Berry's Phase and the Magnus Force for a Vortex Line in a Superconductor
超导体中涡旋线的Berry相和Magnus力
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.70.2158
摘要
我们通过计算零温下绝热运动绕闭回路产生的贝里相位，证明了马格纳斯力的存在是超导体中涡旋线的普遍性质。我们发现，在超导态中，无序和电磁场对马格纳斯力的存在没有影响，且其大小正比于超流电子密度。
涡旋线的运动在理解超导体的许多性质方面起着关键作用 [i]。然而，关于超导体中单个运动涡旋线是否存在马格努斯力（Magnus force）的问题至今仍未解决 [2]。过去十年材料科学的进展，使得对诸如超电流的量子衰减 [3]、霍尔效应 [4] 以及反常霍尔效应 [5] 等动力学效应进行定量研究成为可能。由于马格努斯力在这些效应中扮演重要角色，其存在性问题最近重新引起了关注 [3–6]。支持马格努斯力存在的论点最早由 Friedel、de Gennes 和 Matricon 提出 [7]。然而，也有不同作者得出了相反的结论，认为超导体中不存在马格努斯力 [8,9]。Bardeen [8] 指出，Friedel 等人的论证中存在错误。
有趣的是，这两种观点似乎都有实验支持。通过指出实验中必须考虑钉扎（pinning）和摩擦等细节，Nozières 和 Vinen [10] 解决了这一争议。他们发现，若适当考虑这些细节，两种对立理论在解释当时已有实验时几乎没有差别。尽管如此，Nozières 和 Vinen [10] 仍将经典理想流体的结果应用于超导体，从而支持马格努斯力的存在。此外，有研究表明，若含时金兹堡–朗道（TDGL）方程具有非线性薛定谔方程的形式，则会出现马格努斯力 [6]。尽管马格努斯力被认为是涡旋线的一般性质 [11]，但上述所有支持超导体中涡旋线存在马格努斯力的唯象论证均不能令人满意。
由于在接近零温时缺乏对 TDGL 方程的微观推导，任何基于 TDGL 方程得出的关于马格努斯力的结论都值得怀疑。事实上，基于不同形式 TDGL 方程得出的结果是相互矛盾的 [3,6,9]。Nozières 和 Vinen [10] 的论证不仅是唯象的，而且仅适用于干净且极端第二类超导体极限，即无无序且电磁场影响可忽略的情形。由于在超导体中，量子化磁通总是与涡旋线相关联，且无序通常存在，因此 Nozières 和 Vinen 的论证尤其不能令人满意。由于缺乏对马格努斯力的微观推导，以及对无序和电磁场影响的清晰处理，关于其存在的质疑仍然存在 [2]。
鉴于马格努斯力在超导体众多效应中的重要作用 [3–5]，以及与之相关的重要后果（如开尔文模，即沿涡旋线的圆振动 [7]），对马格努斯力是否存在这一重要问题给出一个明确答案是必要的。本文的目的正是在零温下提供这样一个答案。
在本文中，我们发现马格努斯力的存在是涡旋线的一般性质，且不受无序和电磁场存在的影响。接下来，我们通过计算与绝热运动相关的贝里相位（Berry phase），对马格努斯力进行微观推导。
为清晰起见，我们考虑一个二维超导薄膜，处于零温状态。薄膜位于 x–y 平面，在实验室参考系中静止。该论证可轻易推广至三维情形。若薄膜非均匀，涡旋的能量可能依赖于其位置。我们首先取大 k 极限，此时涡旋对磁场的修正可忽略不计。
我们利用超流薄膜中量子化涡旋的运动与带电粒子在垂直于强磁场平面内引导中心（即其回旋轨道瞬时中心）的运动之间的类比，但该论证也可不借助此类比展开。带电粒子的质量与引导中心运动解耦。引导中心沿等势线运动，其速度与电势梯度成正比，从而使得平均洛伦兹力与外力相平衡。经典拉格朗日量既包含 −V(X,Y)，也包含一个与速度线性相关的项，波函数的相位由两部分组成：动力学相位，即 −V(X,Y)/ℏ 的时间积分；以及贝里相位 [12]，即与路径相关的线性项的积分。绕闭合回路的贝里相位 Δ 与磁场强度 B 及回路在磁场方向上投影的面积 S 成正比。
其中 q 为粒子电荷，h 为普朗克常数。该相位等于 2π 乘以回路所包围的磁通量子数。
涡旋的运动可以用类似的术语描述。涡旋在外部或其他涡旋产生的超流速度场以及其位置相关势能的共同作用下运动，使得马格努斯力——由涡量与相对于超流的运动的矢量积给出——与由于薄膜非均匀性（钉扎中心）引起的外力相平衡。经典拉格朗日量既包含非均匀性势能，也包含一个与涡旋速度线性相关的项，波函数则同时具有动力学相位和贝里相位，后者是线性项的积分。绕闭合回路的贝里相位等于 2π 乘以回路所包围的超导电子对数。
在这两个例子中，总可以在拉格朗日量的线性项（以及贝里相位）中加上一个全导数项，而不改变运动方程；绕闭合回路的积分保持不变。
超导体内涡旋的动力学相位和贝里相位 [12] 都可以从描述涡旋状态的多体波函数中计算得出。设 Φ₀(r₁, ..., r_N) 为无涡旋时超导体的多体波函数，可以是基态，也可以是具有非零超流速度分布 v_s(r) 的某个非平衡态。此处 N 为电子总数，ri 为电子位置。该多体波函数是反对称化的，并归一化为 1，即 ∫∏ᵢ d³rᵢ |Φ₀|² = 1。根据 London 的工作 [13]，并经 Brenig [14] 修正以考虑超导体的库珀配对，位于位置 R₀ 的涡旋所对应的多体试探波函数 ΦR 为
