，它们是一个个完全一样的单位。只有满足“单位同质”这个假设，我们才能对它们进行计数运算。

如果说得更抽象一点，在数学里，装着这些同质单位的“容器”可以叫作集合。现在假设有两个这样的容器，它们可能一样，也可能不一样，那它们的差别到底体现在哪里？我们先不考虑元素的数量，只看单个元素本身——既然我们已经假定容器里装的都是完全相同的单位，那么元素本身没有任何差别。

如此一来，两个容器唯一的差别，就在于它们所装单位的数量多少。

我们不仅忽略了单位的外形、颜色这些直观特征，还忽略了单位的空间位置与排列顺序。所以只要两个容器内的单位个数相同，这两个容器就是完全等价的。在数学中，我们会指定0、1、2这样的数字来对应不同数量的单位。单位数量与容器之间是一一对应的关系：数量本身就可以代表一个容器。

如果我们定义一个“没有任何单位的容器”，并将它称为零，那么零就成了一个基准。以此为基础，所有包含大于零个单位的容器，它们的数量都可以被唯一确定。从0开始，我们就有了清晰的数字序列，来对应所有不同数量的容器。

把两个容器合并成一个容器的过程，就是算数里的加法。合并过程中，单位的性质没有发生任何变化，变化的只有单位的总数量。在自然数的范畴里，乘法并不是一种本质运算，它只是重复加法的简便表达；同理，乘方也是多次乘法的简便表达，这些都属于衍生运算。

那减法该如何定义？在自然数中，给定两个代表容器数量的数A和B，如果能找到一个数C，使得C对应的容器和B对应的容器合并后，总量等于A对应的容器，也就是C+B=A，那么C就可以定义为A-B。由此可见，减法的本质是加法的逆运算。但减法在自然数中并不封闭——当A小于B时，我们找不到对应的自然数C，于是负数就被创造出来了。

负数已经无法用现实中“单位的个数”来理解，只能通过逆运算的逻辑来定义。在群论中，整数集合对于加法运算构成一个加法群：它满足封闭性，任意两个整数相加结果还是整数；它存在单位元，也就是零——任何容器与零容器合并，单位数量都不会改变；它还存在逆元，一个正数的逆元就是对应的负数，二者相加结果为零。

有了负数，再通过乘法的逆运算——除法，我们就能构造出所有的有理数；通过乘方的逆运算——开方，又能定义出大部分无理数。但像π这样的超越数，无法通过根式来表达，不过如果允许无穷级数的形式，我们可以借助泰勒展开，将它表示为无穷项的和。

回到之前的容器假设，如果我们不再忽略单位的空间位置，允许单位在空间中的位置存在差异，同时保持单位的其他性质完全相同，那么算数就延伸成了几何。我们可以设定一个基准的空间关系，也就是坐标原点和X、Y轴的正方向，这样每个单位在空间中的位置就都能被唯一确定。

如果我们认为空间是不连续的，那就是离散几何，空间中任意一点的坐标分量都是整数；如果我们用完全连续的实数来定义空间，那就是连续几何，此时空间中几乎所有的点，都能通过一组X轴和Y轴的分量来唯一确定。

到这里，几何还能进一步与物理联结。物理中最简单的运动公式是X=Vt，也就是位移等于速度乘以时间。初中物理里的s-t图像，描述的是位移随时间的变化关系。在这个模型里，时间是一个独立于空间的分量——现实中，空间是自由的，而时间是单向流动、不可回溯的，速率恒定，这就是时间与空间的本质区别。正是这种区别，让时间被单独拎出来，进而诞生了基础的运动物理。

但从更本质的视角来看，在经典物理的范畴内，一个事件的发生，或者一个物体的位置，都可以唯一表示为空间分量与时间分量的结合——这其实就是四维时空里的一个坐标点。如此一来，最基础的运动物理，就转化成了四维时空的几何问题。

再比如速度的概念，平均速度是位移与时间的比值，而瞬时速度，其实就是s-t图像上某一点的切线斜率。计算斜率是解析几何的内容，最终又能转化为算数运算。

当我们把物理问题转化为几何问题时，其实是忽略了时间与空间的差异性，将二者合并成了一个均匀的多维空间。而越往后衍生的学科，其实是在更高的抽象层面上，增加了新的假设条件——比如运动物理，就是在几何的基础上，增加了“时间与空间不对称”的假设。但在特定情况下，这些衍生学科又可以通过简化假设，重新回归到更基础的学科：比如当我们只需要计算s-t图像的切线斜率时，就不需要强调时间和空间的差异，完全可以把它当作一个纯粹的几何问题来处理。

