Tony Phillips教授的数学读报评论2025-11|信息论|拓扑学|数学|聚类

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本月主题：

1、人类的五个拓扑学年龄阶段

2、超越网络：拓扑学与信息论

作者：Tony Phillips（石溪大学数学教授）2026-1-16

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-1-19

1、人类的五个拓扑学年龄阶段

一项针对 4216 名 0 至 90 岁受试者的新研究，运用拓扑学标准确定了大脑发育的五个不同时期。这些时期以 9 岁、32 岁、66 岁和 83 岁为转折点。发表在《自然・通讯》上的《人类生命周期中的拓扑学转折点》 https://www.nature.com/articles/s41467-025-65974-8 一文已被英国广播公司（BBC） https://www.bbc.com/news/articles/cgl6klez226o 、美国全国广播公司新闻网（NBC News） https://www.nbcnews.com/science/science-news/human-brains-5-epochs-development-rcna245663 、《华盛顿邮报》 https://www.washingtonpost.com/wellness/2025/12/09/five-phases-brain-structure-changes/ 以及（最近的）《华尔街日报》 https://www.wsj.com/health/wellness/brain-stages-aging-five-study-nature-a015101e?mod=djem10point 报道。

该研究遵循可追溯至 19 世纪的研究思路，将人类大脑建模为一个节点网络（大脑中解剖学或功能上不同的区域）。《自然・通讯》这篇文章的作者 —— 剑桥大学的亚历克莎・穆斯利（Alexa Mousley）、理查德・贝思勒姆（Richard Bethlehem）、邓肯・阿斯特尔（Duncan Astle）以及匹兹堡大学的叶方诚（音译名，英文名：Fang-Cheng Yeh）—— 通过磁共振扩散张量成像扫描 https://www.sciencedirect.com/topics/medicine-and-dentistry/diffusion-mri 获取的活动数据来推断哪些节点之间存在连接。利用人类连接组计划（Human Connectome Project） https://humanconnectome.org/study/hcp-young-adult/project-protocol/network-modeling 和其他先前研究的数据，他们记录了 13 种不同的测量指标，旨在捕捉每位受试者大脑的拓扑结构。以下是部分示例：

全局效率（Global Efficiency）

全局效率衡量的是网络中两个节点之间的连通难易程度。计算方式十分简单：对于每个节点，我们计算其效率值（E）—— 与该节点仅隔 1 条链路的其他每个节点计 1 分，隔 2 条链路的每个节点计 1/2 分，以此类推。因此，一个节点的近邻越多，其总效率值就越高；在一个包含 n 个节点的网络中，某个节点的最大可能效率值为 n-1。全局效率则是网络中所有节点效率值的平均值。

在 4 节点网络 a 中，每个节点的效率值 E=3，全局效率达到最大可能值 3。

在网络 b 中，蓝色节点的效率值 E=2.5，其他节点的效率值 E=1.666...，全局效率的平均值为 25/13。

图源：Tony Phillips

聚类系数（Clustering Coefficient）

聚类系数衡量的是共享一个节点的两条链路形成三角形的可能性。如果一个节点有 d 条入射边，我们将其三角形似然数（TLN，triangle likelihood number）定义为该节点所在的三角形数量，除以其可能形成的三角形数量（即 d (d-1)/2，也就是入射边的成对数量）。网络的聚类系数是所有节点三角形似然数的平均值。

例如，某个蓝色节点有 4 条入射边和 2 个入射三角形，其三角形似然数（TLN）为 1/3；类似地，两个红色节点的三角形似然数（TLN）=0，其他节点的三角形似然数（TLN）=1/3，因此该网络的聚类系数为 5/21。

图源：Tony Phillips

作者使用数学处理工具UMAP（Uniform Manifold Approximation and Projection，均匀流形近似和投影 https://umap-learn.readthedocs.io/en/latest/ ）将数据整合为一条曲线，并利用主成分分析（PCA，Principal Component Analysis，详情如下）找到数据的三维投影，该投影保留了 76.6% 的方差。

主成分分析载荷（PCA Loadings）

各类拓扑测量指标对三个主成分（PC1、PC2 和 PC3）的贡献情况如下：全局效率几乎完全对 PC1 有贡献，而聚类系数则对 PC2 有贡献。

图源：《自然・通讯》第16期，文章编号 10055

将该投影应用于 UMAP 曲线，可直观呈现人类生命周期中大脑拓扑结构的演变过程。结果显示，这条曲线存在四个 “转折点”，大脑拓扑结构的演变方向在此处发生改变。

人类生命周期中大脑拓扑结构演变的非单调性

UMAP 曲线在主成分空间中的投影，追踪了从 0 岁到 90 岁的大脑拓扑结构演变，其中包含四个重要转折点，分别位于 9 岁、32 岁、66 岁和 83 岁。

图源：《自然・通讯》第 16 期，文章编号 10055

作者将这些转折点解读为定义了五个 “生命周期时期”，分别是婴儿期至儿童期、青春期、成年期、早期衰老期和晚期衰老期。他们解释称，这些基于拓扑学得出的时期与解剖学和行为发展阶段密切相关。例如，在婴儿期至儿童期，大脑网络的全局效率会下降，这与解剖学上 “突触的竞争性消除” 相吻合。另一个例子是，在成年期，大脑处于 “网络稳定期”，这在行为上对应着 “智力和人格的稳定期”。

