算术随机波的相关结构和共振对|二阶|定理|特征值|算术|范数|随机波|高斯

Correlation structure and resonant pairs for arithmetic random waves

算术随机波的相关结构和共振对

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414924002333

摘　要
算术随机波的几何性质在过去十五年中得到了广泛研究，始于开创性论文（Rudnick 和 Wigman，2008；Oravecz 等，2008）。本文研究了不同泛函之间的相关结构，例如零点长度、示性集的边界长度，以及零点集与各类确定性曲线交点的数量；相关程度以一种微妙的方式依赖于所考虑的阈值和确定性曲线的对称性。特别地，我们证明了存在所谓的“共振阈值对”，在这些阈值处渐近相关性达到完全——即在高能极限下，一个泛函可由另一个泛函完美预测。我们主要关注二维情形，但也讨论了向三维空间的一些具体推广。

关键词：随机特征函数算术随机波零点长度零点交点边界长度共振对

引言

过去15年来，高斯随机特征函数的零点集几何结构受到了大量关注。大多数研究集中于二维情形，包括欧几里得空间中的情形（Berry 随机波，参见例如 [1–4]），以及紧致流形上的情形，尤其是球面（参见例如 [5–7]）和环面（参见例如 [8–12]）等。

得益于 Adler 与 Taylor 提出的高斯运动学公式（Gaussian Kinematic Formula，见 [13]），零点长度的期望值推导如今已成为标准方法；而方差分析则更具挑战性，其研究可追溯至球面情形（即随机球谐函数）的文献 [5] 和环面情形（即算术随机波）的文献 [10]；在物理学文献中，平面特征函数（Berry 随机波）零点长度的方差早在 [1] 中就已给出。

随机特征函数零点长度的渐近分布分析基本始于文献 [11]。在该文中，算术随机波的零点长度被展开为对应于所谓 Wiener 混沌分量的正交项；随后证明，在特征值趋于无穷时（以意义下），零点长度的行为由四阶混沌主导，而在环面情形下，其极限分布是非高斯的。类似现象也出现在平面和球面情形中（分别见 [3,6]），尽管在这两种情形下极限行为是高斯的。

这种 Wiener 混沌展开还为所谓的“Berry 抵消现象”（Berry cancellation phenomenon）提供了诠释：即零点长度的渐近方差比任意非零阈值下示性集边界长度的方差低一个数量级。如其他文献（见 [3,6,11,14]）广泛论述的那样，这种抵消源于二阶混沌项的消失——该项对应于特征函数的随机范数，并不参与零点线涨落。由于该随机范数的方差大于正交分解中所有其他项，它在零点情形下的消失完全解释了 Berry 抵消现象。

这一二阶混沌项的主导地位还导致另一个显著结果，该结果已在 [15] 中通过不同方法得到：具体而言，当特征值趋于无穷时，不同阈值下示性集边界长度之间的渐近相关系数（绝对值）趋近于 1。这很容易理解：对应于不同阈值的边界长度的随机序列，在渐近意义下均与同一随机变量序列（即特征函数的随机范数）成比例（仅相差不同的缩放常数）。这种渐近相关性已在随机球谐函数情形中被注意到（[15,16]），但显然，凭借完全相同的论证，它也适用于平面随机波和环面特征函数。同样基于此论证，可以立即看出：零点长度与非零阈值下示性集边界长度之间的渐近相关系数为零；因为零点长度由四阶混沌项主导，而这些项根据构造与属于二阶混沌的随机范数正交。

基于上述原因，显然这些相关/不相关现象在某种意义上是由范数的随机涨落所导致的人工产物；在许多应用场景中，这可能显得无意义（例如，在量子力学框架中，随机范数应被归一化为 1）。在 [16] 中，针对随机球谐函数研究了另一个问题：即在去除随机范数效应后（在数理统计中通常称为“偏相关”）是否存在相关性。令人惊讶的是，研究发现不同阈值下边界长度之间的偏相关依然存在，而且与零点长度的渐近相关性从零转变为 1：即一旦去除随机范数的混杂效应，就可以在渐近意义下根据零点长度预测任意阈值 u u 下的示性集边界长度。

