Compositional Neuroscience: Seeking a New Languagefor Brain Circuits with Monoids, Functors, and Operads

组合神经科学：借幺半群、函子与操作子探索脑回路新语言

https://www.researchgate.net/profile/Debi-Prasad-Ghosh/publication/391439657_Compositional_Neuroscience_Seeking_a_New_Language_for_Brain_Circuits_with_Monoids_Functors_and_Operads/links/6817a446df0e3f544f51de69/Compositional-Neuroscience-Seeking-a-New-Language-for-Brain-Circuits-with-Monoids-Functors-and-Operads.pdf

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摘要：

对大脑复杂的多尺度架构进行建模，需要一种形式化语言，以捕捉多样的神经成分如何组合成功能回路。当前方法通常缺乏这种严格的组合结构。我们引入了一种用于组合神经科学的操作子演算，这是一个基于范畴论的框架，提供了这样一种语言。

我们将皮层微柱建模为幺半群对象（范畴 M），以捕捉其内部代数结构，并将皮层下模块建模为对象（范畴 S）。函子描述它们之间基本的保结构投影。更丰富的皮层 - 皮层下相互作用，如预测编码、基底节门控、海马重放和神经调节，通过伴随、单子、双函子和自然变换进行形式化。框架的核心是连线图操作子（W）；其图提供了组合组件的形式语法，而 W-代数将这些图映射到具体的复合神经过程，保证指定代数语义（例如，幺半群/单子律）的保持。因此，该演算使得系统构建具有完整性形式保证的复杂、异构回路模型成为可能，促进了模块化以及对大规模脑架构的严格推理。我们概述了使用富化范畴和动态操作子的关键扩展，以纳入动力学和可塑性，并讨论了通往实证验证的途径，旨在为神经科学提供一种全面且可计算的组合语言。

1 引言

哺乳动物大脑展现出非凡的计算能力，涌现自广阔的新皮质层与众多皮层下核团之间复杂的相互作用，包括丘脑、基底节、小脑和海马体。理解这些成分如何协调感知、行动、学习和记忆，需要模型不仅能捕捉连接性和动力学，还能捕捉神经计算的组合性质——即局部处理基元如何结合形成全局认知功能。传统方法虽然有价值，但往往不足。静态图论模型捕捉网络拓扑，但通常统一对待连接，掩盖了功能差异 (Bullmore & Sporns, 2009)，而动力系统模型描述群体活动，但难以表达不同的计算回路如何在相互作用中组合或保持结构 (Ashby, 1956)。迫切需要一种更抽象、基于形式化的语言，能够描述功能多样的脑回路如何由可重用组件构建而成。

本文以组合神经科学的操作子演算形式引入了这样一种语言。我们利用范畴论的数学框架，特别是幺半群、函子和操作子的概念，为组装神经系统模型提供精确的语法和语义。我们提出，皮层微柱作为新皮质的基本计算单元，可以有效地建模为合适范畴 M 内称为幺半群对象的代数结构，以捕捉其内部递归处理逻辑。皮层下核团类似地被处理为不同范畴 S 内的对象。基本的保结构相互作用，如前馈投影或表示之间的映射，被形式化为函子。

在此基础上，我们展示了更复杂的皮层 - 皮层下相互作用——通常被孤立研究——如何使用源自函子或通过函子相互作用的更丰富范畴结构来表示：通过伴随表示预测编码回路（皮层 - 丘脑），通过单子表示门控机制（基底节），通过余单子表示误差校正信号（小脑），通过双函子表示记忆重放（海马体），以及通过自然变换表示全局增益控制（神经调节）。核心贡献是引入了操作子演算，具体使用连线图操作子（Spivak, 2013），它提供了将这些异构组件（幺半群、函子、单子等）组合成更大、功能整合回路的形式规则，同时严格保持其底层代数属性。这种方法将焦点从个别回路的定制模型转移到通用的组合框架，为脑架构提供了一种新视角，即视为由数学定义明确的模块构建的结构化、分层系统。