从算数到几何，再从几何到基础物理，我们能清晰地看到一条逻辑链条：算数是所有学科的底层基石，通过逐步增加假设条件，就能延伸出不同的学科分支。算数的核心是“同质单位”，几何增加了“空间位置”的假设，物理又增加了“时间单向性”的假设。这些假设层层叠加，构建出了我们对世界的认知体系。

文章核心关键点：

算数底层：数苹果的本质是“同质单位”的计数，数字是单位数量的映射，0是定义所有数字的基准。

运算逻辑：加法是集合合并的本质运算，减法、乘法、乘方均为加法的衍生或逆运算，负数的诞生是为了满足减法的封闭性。

学科延伸：算数增加“空间位置”假设→几何；几何增加“时间单向性”假设→基础运动物理，学科本质是底层逻辑+专属假设的叠加。

跨学科联结：物理中的运动、速度问题，最终都能拆解为几何的斜率计算，回归到算数的底层运算。

这几年，拿云妈妈一直在跟我说，培养七七的时候要“打通底层逻辑”，“培养跨学科的思维”，这些词，即使我读过无数资料，依然会觉得有些飘在空中，不知如何落地。

但即使还没想明白跨学科怎么跨，我也有自己最为朴素的想法和做法。比如，跨学科的前提，肯定是对各学科基础知识有所了解吧，那就多看科普，增加知识的广度；打通底层逻辑就更好执行了，就是不管学什么，都避免无脑刷题，不争一时进度的快慢，真正想明白一个问题，可能会比多刷100道题对孩子更有帮助。然后就是，不要制止孩子天马行空的各种傻问题，或许在他们的思考过程，就是跨学科最早的雏形。

就像前天晚上睡前，小七拉着我讨论无穷大和无穷多有什么区别（无穷大他之前问过拿云），我手机在充电也没办法查AI，于是硬着头皮跟他说无穷多，更像我们对现象的描述，比如天空中的星星无穷多，而无穷大，是一个数学概念，表示数量无穷大，比如天上星星的数量是无穷大的。因为宇宙的边界完全未知，它总是比我们了解的更多一点儿，宇宙没有极限，他包含的星体在数量上就会无穷大。他加了几个数，聊了会儿宇宙，就忽悠他赶紧睡了，因为我怕自己瞎发挥讲错了，但哪怕再没底，那个当下，我也没拿瞎想啥来阻止他。

或许很多家长，能做到的，也就是我那样吧，虽然讲不明白，但也会鼓励思考。但因为小七刚跟我瞎聊完，看完这篇文章，我由衷地觉得拿云妈妈的这个分享，不管是现在我看，拓展一个全新的思路，还是未来直接给孩子看，都会非常有价值。

学科间如何联系，尤其理科间如何联系，这篇文章，就是一个最生动、最精彩的示范。它没有喊口号，而是平静地、一步步地，向我们展示了孩子如何从“数苹果”这件最简单的事出发，一路漫步，最终抵达了物理学的时空概念。

这其中的奥秘在哪里？我认为关键就在于文中的两个字：“假设”。

真正的跨学科，不是知识的简单堆砌，而是对“假设”的洞察与游戏。文章讲的比较具体，可能会看起来复杂，我帮大家梳理下：

当我们数苹果时，我们做了一个强有力的假设：每个苹果都是同质的。我们忽略了它们的大小、色泽、甜度，只把它们看作一个个相同的“1”。没有这个假设，计数就无法开始。

接着，如果我们改变假设，不再忽略每个点的空间位置，那么算术就伸展成了几何。

我们再增加一个假设，承认时间与空间的不同（时间单向流动），那么在几何的舞台上，就上演了物理的篇章。

拿云像拆解乐高一样，把数学和物理这两座大厦，拆回了最基础的“假设”积木。他发现，大厦看似不同，但底层的积木是相通的。所谓“打通”，就是看清了这些积木是如何搭建起来的。

这给我们什么启发呢？尤其是在引导孩子学习时？

它告诉我们，比起催促孩子刷更多题、记住更多公式，或许更有价值的是，多问一句 “为什么？” 和 “如果不这样呢？”：

• “为什么1+1=2？” 这背后是“同质单位”的假设。

• “如果不忽略位置，会怎样？” 这就导向了几何。