该研究将青春期定义为 9 岁至 32 岁，这一划分较为特殊，媒体报道也着重强调了这一点（这与古罗马时期 “青少年” 的概念一致）。文章对此问题的探讨较为谨慎，并指出所有受试者均来自英国和美国。而媒体未报道的一点是性别差异：在补充信息 https://static-content.springer.com/esm/art%3A10.1038%2Fs41467-025-65974-8/MediaObjects/41467_2025_65974_MOESM1_ESM.pdf 图 5（“按性别划分的转折点”）中，作者显示男性青春期的转折点为 11 岁和 37 岁，女性则为 9 岁和 33 岁。

2、超越网络：拓扑学与信息论

与许多拓扑学在生命科学中的应用一样，前文提及的研究将生命系统抽象为网络，并利用图论进行分析。佛蒙特大学的托马斯・F・瓦利（Thomas F. Varley）、艾丽斯・帕塔尼亚（Alice Patania）、乔希・邦加德（Josh Bongard）以及伦敦帝国理工学院的佩德罗・梅迪亚诺（Pedro Mediano）认为，这种方法并非始终适用。在 11 月 13 日发表于《公共科学图书馆・计算生物学》（PLOS Computational Biology）的《协同作用的拓扑学》一文中 https://journals.plos.org/ploscompbiol/article?id=10.1371/journal.pcbi.1013649 ，他们指出，网络的基本构成单元 —— 两个节点之间的链路 —— 可能无法充分表征现实世界的系统。即使是简单的异或（XOR）逻辑门（当输入中 1 的个数为奇数时输出 1，否则输出 0），本质上也是非二元的。

异或逻辑门（XOR，Exclusive-OR Gate）

异或逻辑门是一种非二元关系的示例。在这种情况下，输出结果依赖于所有三个输入，且任意两个输入之间均无相关性。

图源：Tony Phillips

异或逻辑门是作者所称的 “高阶关系” 的一个例子。他们讨论了两种替代网络的结构，认为这些结构能更好地刻画高阶关系，即拓扑数据分析（Topological Data Analysis）和多元信息论（Multivariate Information Theory）。

拓扑数据分析（相关系统介绍见此链接 https://geometrica.saclay.inria.fr/team/Fred.Chazal/papers/cm-itda-17/SurveySFdSOct2017.pdf ）将数据集视为某个（通常是高维的）欧几里得空间中的点云，因此可以明确界定哪些点彼此接近、哪些点相距较远，进而利用拓扑学概念分析该点云的结构。常用的拓扑学工具是持久同调（Persistent Homology），本专栏近期已对其进行过描述，参阅。

本网站之前也在通信数学的背景下讨论过一维信息论 https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-info1 。大致来说，问题如下：如果你对某个现象已经了解 n 个信息 T₁，…，Tₙ，当再被告知第（n+1）个信息 Tₙ₊₁时，你获得了多少新知识？如果 Tₙ₊₁与某个 Tᵢ完全相同，或者是某些 Tᵢ组合的逻辑推论，那么你并未获得任何新知识 —— 这个新信息完全是冗余的。但如果 Tₙ₊₁介于已知信息和完全未知信息之间，信息论则提供了一种衡量其包含 “多少” 新信息的方法。

信息的数学定义比该术语的通常理解更为狭隘。首先设定一个概率分布 p，它生成值 a₁，…，aₙ，每个值对应的概率为 pᵢ（因此∑ᵢpᵢ=1）。如果存在某个 pⱼ=1（则其他所有 pᵢ=0），那么 p 完全集中在 aⱼ上。此时，在测量之前我们就已知结果，无法获得任何信息。另一方面，当所有 pᵢ相等（即均等于 1/n）时，我们对测量结果的不确定性最大。为了在这两种极端情况之间进行插值，克劳德・香农（Claude Shannon）于 1948 年将信息定义为：

H(p) = -∑ᵢ₌₁ⁿ pᵢ log₂(pᵢ)

其中，按照惯例，0log₂(0)=0。信息的单位为比特（bits）。当所有 pᵢ相等时：

H (p) = -（(1/n) log₂(1/n) + … + (1/n) log₂(1/n)）= log₂(n) 比特

假设在相同的 n 个可能值上有两个概率分布，p 的概率为 p₁，…，pₙ，q 的概率为 q₁，…，qₙ。则：

H(q∣p) = -∑ᵢ₌₁ⁿ qᵢ log₂(qᵢ/pᵢ)

这一量化指标表示，在已知 p 的情况下，从 q 中能获得多少额外信息，被称为相对信息（Relative Information）。

需要注意的是，如果两个分布相同（即 qᵢ=pᵢ），则相对信息为 0，此时冗余度最大，q 无法提供任何额外信息。对于包含两个以上分布 p₁，p₂，p₃，… 的系统，作者使用相关指标 O (p₁，…，pₙ) 来量化系统中的冗余度：O 值越大且为正，表明系统冗余度越高；O 值越大且为负，表明系统的信息含量越丰富。这种丰富性正是文章标题中所提及的 “协同作用”（Synergy）。

作者指出，信息与拓扑复杂性之间可能存在一种有趣的关联，并通过三维（X₁，X₂，X₃）空间中的点云来代表几何图形，以此进行说明。这使得他们能够将几何图像重新定义为从三个不同概率分布中采样得到的数据集：点的 X₁坐标来自分布 p₁，X₂坐标来自分布 p₂，X₃坐标来自分布 p₃。之后，他们可以应用信息论并分析 O (p₁，p₂，p₃)。

作者通过示例展示了拓扑学与信息论之间的相关性。首先，从一个球体表面随机采样 10000 个点，其 O 值显示出显著的协同作用；而从实心球中采样点时，O 值几乎为 0。作者认为，球体的拓扑结构是产生高阶信息的原因。