1.1 文献综述

我们的提案建立在此基础上，并寻求整合几条不同的研究线索：

• 图论与动力学模型：网络神经科学已成功利用图论揭示脑连接中的结构和功能特性，如枢纽和模块 (Bullmore & Sporns, 2009 [13]; Guye et al., 2010 [32]; Vecchio et al., 2016 [64])。动力系统理论提供了分析神经群体活动模式的工具，从单个神经元到网络和认知模型 (Coombes, 2005 [21]; Deco et al., 2008 [22])。然而，这些方法通常缺乏形式化机制来区分连接性或动力学之外的不同类型的相互作用（例如，特定的处理基元，如神经雪崩 - Beggs & Plenz, 2003 [7]），或指定功能组合的规则。

• 预测编码与主动推理：分层贝叶斯框架，包括预测编码和主动推理，通过预测误差最小化或自由能最小化等原则对脑功能进行建模，通常涉及互惠回路 (Friston et al., 2017 [28]; Pezzulo et al., 2024 [49])。虽然在解释特定现象和提供过程理论方面功能强大（参见教程 Smith et al., 2022 [61]），但这些模型通常未嵌入更广泛的组合语法中，无法将它们与门控或重放等其他不同回路进行代数整合。最近的工作探索了主动推理内的结构学习 (Friston et al., 2024 [24]; Neacsu et al., 2022 [48]; de Tinguy et al., 2025 [62]) 以及使用更形式化方法的结构化主动推理 (Smithe, 2024 [58])，这与组合建模的目标一致。

• 基底节门控模型：计算模型描述了基底节在动作选择和门控信息流中的作用，通常基于其独特的内部解剖结构 (Gurney et al., 2001a [29]; Gurney et al., 2001b [29]; Redgrave et al., 2002 [54]; Baston & Ursino, 2014 [17]; Beiser et al., 1997 [18])。这些模型成功捕捉了特定的计算功能和动力学 (Humphries & Gurney, 2021 [33])，但通常缺乏一个通用代数框架，用于将此门控功能与其他类型的神经计算模块组合。

• 海马重放：研究强调了海马体通过在休息或睡眠期间重放神经序列来巩固记忆的作用 (Buzsáki, 2011 [12]; Foster & Wilson, 2006 [27]; Ambrose et al., 2016 [2])。重放的复杂性质——涉及分布式模式、序列压缩 (Roumi Al F et al., 2021 [52]; Roumi Al F et al., 2023 [53]) 和上下文依赖的调节 (Ambrose et al., 2016 [2])——使其整合到形式组合模型中具有挑战性，尽管存在计算和机器人模型 (Molter et al., 2006 [46]; Whelan et al., 2021 [65])。

• 范畴论与组合方法：人们越来越有兴趣应用范畴论 (Awodey, 2010 [5]; Leinster, 2016 [43]; Fong & Spivak, 2018 [26]; Iordache, 2011 [35]; Borceux, 1994 [10]) 和相关的组合数学如余代数 (Jacobs, 2016 [39]; Frank et al., 2022 [25]; Lee & Lee, 2020 [44]; Teatro et al., 2022 [63]) 来建模复杂系统，包括马尔可夫过程 (Baez & Fong, 2016 [6])、信号流图 (Bonchi et al., 2014 [9])，以及可能分离控制/数据流 (Arellanes, 2023 [3])。操作子 (Arity, 2002 [4])，特别是连线图操作子（由 Spivak 概念性引入并在 Fong & Spivak, 2018 [26] 等作品中详细说明），为组合具有类型接口的系统提供了形式化语言。此外，富化范畴论 (Kelly, 1982 [40]; Johnstone, 1982 [37]; Borceux & Stubbe, 2000 [16]; Stubbe, 2014 [59]) 提供了纳入动力学和定量结构的工具。双函子（分布子）提供了一种处理关系结构的方法 (Bénabou, 1973 [8])。我们的工作旨在将这些线索综合成一个专为组合神经科学量身定制的综合操作子演算。

1.2 本文贡献 本文做出以下具体贡献：

  1. 皮层幺半群模型：将单个皮层微柱形式化为范畴 M 中的幺半群对象，以代数方式捕捉其内部计算结构。
  2. 皮层下范畴：定义一个范畴 S，其对象代表多样的皮层下模块（丘脑、基底节、小脑、海马体）。
  3. 函子与高阶映射：使用函子建模基本的保结构投影，并使用导出的范畴结构（伴随、单子、余单子、双函子、自然变换）形式化关键的皮层 - 皮层下相互作用（预测编码、门控、细化、重放、神经调节）。
  4. 用于组合的操作子演算：引入连线图操作子的使用，作为一种形式演算，用于将这些多样的神经模块（由幺半群、函子、单子等表示）组合成更大的回路，同时保证保持其代数语义。
  5. 桥接抽象与生物学：概述了丰富范畴框架以纳入真实动力学（通过富化范畴）的途径，并提出了利用大规模神经数据进行实证验证和模型拟合的方向。