本文旨在研究算术随机波情形下类似的问题。我们主要关注二维情形，但也讨论了向三维空间的一些具体推广。

特别地，对于平面和球面随机特征函数，[16,17] 已证明：零点情形与非零阈值情形原本完全不相关，但在去除二阶混沌效应后，二者变得完全相关。然而，当我们对算术随机波（[18–21]）研究相同问题时，却发现了一幅截然不同的图景。事实上，在去除二阶混沌效应后，不同阈值下示性集边界长度或其他几何泛函之间不再普遍存在完全相关性；相反，我们观察到某些特定点对的存在——我们称之为“共振对”（resonant pairs）——在这些点对处，相关性在高能极限下确实达到完全（即相关系数为 ±1），而对于一般点对，相关系数可在 −1 到 1 之间取任意值。这些共振对包括零点情形（即其中一个阈值为 u = 0）。这些共振对位于一条代数曲线上（我们明确写出了其方程），不仅刻画了示性集边界长度的相关结构，也刻画了随机交点的相关性——这是此前未知的现象。

1.1. 去除二阶混沌的物理意义

从应用角度看，随机特征函数可被视为量子粒子的波函数（正如任何量子理论教科书所讨论的那样）。众所周知，这些波函数模的平方表示在测量后于某位置找到粒子的概率密度——因此，这类波函数应被严格归一化，使其平方积分等于 1。一个适当归一化的高斯随机函数，其范数在高能极限下（即特征值趋于无穷时）会收敛到 1；但对于任意有限特征值，仍存在微小的偏离涨落。在量子力学框架中，这些涨落并无物理意义。然而，非常重要的一点是：正如早前在环面情形 [11,20] 和球面情形 [3,6] 中所指出的，这些对单位范数的偏离实际上与本文所考虑的几何泛函的二阶混沌项成正比。因此，在我们看来，至少从量子理论应用的角度出发，更有意义的做法是在去除二阶混沌效应之后（如本文计算偏相关时所做的那样），研究算术随机波的渐近行为及相关性。

理解“静态曲线”（static curves）的物理含义也颇有意义。我们的直觉如下：当一条曲线是静态的时，它与随机特征函数的交点具有各向同性，因而与能量在不同方向上的分布无关。在此情形下，二阶混沌仅依赖于特征函数的 L 2 范数，而根据前一段所述理由，该范数可被忽略。对于非静态曲线，能量在不同方向上的分布变得重要，此时二阶混沌不再能简单地等同于特征函数的能量；因此，在零点情形下该项不会消失，相关结构也因此发生根本性改变。

1.2. 论文结构安排

第 2 节介绍算术随机波及其水平集几何性质的一些已知结果，并引入水平集几何泛函的 Wiener 混沌展开。第 3 节陈述本文的主要结果。关于二维算术随机波相关结构的结果证明包含在第 4 节，而偏相关的证明则在第 5 节给出。第 6 节专门讨论与零点曲面相关的论证。附录收集了用于刻画静态曲线与双重静态曲线的技术性引理的证明。

背景与记号

2.1 算术随机波

2.2 水平集的几何性质

2.3 混沌展开

著名的维纳混沌展开（Wiener chaos expansion）关注的是如何用无穷正交和的形式表示平方可积的随机变量。在本节中，我们简要回顾关于高斯场非线性泛函的维纳混沌展开的一些基本事实。

主要结果3.1. 二维情形下的相关结构

我们首先研究边界长度之间的相关性；回顾一下， S S 在 (2.2) 中被定义为所有可表示为两个平方数之和的整数组成的集合。

定理 3.1 可直接由 [27, 推论 2.7] 和 [11, 第 1.4 节] 得出。下文给出了边界长度与一条固定光滑参考曲线（其曲率处处非零）的交点数之间的相关结构。

