他与达芬奇齐名，因沉迷赌博而创立了概率学，因爱上占星而预测出自己的死期，最后结局荒诞……|代数学|卡尔达诺|概率学|牛顿|达芬奇

伊恩·斯图尔特（Ian Stewart），著名数学家，享誉世界的数学科普作家，英国皇家学会会士。曾获英国皇家学会的“法拉第奖章”、美国科学促进会的“公众理解科学技术奖”和英国伦敦数学学会与英国数学及应用研究院颁发“塞曼奖章”，英国沃里克大学数学系荣退教授。

他的新作《数学巨人传：思考、创造的奇趣故事》讲述了阿基米德、刘徽、花拉子米、牛顿、费马、高斯、黎曼、庞加莱、图灵、拉马努金、诺特和哥德尔等25位数学家的非凡生活和惊人发现。这些数学巨人的人生本就如同小说般精彩，更何况他们开创了数学。

今天就来讲讲那个集古典文学、数学、物理、化学、生物学、医学、哲学、占星学都卓有成绩的卡尔达诺的股市

来源 | 《数学巨人传 : 思考、创造的奇趣故事》

作者 | [英] 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

译者 | 张憬

在十分年幼之时，我便全身心投入剑术修习，严肃对待每一节课，通过坚持不懈的训练，终于在最勇猛的人当中也有了一定的地位。晚上，我甚至敢违抗公爵的命令，全副武装，在我居住的城市四处潜行。我戴着黑色的羊毛面罩，挡住自己的脸，脚穿羊皮鞋。我经常整夜在外面游荡，直到天亮，卖力地演奏乐器，并因此汗流浃背。

这是 1520 年前后，文艺复兴时期的意式生活——至少对卡尔达诺来说是这样。他在自传《我的生平》（The Book of My Life）中坦白了许多事，包括上面那段。卡尔达诺是个多面手，在数学和医学方面尤其天赋异禀，享受着（如果可以这么说的话）肥皂剧和八卦小报似的职业生涯。

他挥霍家产，沉迷赌博，搞得自己身败名裂，贫困潦倒。他曾经因为怀疑别人出老千，用刀划破对方的脸。他被指控为异端，遭到囚禁；他的儿子因毒害妻子而被处死。

不过，卡尔达诺还曾让失语的圣安德鲁斯主教（Bishop of St Andrews）重新开口说话，并且赢得了1400 金克朗的奖赏。带着胜利回到意大利之后，卡尔达诺加入了米兰的医生协会，这里曾在几十年间拼命将他拒之门外。

最重要的是，卡尔达诺是一位数学大师，撰写了一本超越时代的伟大教材——《大术》（Ars Magna），副标题是“代数的法则”。经由《大术》，代数学走向成熟，同时拥有了符号，得到了系统发展。卡尔达诺可以被视为“代数学之父”的又一位竞争者。不过，和其他几位一样，让他获得这个头衔是存在争议的，情况没有那么简单。

卡尔达诺是个私生子。他的父亲法齐奥· 卡尔达诺（Fazio Cardano）是一名律师，有很强的数学天赋，脾气一点就着。他住在帕维亚（Pavia），是列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）的朋友。

他总穿一件与众不同的紫色斗篷，戴一顶黑色小帽，55 岁时牙齿已经掉光。卡尔达诺的母亲基娅拉·米凯里亚（Chiara Micheria）是个年轻的寡妇，早有三个孩子，在生下卡尔达诺多年后嫁给了他的父亲。她身材肥胖，脾气和法齐奥不相上下，说生气就生气。她也是非常虔诚、极其聪明的人。基娅拉再次怀孕时，米兰出现了瘟疫，于是她搬到了乡下，而三个年龄较大的孩子则留在城里，最终染病而死。即将出生的卡尔达诺并没有带来喜悦：“虽然尝试了多种堕胎药……但都徒劳无功，我还是在 1501 年 9 月 24 日正常出生了。”