1.3 论文结构

本文组织如下：

• 第 2 节：回顾范畴论预备知识（范畴、函子、幺半范畴），并引入皮层微柱幺半群模型，定义范畴 M。

• 第 3 节：定义皮层下模块的范畴 S 及其用于并行组合的幺半结构。

• 第 4 节：开发 M 与 S 之间的函子映射，引入伴随函子用于皮层 - 丘脑预测编码，并使用单子形式化基底节门控。

• 第 5 节：展示双函子（由函子构建）如何捕捉海马重放，以及自然变换（函子之间的变换）如何建模神经调节。

• 第 6 节：呈现核心的操作子演算，展示 Spivak 的连线图如何为组合先前定义的范畴模块提供形式语法。

• 第 7 节：讨论用动力学和可塑性丰富框架的策略（例如，使用富化范畴、动态操作子），并概述实证拟合与验证的方法。

• 第 8 节：总结该操作子演算对组合神经科学的意义，并概述未来研究的关键方向。

  1. 范畴论预备知识与皮层微柱幺半群模型

本节首先回顾来自范畴论的基础概念——具体为范畴、函子、幺半范畴和幺半群对象——它们构成了我们框架的数学基石。随后我们引入模型的第一个核心组件：将单个皮层微柱形式化为合适幺半范畴内的幺半群对象，并定义包含这些结构的范畴 M。

2.1 范畴论预备知识

我们首先回顾标准定义（参见 Mac Lane, 1998; Awodey, 2010; Leinster, 2016 以获得全面论述）。

范畴 (Categories)范畴 C 由一组对象（记作 A, B, C, ...）和一组态射（或箭头，记作 f, g, h, ...）组成。每个态射 f 都有一个源对象A 和一个目标对象B，记作 f: A→B。对于任意三个对象 A, B, C，存在一个复合运算∘，使得对于任意 f: A→B 和 g: B→C，它们的复合 g ∘ f 是从 A 到 C 的态射。复合必须是结合的：h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f（当复合有定义时）。此外，对于每个对象 A，存在一个恒等态射idₐ: A→A，使得对于任意 f: A→B 和 g: C→A，都有 f ∘ idₐ = f 和 idₐ ∘ g = g。我们将范畴 C 中从 A 到 B 的所有态射集合记为 Homᶜ(A, B)。

函子 (Functors)函子 F: C→D 是两个范畴 C 和 D 之间的保持结构的映射。它将范畴 C 中的每个对象 A 映射到范畴 D 中的对象 F(A)，将范畴 C 中的每个态射 f: A→B 映射到范畴 D 中的态射 F(f): F(A)→F(B)。这种映射必须保持恒等性（对所有 C 中的对象 A，有 F(idₐ) = id_F(A)）和复合性（对所有 C 中可复合的态射 f, g，有 F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)）。函子是关联不同范畴同时尊重其内在结构的基本映射。

幺半范畴 (Monoidal Categories)幺半范畴是配备了用于组合对象的附加结构的范畴 C。形式上，它由一个范畴 C、一个张量积双函子 ⊗: C×C→C、一个单位对象I ∈ Ob(C)，以及称为结合子（αₐ, B, C: (A⊗B) ⊗C ≅ A⊗ (B⊗C)）、左单位子（λₐ: I⊗A ≅ A）和右单位子（ρₐ: A⊗I ≅ A）的自然同构组成。这些同构必须满足某些一致性条件（Mac Lane 的五边形和三角形恒等式），确保使用 ⊗ 和 I 组合多个对象的不同方式是规范等价的。幺半范畴为"张量"或组合元素的操作（如集合范畴Set中的笛卡尔积，或向量空间范畴Vect中的张量积）提供了一个一般性框架。

