12月27日直播开讲：人耳如何分离不同音调？|《线性代数：一名合格科研人的筑基课》第二课预告|信号|向量|数学|特征值|科学|线性代数：一名合格科研人的筑基课|音调

导语

当我们聆听交响乐时，为何能清晰分辨出不同乐器的声音？这背后隐藏着一个强大的数学思想：正交分解。它不仅是公式，更是一种“解耦”的思维模式，帮助我们在混沌中建立秩序，在复杂中识别核心。

本课程将从这一直觉出发，揭示内积与正交性如何成为衡量相关性、构建独立坐标系的基石。我们将探讨如何用格拉姆-施密特方法“锻造”出纯净的数学坐标，并将视野延伸至无穷维的奇妙空间。更重要的是，本课程将结合科研实例，讨论这种“正交思维”如何在处理高度耦合的数据、简化复杂系统时发挥关键作用，并反思其适用的边界。

集智学园联合清华大学数学博士诸葛昌靖老师推出「」，并邀请武汉大学数学与统计学院周进教授于1月20日、1月27日就特征值与特征向量在复杂网络中的应用做特别加餐分享。课程已于12月20日开启，早鸟价将于本讲结束后截止。

主题：线性空间与线性映射（下）

课程简介

当我们聆听交响乐时，为什么能够在混杂的空气振动中，清晰分辨出小提琴的高亢与大提琴的低沉？在物理层面，空气中传播的其实只是一个叠加后的混合波形，而人耳却能将其中不同成分“分离”出来。这一过程的本质，正与线性代数中“正交分解”的思想高度相似。

如果说上一讲的线性变换关注的是“结构如何在映射中发生变化”，那么本讲将进一步引入内积这一关键概念，讨论如何在向量空间中刻画“方向”“长度”与“相互关系”。内积不仅是一个计算公式，它为向量空间赋予了几何意义，使我们能够讨论角度、距离以及正交性，从而建立起更加精细的结构认知。

围绕“为什么需要内积、它解决了什么问题”这一核心问题，课程将系统介绍内积空间的基本性质，并通过Gram–Schmidt 正交化方法，展示如何在具体计算与建模中构造合适的正交基。同时，课程将视野拓展至无穷维情形，帮助学习者理解内积思想在函数空间中的一般意义。

结合真实科研与复杂系统研究中的案例，本讲将展示正交分解如何作为一种重要的分析工具，参与到结构识别与问题求解之中。通过学习，学习者不仅能够掌握内积空间的基本概念与方法，更将逐步形成一种在复杂问题中寻找“相互独立结构成分”的分析视角。

课程大纲

实际应用：从耳朵识别频率引出内积(能量)的概念、Fourier 变换信号处理
内积空间的定义、内积的数学意义：长度、角度、正交性
“代数”与“证明”：公理化方法的逻辑思维与数学的用处
内积与线性相关性、正交化
线性无关的优点与缺点、标架
数学应用：微分方程的解（常微分方程、偏微分方程）、积分作为内积
无穷维内积空间(Hilbert空间)举例：函数空间、泛函、对偶空间
无穷的维数以及无穷求和的性质

课程关键词

内积空间、投影、结构化思维、Banach空间和Hilbert空间

概念解析｜正交（Orthogonality）在线性代数中，正交不仅意味着几何上的 90 度夹角，更代表着信息之间的零冗余。当两个向量（或函数、信号）正交时，它们在结构上彼此独立。这一性质是信号处理、特征工程与复杂系统分析得以成立的重要基础。

课程信息

课程主题：人耳如何分离不同音调？——内积与正交分解如何实现信号解耦
课程时间：12月27日（周六）晚 19:30–21:30
课程形式：
- 腾讯会议（会议信息见群内通知）
- 集智俱乐部视频号、B站直播
- 集智学园网站录播（3 个工作日内上线）

课程主讲人

北京工业大学数学统计学与力学学院副研究员，清华大学数学博士，研究方向：计算系统生物学。致力于数学与生物医学的交叉研究，聚焦癌症的演化机制及放化疗、血液病、网络药理学及传染病等复杂生物医学问题的多尺度动力学建模与分析。

特别加餐预告

课程简介：

在复杂网络的量化分析与结构解析中，矩阵是刻画网络拓扑特征的核心工具，而由矩阵衍生的特征值与特征向量，更是解锁网络内在规律的关键钥匙。那么，究竟有哪些矩阵与特征值、特征向量与复杂网络紧密相关？这些核心数学元素又如何为网络节点与边的重要性排序提供科学依据，进而帮助我们精准识别网络中的关键核心与薄弱环节？特别加餐将围绕上述问题展开探讨，深入剖析复杂网络语境下矩阵、特征值与特征向量的内涵，及其在网络重要性排序中的核心作用。

加餐时间：1 月 20 日、1 月 27 日19:30-21:30（具体安排见群内通知）

形式：腾讯会议（会议信息见课程群内通知）

面向对象：本课程学员

主讲人：周进

武汉大学数学与统计学院教授，博士生导师。二十年来，开展数学、复杂性科学、智能科学交叉研究，聚焦于复杂系统的集群控制和动力学分析。曾获国家自然科学二等奖，教育部自然科学一等奖，湖北省自然科学一等奖，获全国优秀博士论文提名及湖北省优秀博士论文。共发表学术论文71篇，其中第一作者/独立通讯作者论文65篇，全部为SCI或EI收录，包括物理学顶刊Physical Review Letters, 控制学三大顶刊IEEE Transactions on Automatic Control (长文和短文)、Automatica及SIAM Journal on Control and Optimization。所发表论文被国内国际引用总计近四千次。主持国家自然科学基金项目5项；参与专项研究项目1项，面上项目多项。指导的博士生获得国家自然科学基金青年学生基础研究项目 (博士研究生) 1项。作为骨干成员参与科技部国家重点研发计划1项。受邀在2024年第二十届全国复杂网络大会、2021年第十七届中国网络科学论坛及2016年第十二届全国复杂网络大会上做大会特邀报告；2021年在“集智俱乐部”组织的第二期和第三期复杂网络课程中，分别作了题为“复杂网络的同步”和“多层网络及其动力学”的专题讲座。

加餐主题：透视复杂网络的核心——特征值与特征向量初探
加餐大纲：
- 复杂网络与矩阵特征。从网络的邻接矩阵与Laplacian矩阵出发，理解网络结构如何通过矩阵形式被刻画。介绍特征值与特征向量在描述网络整体结构、连通性与稳定性中的基本作用。
- 复杂网络动力学与矩阵特征。讨论网络动力学过程（如同步、扩散、稳定性）与矩阵特征之间的关系，重点说明关键特征值及特征向量如何影响系统演化行为，以及特征值谱在动力学分析中的解释意义。
- 透视复杂网络“核心边”：讨论与网络结构和动力学有关的边中心性，展示如何利用矩阵特征刻画网络中对信息传播与动力学过程起关键作用的边，帮助理解网络中“重要连接”的形成机制。
- 透视复杂网络“核心节点”：从点中心性的角度出发，介绍基于特征向量的中心性指标，如PageRank、LeaderRank等，说明这些方法如何揭示网络中具有全局影响力的关键节点。