法齐奥的职业是律师，但他精通数学，曾为达·芬奇提供几何方面的建议，并且在帕维亚大学和米兰的皮亚蒂（Piatti）基金会教授几何学。他将自己的数学和占星技能传授给了儿子：“我的父亲在我幼年时就教我算术的基础知识，还同时让我了解了一些神秘的东西……他教我阿拉伯占星术的要素……在我 12 岁以后，他教我欧几里得《几何原本》的前六卷书。”

卡尔达诺儿时体弱多病，父亲原本计划让他继承法律事业，但没能如愿。他进入帕维亚大学攻读医学，成绩优异，尽管被许多人认为口不择言、性格讨厌，但他还是以一票的优势当选为校代表。成功冲昏了他的头脑。正是在这个时期，他开始带着剑和乐器在城市的大街小巷游荡，并且开始赌博。因为对运气背后的数学颇为了解，卡尔达诺获得了不小的优势。1564 年前后，他写下了最早的概率论著作之一——《赌博之书》（Book on Games of Chance），最终在 1663 年出版。

他还能靠下棋赚钱，这也是一份收入。但随着卡尔达诺变得越来越放荡不羁，他既失去了运气，也失去了遗产。

但生活还要继续。此时，卡尔达诺已经有了医学学位，他试图进入米兰的医生协会，这是通往高收入职业和舒适生活的大门。然而这一次，他的口无遮拦让期待落空了，他被拒之门外，于是在附近的一个村庄当了医生。干着这份只能糊口的工作，他娶了民兵队长的女儿露西娅·班达里尼（Lucia Bandarini）为妻。

由于再次被协会拒绝，他重上赌桌，结果损失了一大笔钱。他典当了家中所有的财产，包括露西娅的珠宝，最后全家一贫如洗，几乎走投无路。“我毁了自己！我完蛋了！”卡尔达诺这样写道。他和露西娅生了一个孩子，这孩子有多种轻微的先天缺陷，但在当时不被认为是残疾。此时法齐奥已经去世，卡尔达诺被定为他的继承人，事情终于有了转机。

1539 年，就连医生协会也不再排斥他了。他还有了新的发展，出版了几本数学著作，其中一本使他毫无争议地跻身于数学开拓者的行列。

数学中的多数领域都是在复杂而混乱的历史进程中产生的，缺乏明确的方向，原因就在于，当零散的想法开始互相关联时，方向才真正浮现出来。数学的丛林会在人的探索中不断生长。代数某些特点的呈现可以追溯到古希腊人，那时他们甚至没有有效的符号可以代表整数。丢番图发明了代表未知数的简略符号，大大促进了代数雏形的发展，但他的研究重点是解整数方程，与数论的联系更为直接。古希腊和波斯的几何学家用纯粹的几何方法解决了我们现在认为属于代数的问题。花拉子米规范了代数的过程，但没能引入符号表示。

早在这一切发生之前，古巴比伦人就已经发现了代数学中第一项真正重要的技术：解二次方程。我们现在承认，这类问题开启了 19 世纪代数学的大门，这也是学校数学课程所教授的代数学：从一个未知数和它的幂（平方、立方，等等）之间的某种数量关系中，推出这个未知数的值（或可能的一组值），也就是解多项式方程。

其中，如果未知数的最高次幂是它的平方，涉及的方程就是二次方程。古巴比伦留下知识记录的数学家们知道怎样求解这类问题，并且把方法教给了学生，有泥板上神秘的楔形文字为证。这里最困难的一步是求关键之数的平方根。

事后看来，下一步要研究的显然是三次方程，涉及未知数的立方、平方和未知数本身。古巴比伦的一块泥板提示了求解三次方程的一种特殊方法，但关于他们在这方面的发现，我们的了解也仅限于此了。古希腊和波斯的几何方法颇为实用，奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam）的研究最为详细。他的诗歌更加有名，尤其是《鲁拜集》（Rubaiyat），爱德华·菲茨杰拉德（Edward FitzGerald）的译本使这本书名声更盛。但纯粹的代数解法似乎还遥不可及。