幺半对象 (Monoid Objects)在任何幺半范畴 (C, ⊗, I) 中，可以内部定义代数结构。一个幺半对象（或内部幺半群）由一个对象 M ∈ Ob(C) 和两个态射组成：一个乘法μ: M⊗M→M 和一个单位η: I→M。这些态射必须满足幺半群公理的内部版本：

  • 结合性

  • 单位性

一个标准幺半群（例如，整数在加法下）正是幺半范畴 (Set, ×, {}) 中的一个幺半对象，其中 × 是笛卡尔积，{} 是单元素集。

2.2 将微柱建模为幺半群对象

新皮层被组织成垂直结构，跨越其各层，特别是在许多感觉和联合区域，被称为皮层柱和微柱 (Mountcastle, 1997)。一个微柱通常由 80-120 个神经元组成，表现出密集的内部连接，通常被视为一个基本计算单元，根据其内部状态和递归动力学对其输入执行变换 (Buxhoeveden & Casanova, 2002; Douglas & Martin, 2004)。

我们提议通过将其建模为合适的基础幺半范畴内的幺半群对象 (M, μ, η) 来捕捉微柱内部处理的基本代数结构，我们将该范畴记为 Cstate。Cstate 的选择取决于所需的细节水平（例如，对于离散状态可以是 Set，对于拓扑状态空间可以是 Top，或者动力学系统范畴）；目前，我们仅要求它是幺半的。

• 对象 M ∈ Ob(Cstate) 代表微柱的状态空间（例如，可能神经活动模式的集合或空间）。

• 乘法态射 μ: M⊗M→M 代表内部变换的组合或微柱状态随时间的演变。张量积 M⊗M 代表一种组合状态信息的方式（例如，当前状态和输入，或时间 t 的状态和时间 t+1 的状态以产生 t+2 的状态）。结合律公理 (μ ∘ (μ ⊗ idM) = μ ∘ (idM⊗μ) ∘ α) 确保这些内部动力学的顺序组合表现一致。

• 单位态射 η: I→M 代表一个恒等变换或中性/基线状态。它挑选出 M 中的元素（或从单位对象 I 映射），该元素作为组合 μ 的中性元素。单位律公理确保与恒等变换组合没有效果。

这种幺半群对象形式化抽象掉了具体的生物物理细节（如脉冲计时或神经递质类型），以专注于微柱内部计算的代数结构——即操作序列或状态转换如何以结合方式组合。

2.3 微柱范畴 (M)

在将单个微柱定义为幺半群对象之后，我们将它们组装成一个范畴，记为M。该范畴将新皮层表示为一组相互作用的计算单元的集合。

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总之，范畴M为新皮层提供了一种形式化表示，将其视为由计算结构化单元（幺半群对象）组成的网络，这些单元通过尊重该结构的通路（幺半群同态）连接。这为我们将在后续章节中构建与皮层下系统相互作用的模型奠定了基础。

  1. 皮层下模块范畴 S 及其幺半结构

在定义了代表皮层片层的范畴 M 之后，我们现在引入第二个范畴 S，用以容纳与皮层相互作用的多样皮层下结构。大脑的一个关键架构特征是多个不同皮层下回路的并行运作。为了形式化地捕捉这种并行性，我们为 S 配备了幺半范畴的结构，使我们能够表示独立皮层下处理通路的组合。

