★置顶zzllrr小乐公众号（主页右上角）数学科普不迷路！
偏微分方程（PDEs）领域长达百年的难题获得突破 —— 椭圆型偏微分方程正则性理论，成功拓展至非一致（不均匀）椭圆型偏微分方程范畴。
为了研究飞机机翼周围的空气流动、桥梁上的应力分布或其他各种情况，研究人员使用椭圆偏微分方程。这些方程因难以理解而著称。
图源：Kristina Armitage; Michael Kanyongolo / Quanta Magazine
一、原文大意
2026年2月6日， Paulina Rowińska 撰写的《量子杂志》文章 https://www.quantamagazine.org/long-sought-proof-tames-some-of-maths-unruliest-equations-20260206/ ，核心讲述了意大利数学家朱塞佩·明吉奥内（Giuseppe Mingione）与克里斯蒂亚娜·德·菲利皮斯（ Cristiana De Filippis）合作，攻克了偏微分方程（PDEs）领域长达百年的难题：
将波兰数学家绍德尔（Juliusz Pawel Schauder，1899—1943）于1930 年代建立的椭圆型偏微分方程正则性理论，成功拓展至非一致椭圆型偏微分方程（nonuniformly elliptic PDE）范畴。 https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short
数学家用椭圆偏微分方程来模拟空间变化但时间不变的系统——如平衡时熔岩流的温度、组织中营养物质的分布、肥皂膜的形状。
图源：Giles Laurent/Creative Commons; Mikael Häggström/Creative Commons; Ted Kinsman/Science Source
偏微分方程是描述时空域中各类变化现象的核心数学工具，其中椭圆型偏微分方程（elliptic PDE）用于建模仅随空间变化、不随时间变化的稳态现象（如熔岩平衡态温度、岩石中水压力、桥梁应力分布），但这类方程难以直接求解，数学家通常通过证明解的正则性（regularity，即解无物理上不可能的突变、折点）来近似分析。
尤利乌斯·绍德尔（Juliusz Pawel Schauder，1899—1943）的经典理论仅适用于描述均匀介质的椭圆型 PDE，而现实世界的现象多为非均匀介质主导，对应的非一致椭圆型 PDE 的正则性证明长期处于瓶颈。
朱塞佩·明吉奥内（Giuseppe Mingione）帮助证明了他20年前提出的一个猜想。他说，最终的证明是“绝望中的奇迹”。
图源：Giampiero Palatucci
朱塞佩·明吉奥内（ Giuseppe Mingione）早在 2000 年便发现 Schauder 理论需补充新条件 https://www.researchgate.net/publication/238855470_Sharp_regularity_for_functionals_with_p_q_growth 才能适配非一致椭圆型 PDE，并提出了一个刻画介质非均匀性阈值的不等式猜想，但因证明难题搁置近 20 年。
克里斯蒂亚娜·德·菲利皮斯（Cristiana De Filippis） 一直在发展一个广泛的理论，以更好地理解偏微分方程的解，她将目光投向越来越复杂的案例
图源：Giampiero Palatucci
2017 年，研究生 Cristiana De Filippis（克里斯蒂亚娜·德·菲利皮斯，参阅：） 主动与其合作，二人通过创新的数学方法推导幽灵方程（ghost equation）、精准估计解的梯度（gradient），最终在 2022 年预印本中完成大部分证明 https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-023-01216-2 ，并最终证实了 Mingione 提出的非均匀性阈值的精确性 https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short ，其成果于 2025 年夏季发表，首次实现了对现实中非均匀介质稳态现象的精准数学建模，也为其他类型 PDE 的分析提供了新范式。
明吉奥内说：“那一瞬间仿佛时光回溯，就像遇见了 20 年前的自己，叩响了自己曾经的思维之门。” 在他看来，是德・菲利皮斯身上 “全新的活力、热忱，以及坚信问题能够被解决的信念”，说服他重新拾起这项搁置已久的猜想证明工作。
二、核心数学思想
1、解的正则性是 PDE 分析的核心前提
椭圆型 PDE 难以直接求解，数学家的核心思路并非计算精确解，而是证明解的正则性 —— 即解在定义域内连续、无突变或折点，只有解具备正则性，才能通过各类数学工具对其进行有效近似，进而分析对应物理现象的规律；若解缺乏正则性，所有近似分析方法均会失效。
2、Schauder 经典理论的核心条件
波兰数学家尤利乌斯·绍德尔（Juliusz Schauder，1899—1943）试图理解物理系统模型何时能和不能呈现出真实的美好图景。
图源：公域
1930 年代尤利乌斯·绍德尔（ Juliusz Schauder） 提出，对于描述均匀介质的椭圆型 PDE，只需证明方程蕴含的物理规则（如热传导速率）在空间中无剧烈突变，即可保证解的正则性，这一条件为均匀介质 PDE 的分析奠定了基础。
在绍德尔的证明问世后的数十年里，数学家证实，这一条件足以保证所有描述均匀介质的偏微分方程，其解都具备正则性。在均匀介质中，方程背后的物理规律的变化幅度存在上限。例如，若假设熔岩是均匀介质，那么热的传导速率始终会处于特定范围内，不会过快也不会过慢。