一切在意大利文艺复兴这个颇具传奇色彩的时期发生了改变。1515 年前后，博洛尼亚（Bologna）的一位教授斯希皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro）发现了特定类型三次方程的解法。之所以要区分类型，是因为当时人们还不承认存在负数，所以方程两边都是正项。

费罗将一些笔记传给了女婿安尼巴莱·德尔·纳韦（Annibale del Nave），其中提到他可以求解“立方项加未知数等于数”的方程。很可能还有两种情形他也能解决。经过一些初步变换，这两种情形有效涵盖了所有可能的情况。他的方法既涉及平方根，也涉及立方根。

除了德尔·纳韦，费罗的学生安东尼奥·费奥雷（Antonio Fiore）也知道上文提到的解法。另外，尼科洛·丰塔纳（Niccolo Fontana）独立发现了同一种解法——他还有一个广为人知但现在看来很不雅的绰号叫塔尔塔利亚（Tartaglia），也就是“结巴”的意思。

费奥雷当时正打算另立门户，当个数学教师，他想出了一个好主意：与塔尔塔利亚进行一场公开对决，比拼解答数学问题的能力。这种智力对决在当时很常见。但有流言说三种情况都有了已知的解法，塔尔塔利亚为此大受刺激，极其担心费奥雷什么都知道了。于是他加班加点，勉强赶在对决前找到了所有解法。

结果，费奥雷其实只会解一种方程。塔尔塔利亚抛出了费奥雷无法应对的题目，把他打了个落花流水。

这个劲爆的消息迅速传播开来，也传到了正在勤勤恳恳为《大术》收集素材的卡尔达诺耳朵里。他时刻留意着数学领域有什么新动向，能不能让他的书更加完善，因而很快发现了一个极为珍贵的机会。

当时，费罗的早期成果已经遗失，于是卡尔达诺拜访了塔尔塔利亚，恳求他透露三次方程的秘密。塔尔塔利亚最终松了口。传说他让卡尔达诺发誓保密，但既然卡尔达诺本来就打算写书，这种可能性看来就不太大了。

不管怎么说，正式出版的《大术》包含了塔尔塔利亚的三次方程解法。成果归功于自己，却被别人抢先公开了，恼羞成怒的塔尔塔利亚以《各种问题和发明》（Diverse Questions and Inventions）作为回击，其中收录了他和卡尔达诺之间的所有通信。按照书中的说法，卡尔达诺曾在 1539 年庄严宣誓“绝不公开您的发现”，后来誓言却被打破了。

不算太意外的是，事情的真相可能更加复杂。过了一段时间，后来成为卡尔达诺学生的洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）声称他当时在场，而卡尔达诺并没有同意对塔尔塔利亚的方法保密。

不过，费拉里也不见得是一个公正的旁观者。针对塔尔塔利亚所说的违背誓言一事，他发布了一则公告，要以辩论的方式挑战塔尔塔利亚，话题由塔尔塔利亚选择。

1548 年 8 月的一天，一大群人聚集在教堂里观看这场辩论。我怀疑没有多少人真的为数学而来，有些人可能完全不懂，他们大多只是想看双方大吵特吵。虽然辩论结果没有已知的记录，但费拉里很快就被任命为皇室子弟的家庭教师；相比之下，塔尔塔利亚从没说过自己获胜，他丢掉了在布雷西亚（Brescia）的工作，还一直对结果颇有怨言。看来我们可以做出有根据的猜测。

讽刺的是，这一切都没有必要。在准备《大术》的过程中，卡尔达诺和费拉里看到了费罗的论文，其中就包含了三次方程早先的解法。他们都认为，这种解法的真正源头在这里。卡尔达诺之所以提到塔尔塔利亚的成果，是为了解释他为什么会听说费罗的成果，仅此而已。