3.1 幺半范畴 S

我们将 S = (Ob(S), Hom_S, ⊗, I) 定义为一个幺半范畴，其中：

  • 对象 (Ob(S))：S 的对象代表单个皮层下模块、核团或定义的处理通道。这些是与皮层范畴 M 相互作用的基础皮层下组件。示例包括特定的丘脑核团（例如，外侧膝状体 - LGN，内侧膝状体 - MGN，腹外侧核 - VL），参与基底节回路的组件（例如，纹状体中等多棘神经元群，苍白球内/外节 - GPi/GPe，黑质网状部 - SNr），小脑微区或复合体，海马亚区或集合（例如，参与重放的 CA1、CA3 区域），以及关键的神经调节中心（例如，去甲肾上腺素的蓝斑 - LC，多巴胺的腹侧被盖区 - VTA，乙酰胆碱的基底前脑核团）。
  • 态射 (Hom_S(X, Y))：S 内的态射代表皮层下系统内部的结构保持变换或处理步骤。例如，一个态射可以代表发生在特定丘脑核团内的信号变换，或者是连接基底节回路内两个阶段的通路，这两个阶段都被视为 S 的一部分。这些态射的确切性质取决于为皮层下对象的内部动力学所选择的抽象层次（例如，状态空间之间的映射，保持动力系统结构的变换）。
  • 张量积 (⊗: S×S→S)：双函子 ⊗ 定义了 S 中的幺半积。至关重要的是，我们将 X⊗Y 解释为两个独立皮层下模块 X 和 Y 的并行组合。这使我们能够形式化地表示多个不同皮层下通路并发运作的系统。例如，通过丘脑的并行处理流（例如，LGN ⊗ MGN 代表并行的视觉和听觉中继），同时运作的不同皮层 - 基底节回路，或有助于运动控制的多个小脑微区，都可以使用 ⊗ 积进行建模。
  • 单位对象 (I)：幺半单位 I 是 S 中的一个对象，代表一个“空”或恒等模块。它充当张量积的中性元素，使得 X⊗IX≌I⊗X。这可能代表特定皮层下通路的缺失，或者一条没有效应的通路。

正如幺半范畴所要求的，张量积 ⊗ 配备了用于结合律（结合子 α）和单位律（单位子 λ, ρ）的自然同构，这些同构满足 Mac Lane 相容性条件 (Mac Lane, 1998)。这确保了由 ⊗ 定义的并行组合在数学上是一致的，无论模块如何分组。

3.2 皮层下模块示例（S 中的对象）

定义 S 的力量在于其能够在单一范畴框架内容纳多样的功能模块。以下是对驻留在 S 中的对象类型的简要描述，这预示了它们与 M 的特定交互模式（将在后续章节中详述）：

  • 丘脑中继模块 (Thalamic Relay Modules)：像 LGN（外侧膝状体）、MGN（内侧膝状体）、VL（腹外侧核）这样的对象代表丘脑核团。它们是感觉信息的关键中继，并参与皮层 - 丘脑回路，实现如预测编码等功能 (Sherman & Guillery, 2002)。它们与 M 的交互将使用伴随函子形式化。
  • 基底节通道 (Basal Ganglia Channels)：代表基底节回路组件（例如，特定纹状体群，GPi/SNr 输出核团）的对象驻留在 S 中。这些回路涉及动作选择、门控和强化学习 (Gurney et al., 2001; Mink, 1996)。它们对 M 中皮层处理的影响将通过单子 (monads) 捕捉。
  • 小脑微区 (Cerebellar Microzones)：代表小脑模块化计算单元（例如，浦肯野细胞 - 深部小脑核团回路）的对象属于 S。这些涉及运动控制、计时、预测和误差校正 (Ito, 2006; Popa et al., 2016)。它们在精细化皮层指令中的作用将使用余单子 (comonads) 建模。
  • 海马集合体 (Hippocampal Ensembles)：对应于参与记忆形成、巩固和检索的特定海马回路或细胞集合（例如，CA3 递归网络，CA1 输出阶段）的对象被放置在 S 中。它们在序列重放以及将记忆痕迹映射到皮层模式中的功能将使用双函子 (profunctors) 形式化。
  • 神经调节中心 (Neuromodulatory Centers)：像蓝斑 (LC)、腹侧被盖区 (VTA) 或基底前脑这样的对象代表弥散神经调节系统的源核团。这些对脑状态、可塑性和增益施加全局影响 (Aston-Jones & Cohen, 2005)。它们跨 M 的统一作用将通过自然变换建模。

本质上，范畴 S 充当多样皮层下处理模块的结构化存储库。通过将其定义为幺半范畴，我们通过张量积 ⊗ 明确纳入了并行处理的能力。将这些功能各异的模块置于单一范畴框架 S 中，是构建皮层 - 皮层下相互作用的统一、组合模型的第二步基础步骤（在定义 M 之后）。接下来的章节将详细阐述定义皮层范畴 M 和皮层下范畴 S 之间交互的特定范畴构造（函子、伴随、单子、余单子、双函子、自然变换）。

