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华南理工大学数学学院姚若飞副教授

与西安交通大学陈红斌教授

澳门大学桂长峰教授合作的论文

Uniqueness of critical points of the second Neumann eigenfunctions on triangles

被世界四大顶尖数学期刊之一的

Inventiones Mathematicae

（《数学新进展》）在线发表

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论文截图

这也是自2025年以来

数学学院教师高水平成果

第二次被四大顶刊接受发表

凸显了学校和学院

在基础研究领域的持续突破与深厚潜力

系统攻坚：解开三角形上的关键谜题

这项研究源于一个已有 50 年历史、既经典又带着“生活温度”的数学猜想——“热点猜想”。

想象一个绝热的房间（墙壁既不吸热也不放热），若在某处短暂加热，热量便会从高温向低温扩散。随时间推移，温度逐渐趋于一致；但只要系统尚未完全均匀，房间内就仍会存在“最热点”与“最冷点”。直觉上，人们倾向于认为：在时间足够长但尚未达到平衡时，这些极热或极冷点更可能出现在墙面边缘，而非房间内部——这正是美国数学家 Rauch 于 1974 年提出的“热点猜想”。

从数学视角看，温度演化满足带有绝热（Neumann）边界条件的热方程。在时间足够长的情形下，温度分布主要由“衰减最慢的首个非平凡模式”主导，即拉普拉斯算子的第二Neumann特征函数（第一特征函数为常数，对应完全均温状态）。

因此，在数学家的眼里，热点猜想可等价表述为：对于平面上的凸区域，拉普拉斯算子的第二 Neumann 特征函数的最大值与最小值只能在区域边界处取得。

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半个多世纪以来，热点猜想持续吸引着国际数学界的广泛关注。菲尔兹奖得主 Wendelin Werner、陶哲轩，以及美国艺术与科学院院士、麻省理工学院 David Jerison 教授等多位顶尖学者，围绕不同几何区域和特殊情形取得了一系列重要进展。然而，作为最基本的凸多边形之一，平面三角形虽结构简明，其特征函数的精细行为分析却长期被认为极具挑战：它既是热点猜想研究中的关键难点，也是检验相关理论与方法的重要基础模型。

该论文聚焦三角形情形，开展了系统而深入的分析：不仅解决了菲尔兹奖得主陶哲轩于 2012 年在 Polymath Project 7 中提出的“最值精确位置”公开问题，还推进并完善了 Annals of Mathematics（2020）相关文章中提出的关于临界点的公开问题及其主要结论（该文后续修订指出原定理证明不完整），并对 David Jerison 教授提出的特征函数单调性问题给出了解答。此外，研究还就特征函数节点线位置、混合边值问题的特征值不等式等若干公开问题给出了进一步解答。

在三角形这一基础几何模型中，作者们围绕第二 Neumann 特征函数的一系列关键结构问题给出了系统且严格的结论；相关方法与结果可为谱几何、偏微分方程及相关方向的后续研究提供参考。

厚积薄发：十余年磨一剑的学术旅程

一项重要成果的背后，往往是漫长而扎实的积累。姚若飞自博士阶段初次接触这一难题起，至论文最终发表，前后跨越约13年；而真正进入集中攻关、反复打磨并完成投稿录用，则经历了五年的深度投入。这段历程并非一帆风顺：中途有过停滞与焦虑，但团队始终在一次次推演与修正中把问题向前推进。

在关键技术路线上，研究曾尝试以复分析思路切入，但进展受阻。随后，研究在团队成员桂长峰教授 2018 年发表于 Inventiones Mathematicae 的相关工作启发下，采用“直接证明对称性”的思路推进，局面由此逐步打开。与此同时，在持续的文献梳理中，团队还从一篇 2016 年的论文里注意到一个与特征值不等式相关的公开问题；对该问题的解决，恰好补齐了刚性论证中的最后一块关键拼图。

团队成员还分享了一个细节：关键证明的突破并非偶然，而是在一次需要长时间保持专注的间隙里，经由反复推演逐步贯通的——“当时我们就在脑海里一遍遍把思路过一遍，忽然将几个看似不相关的知识点串联起来，关键的证明路径也随之清晰浮现。”而这种“豁然开朗”，背后离不开前期大量文献的系统整理，以及团队长期的交流讨论与持续打磨。

论文的发表过程亦充满挑战。文章历经三次修改，审稿人的意见极为严苛，甚至要求仔细对比并论述与俄罗斯学者前期工作的具体差异。“顶级期刊的审稿非常严格，要求文章几乎完美无瑕。这个过程虽然痛苦，却极大提升了研究的严谨性与完整性。”姚若飞感慨。这段艰辛而充实的学术旅程，最终凝结为一项扎实而深刻的数学贡献。

学校、学院关心青年教师成长，为其创造优质且宽松的学术研究环境，也是姚若飞此次科研攻关成功的因素之一。长期以来，数学学院支持青年教师进行国内外学术交流与合作，常态化邀请知名学者指导青年教师开展科学研究、教育教学、项目申报等工作，助其迅速成长为学院学科骨干。

国际数学界公认的四大顶刊为Acta Mathematica（《数学学报》）、Annals of Mathematics（《数学年刊》）、Inventiones Mathematicae（《数学新进展》）、Journal of the American Mathematical Society（《美国数学会杂志》）。

其中

Inventiones Mathematicae

（《数学新进展》）创刊于 1966 年

被认为是全球最负盛名的数学期刊之一

自创刊以来

以在国际纯数学领域的顶尖影响力著称

同时

以极其严格的审稿标准

与对原创性和突破性的高要求闻名

论文录用率长期处于较低水平

通常仅接收具有重要理论创新

与实质性推进的研究成果

人|物|简|介

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姚若飞

姚若飞，西安交通大学博士，中南大学博士后，2020年12 月入职华南理工大学，被聘为准聘副教授。研究方向为偏微分方程理论及其应用。相关论文在Inventiones Mathematicae、Mathematische Annalen、SIAM Journal on Mathematical Analysis、Calculus of Variations and Partial Differential Equations、Journal of Differential Equations等期刊发表。

论文链接

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01398-x

党委宣传部（融媒体中心）

信息来源：数学学院

采写：李一粲 王荣鑫

微信编辑：鲍恩

初审：鲍恩

复审：卢庆雷

终审：夏正林

华工原创，版权所有

若需转载，敬请联络

邮箱：hgxcb@scut.edu.cn

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