其中 θ(r) = arctan(y/x)，且 ΦR 接近 Φ₀，但做了修正以描述涡旋芯附近超流密度的降低、远离芯部由流场引起的关联效应 [15]，以及其他各种效应。该波函数同样归一化为 1，并且是反对称化的。相位项被 2 除这一事实，正是超导体中库珀配对的体现。
我们注意到，在描述超流氦中涡旋态的情形时，也采用了类似的多体波函数形式 [16,17]，其中 ΦR 是对称化的。
与涡旋相关的动力学相位对应于它所携带的额外能量。对于 Φ₀ 为基态的情形，该相位可写为
其中 S 为回路 Γ 所包围的面积。我们指出，贝里相位等于 2π 乘以回路所包围的超导电子对总数。
这给出了基于经典论证所得的结果，并且与式 (1) 中强磁场下电子的情形直接类似，只是将磁通量子数替换为超导电子对数。
马格努斯力由式 (5) 和式 (8) 给出的、与涡旋芯位移线性相关的两部分相位的导数得出。将两者合并，得到
其中 q = +1（−1）对应于涡旋方向与 z 轴平行（反平行），v₀ 为涡旋速度。此结果与经典流体力学中的表达式完全一致 [11]。我们强调，马格努斯力显式地依赖于电子的数密度，而非质量密度。晶格的影响已通过其对超流电子密度 的作用被纳入考虑。
在无无序情形下，为常数，此时系统所受的唯一力即为马格努斯力，而该力必须为零，因此涡旋以当地超流速度运动。在零温且存在无序时，马格努斯力必须与钉扎力平衡。在更高温度下，还必须考虑作用于涡旋的摩擦力 [10]。
在上述推导中，我们实际上仅用了两个基本事实：波函数的单值性，以及超流电子具有有限密度。这两个事实由式 (2) 的多体波函数充分表达，而波函数的具体细节在此并不重要。这一观察表明，式 (8) 的结果应当比上述“干净极限下的中性情形”具有更广泛的适用范围。此处我们证明，式 (8)——从而式 (9)——在存在有限均匀无序时依然成立；稍后我们还将证明，在考虑电磁场效应的真实超导体中同样成立。
若无序并非极强，零温下超导态仍可存在 [20]。此时仍可引入多体波函数 Φ₀ 来描述无涡旋的超导态，尽管该态已深受无序影响。于是，形如式 (2) 的多体试探波函数 ΦR 仍可用于描述涡旋态。在有限无序存在时，部分电子态（即部分库珀对）将局域化 [20]，无法参与超流，从而超流电子密度降低。通过允许依赖于无序程度，我们得出结论：形如式 (9) 的马格努斯力在“脏”超导体中保持不变，其大小仅因无序导致的超流电子密度降低而减小。
现在我们通过把与电磁场的耦合重新纳入问题，来考虑真实的超导体。式 (2) 的多体波函数 Φ_R 在有电磁场存在时仍然是对涡旋态的正确描述 [13,14]：它显然是单值的。从它出发，我们可以计算电流，再根据麦克斯韦方程求出磁场，发现与涡旋相关的磁通恰好是一个磁通量子 h/2e。因此，完全沿用导出式 (9) 的步骤，我们发现马格努斯力保持不变。
在一篇有影响的综述文章 [21] 中，式 (9) 右侧第一项被称为“洛伦兹力”，第二项被称为“马格努斯力”。虽然所谓的洛伦兹力已被普遍接受，第二项却存在争议 [21]。本文的论证表明，两项都存在，且其背后的物理相同：涡旋绝热运动的动力学相位与贝里相位。这也说明文献 [21] 所用的“洛伦兹力”一词并不恰当，因为马格努斯力并非电磁效应对涡旋作用的结果。
尽管电磁场不影响马格努斯力，我们仍对其对涡旋多体波函数的微妙效应作一点说明。当涡旋绝热地沿闭合回路运动时，由于与之相连的磁通，根据 Aharonov–Casher 效应 [22]，若回路内存在净电荷，将产生附加相位。然而，由于整个系统保持电中性，来自电子与背景正电荷的 Aharonov–Casher 相位将完全抵消，因而对马格努斯力没有任何影响。
Nozières 和 Vinen [10] 也得出电磁场不影响马格努斯力的结论。但如我们在第二段所指出的，他们假设了极端第二类超导体的极限条件，因此发现电子与背景的影响都可忽略，而非本文得到的“相互抵消”。另一方面，Bardeen [8] 曾利用法拉第定律指出，在涡旋绝热运动中，电子与正背景对马格努斯力的贡献会完全抵消；然而，他错误地把马格努斯力当成电磁力处理，从而得出了“不存在马格努斯力”的错误结论。
上述普遍论证似乎暗示，在正常费米液体中涡旋线也应存在马格努斯力。形式上看这固然正确，但由于在正常费米液体中涡旋态极不稳定，实际上无法明确定义并讨论该力。而在超导体中，由于存在凝聚体 [23,24]，涡旋态非常稳定。因此，超导体中的涡旋可视为稳定粒子，这正是本文能够讨论马格努斯力的关键前提。
总之，从零温下超导体中涡旋的多体波函数描述出发，我们通过计算涡旋绝热地沿闭合回路运动时的贝里相位，推导出了马格努斯力；其过程类似于强磁场中带电粒子的情形。我们得以证明，马格努斯力的存在仅依赖于超导体的两个基本性质：超导态的存在，以及多体波函数的单值性。因此我们发现，马格努斯力的存在对系统的具体细节并不敏感，其大小正比于超流电子密度。
原文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.70.2158
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