  1. 皮层-皮层下相互作用中的函子映射、伴随与单子

在建立了范畴 M（皮层微柱幺半群）和 S（皮层下模块）之后，我们现在利用基础范畴构造定义它们之间的主要相互作用模式。本节展开使用函子进行基本的保结构投影，引入伴随函子对皮层与丘脑之间预测编码背后的互惠回路进行建模，并使用单子形式化基底节门控的计算效应。

4.1 函子映射：基本投影

在范畴之间映射结构的最基本方式是通过函子。一个函子F: M→S 将每个皮层微柱（幺半群对象）M∈M 映射到一个特定的皮层下模块 F(M)∈S，并将 M 中的每个柱间投影（幺半群同态）f: M₁→M₂ 映射到 S 中对应的保结构变换 F(f): F(M₁)→F(M₂)。根据定义，函子保持恒等态射和复合（F(id_M) = id_F(M) 且 F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)）。

  • 神经生物学解释：此类函子模拟了从皮层到皮层下（或者对于函子 G: S→M 则是反之亦然）的单向通路，这些通路严格保持组合结构。例如，从广泛皮层区域到脑桥核（小脑的主要输入阶段）的投影，或者从运动皮层到特定基底节输入结构的投影，可以建模为函子 F: M→S。函子性（Functoriality）保证了跨皮层柱的处理序列和结构被忠实地转换（翻译）为目标皮层下结构内的对应序列。这比简单的连接图提供了更严谨的描述，确保计算连贯性在接口处得以维持。

4.2 用于皮层-丘脑回路的伴随函子（预测编码）

许多关键的脑功能依赖于皮层与皮层下结构之间的双向通信。例如，预测编码理论假设皮层区域与丘脑中继之间存在一种互惠交换，以最小化预测误差 (Friston, 2010; Rao & Ballard, 1999)。这种双向、互补的关系被伴随 (adjunction)的数学结构自然地捕捉。

M 与 S 之间的一个伴随由一对函子组成：F: M→S（左伴随）和 G: S→M（右伴随），记作 F ⊣ G。这对函子伴随着一个自然同构，该同构将 S 中从 F(M) 出发的映射与 M 中进入 G(S) 的映射联系起来：对于所有 M∈M 和 S∈S，有 Hom_S(F(M), S) ≅ Hom_M(M, G(S))。等价地，伴随可以通过称为单位 (unit)η: Id_M ⇒ GF 和余单位 (counit)ε: FG ⇒ Id_S 的自然变换来定义，它们必须满足三角形恒等式 (triangle identities)以确保其相容性 (Mac Lane, 1998)。

  • 神经生物学解释（预测编码）：我们在皮层-丘脑相互作用的背景下将 F ⊣ G 伴随解释如下：
    • F: M→S 代表从皮层区域 (M) 到对应丘脑中继核 (S，具体为 F(M)) 的“自上而下”投射。该通路从皮层向丘脑传递预测、先验或语境。
    • G: S→M 代表从丘脑核 (S) 返回皮层区域（具体为 G(S)）的“自下而上”投射。该通路传递感觉证据，或者在预测编码框架中，传递预测误差（即自上而下的预测与自下而上的感觉数据之间的不匹配）。
    • 自然同构捕捉了预测处理中固有的对偶性：评估皮层预测 M 与丘脑状态 S 之间的匹配度（通过态射 F(M)→S）等价于将皮层状态 M 映射到丘脑状态的皮层表征 G(S)（通过态射 M→G(S)）。
    • 单位 η: M→G(F(M)) 将皮层状态嵌入到完整的皮层-丘脑-皮层回路表征中。余单位 ε: F(G(S))→S 将丘脑-皮层-丘脑回路表征投影回丘脑状态。满足三角形恒等式对应于自上而下预测和自下而上证据的有效协调，可能关联到自由能最小化 (Friston, 2010)。

4.3 用于基底节门控的单子构造

基底节 (BG) 广泛涉及动作选择、强化学习以及将信息“门控”进入工作记忆或运动输出通路 (O'Reilly & Frank, 2006; Gurney et al., 2001)。这种功能可以被概念化为一种调节或变换皮层处理的计算效应。范畴论提供了单子 (monads)作为构建此类效应的典范方式。