但现实中的熔岩，其实是由熔融岩石、溶解气体和结晶体混合而成的非均匀物质。在这类非均匀介质中，物理规律的极端变化无法被控制，不同位置的热传导速率可能存在极大差异：熔岩的某些区域导热性极佳，而另一些区域的导热性则极差。针对这种情况，研究者需要用 “非一致椭圆型偏微分方程” 来建立模型。
3、非一致椭圆型 PDE 的核心约束
现实中非均匀介质的物理规则（如熔岩不同区域的热传导速率）存在极端差异，因此非一致椭圆型 PDE 的正则性证明，不仅要求物理规则的空间变化是渐进的，还需对这种变化的幅度进行严格控制 —— 介质的非均匀性越强，对规则变化的控制阈值需越严格，Mingione 将这一约束转化为不等式，给出了系统可容忍的非均匀性精确阈值。
4、梯度有界是正则性证明的关键
证明 PDE 解的正则性，本质是证明解的梯度在定义域内有界 —— 梯度描述了解在各点的变化速率，若梯度无界则意味着解存在突变，因此二人的核心思路是通过数学方法还原并估计梯度的上界，确保其始终处于可控范围。
5、间接推导替代直接计算
由于非一致椭圆型 PDE 的解和梯度均无法直接计算，二人采用 “间接推导” 思路，从原方程衍生出 ghost equation（幽灵方程），通过对该辅助方程的精细化处理，间接提取原方程解的梯度信息，实现对梯度的精准估计。
三、主要创新点
1、提出非一致椭圆型 PDE 正则性的充要条件
Giuseppe Mingione 突破 Schauder 理论的均匀介质限制，首次提出非一致椭圆型 PDE 解具备正则性的附加条件—— 将介质的非均匀性量化为一个不等式，明确了系统可容忍的非均匀性精确阈值（当非均匀性在该阈值内时，解必然具备正则性；超出阈值则无法保证正则性。即这一不等式恰好是解从具备正则性到可能失去正则性的临界条件）且最终证明了该阈值的精确性，填补了非一致椭圆型 PDE 理论的核心空白。
2、创新推导 ghost equation（幽灵方程）
针对非一致椭圆型 PDE 的解和梯度无法直接计算的难题，De Filippis 与 Mingione 从原方程中衍生出全新的 ghost equation（幽灵方程），该方程作为原方程的 “影子方程”，可间接反映原方程解的梯度特征；二人通过对幽灵方程的精细化打磨和多步骤推导，成功从其中提取出原方程的梯度信息，这一方法突破了 Mingione 此前的证明瓶颈，是本次成果的核心技术创新。
3、梯度的精细化分块估计方法
为证明梯度有界，二人将梯度拆分为多个子部分，逐一证明每个子部分的上界，且在估计中实现了无误差冗余—— 这项工作耗费了巨大的心血：哪怕其中一个部分出现微小的计算误差，都会导致梯度的估计结果偏离预期，让他们无法证明那个临界阈值。
二人通过反复验证（德・菲利皮斯称，这是一场 “永无止境的博弈”）实现了各子部分的精准界估计，最终证明了整体梯度的有界性，这一方法为高复杂度 PDE 的梯度估计提供了新范式。
明吉奥内数十年前预测的那个临界阈值，恰好是解的正则性的分界点。
四、待解决问题和未来科研攻关方向
1、将理论拓展至时空双变的 PDE 范畴
本次成果仅针对仅随空间变化的稳态椭圆型 PDE，而现实中多数现象是随时间和空间同时变化的（如风暴轨迹、疾病传播、股价演化），对应的抛物型、双曲型 PDE 尚未被该理论覆盖，未来需将本次提出的 ghost equation、梯度分块估计、非均匀性阈值等方法，拓展至同时随空间和时间变化的各类 PDE，实现对动态非均匀现象的数学建模。
2、将理论转化为工程化的近似计算工具
本次成果主要完成了理论层面的正则性证明，但尚未转化为工程界可直接使用的 PDE 近似计算工具，未来需结合数值分析、计算数学，将 ghost equation、梯度估计方法转化为可编程的算法，让工程师、物理学家能直接利用该理论对非均匀介质现象进行定量计算和预测。
3、跨学科的应用落地研究
该理论为非均匀介质的稳态现象提供了精准数学模型，未来需与物理学、地质学、工程学、医学等学科结合，开展具体的应用研究 —— 如利用该理论精准建模熔岩流动的稳态特征、肿瘤内营养扩散的规律、桥梁非均匀材料的应力分布，让数学成果转化为实际的学科研究和工程设计支撑。
参考资料
https://www.quantamagazine.org/long-sought-proof-tames-some-of-maths-unruliest-equations-20260206/
https://arxiv.org/pdf/2401.07160v3
https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short
https://www.researchgate.net/publication/238855470_Sharp_regularity_for_functionals_with_p_q_growth
https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-174/issue-9/The-sharp-growth-rate-in-nonuniformly-elliptic-Schauder-theory/10.1215/00127094-2024-0075.short
小乐数学科普近期文章
·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·
让数学
更加
易学易练
易教易研
易赏易玩
易见易得
易传易及
欢迎评论、点赞、在看、在听
收藏、分享、转载、投稿
查看原始文章出处
点击zzllrr小乐
公众号主页
右上角
置顶加星★
数学科普不迷路！
热门跟贴