备注 3.13。在不同的非零阈值处，水平曲线在渐近意义下具有完全相关性；这一现象最早由 [15] 在研究随机球谐函数时指出，其依据是两点相关函数的展开式，随后被 [3,6,11,14,16,27] 等文献联系到二阶混沌项的主导作用。另一方面，类似于 [16] 在球面上特征函数情形中早先所指出的现象，定理 3.1 表明：在高能极限下，零点长度（nodal length）与非零能级激发集（excursion sets）的边界长度在渐近意义下完全不相关。这可被解释为一种虚假效应（spurious effect）：非零能级的边界长度由二阶混沌项主导，而该二阶混沌项与特征函数的随机范数成正比；而后者显然对零点长度没有影响（因为零点长度在归一化下是不变的）。

备注 3.14。需要特别注意的是，在渐近极限下，边界长度与静态或非静态曲线的零点交点数之间的相关性恒为零，但零能级情形（即 u = 0 ）除外。然而，此处的机制与前一备注中所观察到的不同：事实上，在零点长度与非静态曲线相交的情形中，二阶混沌分量并不消失，但它仍与主导边界长度行为的特征函数随机范数不相关（详见定理 3.2 的证明）。另一方面，对于与静态曲线的交点，其二阶混沌项属于低阶项（参见 [25] 第 2.1 节），因此与边界长度的渐近相关性显然为零。从某种意义上说，对于算术随机波（Arithmetic Random Waves），与静态曲线的交点在某种程度上对归一化因子具有不变性，这使其行为在某种程度上类似于零点线（nodal lines），参见我们接下来关于部分自相关结果的讨论。

备注 3.15。在特殊情形 η = 0
下，极限谱测度为勒贝格测度，即格点在极限意义下均匀分布。在此情形下，我们有：

备注 3.19。上文我们考虑了在特征值序列充分分离的假设下，η = ±1 的情形。我们强调，在充分分离的假设下，η = ±1 可能无法实现。

3.2 二维情形下的偏相关结构

为了更深入地理解算术随机波水平集几何的相关结构，更有意义的是消除特征函数随机 L² 范数的影响。更确切地说，值得研究所谓的偏相关结构，即去除特征函数范数波动影响后的相关性结构。

设 X、Y、Z 为平方可积随机变量；我们定义在给定 Z 条件下 X 与 Y 的偏相关系数为：

Corr_Z(X, Y) := Corr(X*, Y*),

其中 X* 和 Y* 是将 X、Y 投影到解释变量 Z 后所得的残差。

在类似的情形下，[16] 中已证明：对于随机球谐函数，在高能极限下具有完全自相关性（参见 [28] 关于临界点的类似结果）。而对于算术随机波，其相关结构则要微妙得多，如下文详述。

3.2.1. 讨论
对于二维算术随机波，以下渐近偏相关结构成立：
偏相关结构，维度 d = 2
。

备注 3.22。上表所展示的相关性结构背后的原理可解释如下：在考虑偏相关时，非零阈值处边界长度测度中的二阶混沌项被消除。因此，它们与非静态曲线交点数之间的相关性变为零，因为后者由二阶混沌项主导。另一方面，对于静态曲线或双重静态曲线，二阶混沌项属于低阶项，因此偏相关本质上变成了交点数与边界长度各自四阶混沌分量之间的相关性。

上述结果的一个重要推论是“共振对”（resonant pairs）的存在，即存在某些阈值水平的集合，其边界长度和/或零点交点数在渐近意义下具有完全相关性；这一点在下面的推论中予以说明。

我们称式 (3.21) 为算术随机波边界长度的“完全相关曲线”。我们相信，类似的代数曲线也刻画了其他几何泛函（如 Lipschitz-Killing 曲率和临界值）的完全相关对。我们将对此的进一步研究留待未来工作。

3.3 三维情形下的一些结果

备注 3.27。任何具有有限面积、且高斯–克罗内克曲率处处非零的曲面 Σ ，若其在坐标分量的任意置换和符号变换下保持不变，则该曲面是静态的（static）。要理解这一点，注意到在此条件下， Σ 满足下文引理 6.2 所给出的静态性判据。例如， Σ 可以由对称的三元多项式分段定义，其中所有变量均以偶次幂出现（只要处处满足曲率非零的假设即可）。

我们的主要结果如下。