也许吧。但如果卡尔达诺已经从更早的来源知道了这个解法，他为什么还求塔尔塔利亚透露秘密呢？也许他并没有求他，我们只知道塔尔塔利亚的一面之词。此外，卡尔达诺也有自己的心思，他需要的不仅仅是三次方程的解法本身。

在卡尔达诺的指导下，费拉里设法更进一步，求解了四次方程。最重要的是，费拉里的解法要先将题目转换为相关的三次方程。也就是说，如果不介绍三次方程的解法，卡尔达诺就没法向世人展示这种四次方程的解法。

也许事情完全像卡尔达诺和费拉里宣称的那样。塔尔塔利亚击败费奥雷的事让卡尔达诺意识到三次方程的解法已经被攻克了。随后，经过一番挖掘，他找到了费罗的手稿，由此获得了他的书中所写的方法。

受到这个发现的激励，费拉里又攻克了四次方程。卡尔达诺将相关发现写进了自己的著作。作为卡尔达诺的学生，费拉里很难抱怨自己的成果被收录其中，他似乎还挺为这件事自豪的。出于对塔尔塔利亚的尊重，卡尔达诺称赞他重新发现了同一方法，并引起了自己的注意。

《大术》之所以重要，还有一个原因。卡尔达诺运用他的代数方法求和为 10、积为 40 的两个数，得到的答案是 5 15 ± − 。由于彼时负数没有平方根，他宣布这个结果“玄妙而无用”。求解三次方程时，如果存在三个实数解，也会遇到同类情形。

1572 年，拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）发现，如果忽略这些表达式的含义，按部就班地计算，就能得到正确的实数解。最终，这个思路引出了复数系统，在复数系统中， −1 是有平方根的。从实数到复数的扩展对当今的数学、物理学和工程学至关重要。

16 世纪 40 年代，卡尔达诺再度行医。然后（就像我说过的，他的人生经历跟肥皂剧和八卦小报一样），悲剧发生了。他的长子詹巴蒂斯塔·卡尔达诺（Giambatista Cardano）同布兰多尼娅·迪塞罗尼（Brandonia di Seroni）秘密结婚。在卡尔达诺看来，这位新娘无耻又没用。她的父母都是见钱眼开的小人，而她身为妻子竟然当众嘲弄詹巴蒂斯塔，说家里的三个孩子不是他的骨肉。

詹巴蒂斯塔毒杀了她，并很快认罪。法官坚持认为，避免死刑的唯一办法是卡尔达诺与迪塞罗尼家就赔偿达成共识。但他们索要的赔偿金数额巨大，卡尔达诺无力支付，于是他的儿子遭受了酷刑，左手被砍掉，然后被斩首。

卡尔达诺是条硬汉，他扛住了一切，但被迫搬家，去博洛尼亚当了医学教授。在那里，他的傲慢又得罪了医学界的同行，他们尝试让上面解雇他。他的小儿子阿尔多·卡尔达诺（Aldo Cardano）欠下了巨额赌债，还闯入父亲家中偷窃钱财和珠宝。

卡尔达诺认为自己别无选择，只能上报案件，阿尔多因此被逐出博洛尼亚。即便这样，卡尔达诺依然保持乐观，他写道，尽管出了这么多悲惨的事，“我仍然是非常幸运的，如果换成别人，他也会认为自己是幸运的”。

但命运还在酝酿更多的灾难，而这些灾难的起因是他跟占星术扯在了一起。卡尔达诺曾在 1570 年为耶稣占星。他还写了一本赞美尼禄（Nero）A 的书，后者屠杀过早期的基督徒。两件事加在一起让他遭受了异端的指控。他被关进监狱，后来又被释放，但无法再担任任何学术职务。

卡尔达诺去了罗马，没想到在那里受到了热情的欢迎。教皇格里高里十三世显然宽恕了他，还给了他一笔退休金。他进入了当地的医生协会，并且写下了自己的人生，但没有出版。在他去世 60 多年后，这本自传终于问世。根据传说，卡尔达诺是自杀身亡的，因为他预言了自己的死期，并且出于内行的骄傲捍卫了预言的准确性。