范畴 M 上的一个单子由一个自函子 T: M→M 和两个自然变换组成：单位 (unit)η: Id_M⇒T 和乘法 (multiplication)μ: T²→T（其中 T² = T ∘ T）。这些必须满足单子律（结合律和单位律）。关键在于，任何伴随 F⊣G（其中 F: M→S, G: S→M）都会在 M 上诱导一个单子 (T, η, μ)，其中自函子是 T = G ∘ F，单子单位是伴随单位 η: Id_M⇒GF，而乘法是从伴随余单位 ε: FG ⇒ Id_S 导出的，即 μ = GεF: GFGF⇒GF。

  • 神经生物学解释（基底节门控）：我们将与 BG 相关的皮层 - 纹状体 - 苍白球 - 丘脑 - 皮层回路的效应建模为皮层范畴 M 上的一个单子 T = G ∘ F。这里，F: M→S_BG 概念上代表从皮层到 BG 输入结构（在 S 内）的投影，而 G: S_BG→M 代表通过 BG 输出核团和丘脑返回皮层的回路。
    • T(M) = G(F(M)) 代表初始状态 M 经过整个 BG 回路处理后产生的皮层状态。它是皮层表征的“门控”或“选择”版本。
    • 单位 η: M→T(M) 将原始皮层状态 M 映射到其经 BG 处理后的表征 T(M)。这可以解释为启动门控过程，将当前的皮层计划或表征发送到 BG 进行评估。
    • 乘法 μ: T(T(M)) → T(M) 捕捉了门控效应的组合性质。T(T(M)) 代表连续两次应用 BG 处理回路。乘法 μ 确保这种迭代表现一致，本质上陈述了一旦状态通过 T 被门控或选择，再次应用门控过程 (T(T(M))) 会产生与第一次应用 (T(M)) 相同的结果。它防止了冗余或失控的处理，并确保该效应在结构上是幂等的 (idempotent)
    • 涉及 BG 门控的计算可以形式化地描述为单子 T 的克莱斯利范畴 (Kleisli category)Kl(T) 中的态射。一个克莱斯利态射 f: M→T(N) 代表一个始于皮层状态 M 并终于状态 N 的过程，其中计算由 BG 门控效应 T 介导或影响。强化学习信号（如多巴胺）随后可以被形式化为随时间修改这些克莱斯利态射的机制。

本节确立了皮层范畴 M 与皮层下范畴 S 之间三种基本的相互作用模式。基本的、保结构的投影被建模为函子 (Functors)。双向的、互补的回路（如预测编码中的回路）由伴随 (Adjunctions)捕捉。诸如门控和选择之类的计算效应（以基底节为例），是使用单子 (Monads)形式化的，这些单子通常直接从伴随导出。这些构造为我们范畴框架内组装更复杂的回路模型提供了初始构建模块。

  1. 通过双函子实现海马重放与通过自然变换实现神经调节

除了第 4 节描述的直系投影、反馈回路和门控机制之外，脑回路还表现出更复杂的相互作用模式。本节引入两个进一步的范畴概念来模拟此类现象：双函子（profunctors），用于捕捉海马记忆重放的关系结构；以及自然变换（natural transformations），用于形式化神经调节系统的全局、统一影响。

5.1 用于海马重放的双函子

海马体在记忆巩固中起着关键作用，部分是通过“重放”现象，即在休息或睡眠期间重新激活对应于过去经验的神经活动序列 (Buzsáki, 2011)。这一过程涉及分布式皮层表征（驻留在 M 中）与特定海马神经集合（S 中的对象 H）之间的复杂映射。重放可能涉及序列压缩、时间反转，并代表皮层特征与海马序列表征之间的多对多关系 (Foster & Wilson, 2006; O'Neill et al., 2010)。简单的函子映射难以捕捉这种丰富的关系结构。

双函子（也称为双模 bimodules 或分配子 distributors）提供了合适的推广。从 M 到 S 的双函子 P 可以定义为一个函子 P: M^op × S → Set，其中 M^op 是 M 的反向范畴（态射反转），Set 是集合范畴 (Bénabou, 1973; Borceux, 1994)。对于由皮层微柱 M∈M 和海马集合 H∈S 组成的每一对，双函子分配一个集合 P(M, H)。虽然与函子相关（每个函子 F: M→S 诱导双函子），但双函子更为通用，能够捕捉两个范畴对象之间任意的“关系”或“对应”。

  • 神经生物学解释（海马重放）
    • 我们将集合 P(M, H) 解释为特定重放事件的集合，这些事件将由微柱 M 代表的皮层状态与海马集合 H 内的活动或序列状态联系起来。它捕捉了皮层元素在海马序列中特征化或被其触发的多种可能性。
    • 对 M 的反变依赖（P 是来自的函子）反映了重放事件如何可能通过索引或重构过去目标皮层状态 M 来发生。
    • 对 S 的协变依赖反映了重放过程如何在海马回路 H 内部向前演变。
    • 双函子复合，通过共端公式定义，提供了一种对跨中间海马状态 (H) 的重放序列进行链式连接或串联进行建模的方法。这种组合性可能提供一个抽象的抓手，用于理解碎片化记忆如何链接，或时间压缩如何通过结构化转换产生。

  • 双函子的关系本质自然地适应了记忆编码和检索期间观察到的皮层与海马体之间的多对多映射。

5.2 用于神经调节的自然变换

神经调节系统，如去甲肾上腺素 (NA)、多巴胺 (DA)、乙酰胆碱 (ACh) 和 5-羟色胺 (5-HT)，起源于相对较小的皮层下核团（表示为 S 中的对象，例如蓝斑、VTA、基底前脑），但进行弥散性投射，对皮层 (M) 和皮层下 (S) 的处理施加广泛影响。它们的效应通常被表征为增益、可塑性、唤醒或注意的全局变化，以相对统一的方式修改目标回路的计算属性 (Aston-Jones & Cohen, 2005; Waterhouse & Navarra, 2019)。

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本节介绍了预函子（profunctors）作为一种工具，用于建模海马重放（hippocampal replay）等过程中固有的复杂关系映射，超越了简单的函数映射。它还引入了自然变换作为描述皮层处理上全局的、结构保持的神经调节效应的精确范畴论机制。这些补充进一步增强了我们要用范畴论语言描述大脑功能和相互作用的多样方面的表达能力。

  1. 算子演算：通过接线图进行组合

第 2 节至第 5 节介绍了一系列范畴结构，用于表示神经组件（作为 M 中幺半群（Monoids）的皮层微柱，作为 S 中对象（objects）的皮层下模块）以及它们多样的交互模式（函子、伴随、单子、余单子、预函子、自然变换）。然而，迄今为止缺失的一个关键要素是一个形式化机制，用于将这些异质的部分组合成更大的、整合的脑回路模型。我们如何系统地将一个皮层区域、一个基底核门控回路、一个丘脑中继以及可能的小脑调节连接在一起，同时确保生成的系统根据其各部分定义的代数性质连贯地运行？

本节介绍了我们方法的核心组合框架：一个基于算子（operads）数学理论的算子演算（Operadic Calculus）。具体来说，我们利用 David Spivak 的接线图算子（W）来提供一种形式化的图形语法或句法，用于从先前定义的范畴模块构建复杂的神经系统。该演算确保组合尊重类型并保留组件的代数语义。

6.1 接线图算子 (W)

传统的范畴组合（通过 ∘ ∘）通常处理顺序处理。为了对电路的并发和多接口特性进行建模——在这些电路中，组件可以拥有多个输入和输出，并以复杂的方式连接——我们采用了算子（operads）。算子是一种代数结构，专门设计用于形式化具有多个输入（元数，Arity, 2002; Leinster, 2003）的运算的组合规则。Spivak 的接线图算子，记为 W，提供了一个特别直观的框架 (Spivak, 2013)。

  • 类型/对象 (Types/Objects)：W 中的“类型”对应于接口 (interfaces)，即类型化输入和输出端口的集合（例如，“一个类型为‘皮层状态’的输入，一个类型为‘门控皮层状态’的输出”）。
  • 运算/态射 (Operations/Morphisms)：W 中的“运算”就是接线图 (wiring diagrams)本身。接线图可以可视化为一个带有外部接口（即其整体输入和输出）的方框。在方框内部，较小的组件方框相互连接：一些内部方框的输出被连接到其他方框的输入，而一些输入/输出则连接到外部接口。这些图可以分层嵌套。
  • 算子组合 (Operadic Composition)：W 中的组合对应于将一个接线图代入 (substituting)到另一个接线图的指定内部组件方框（一个“插槽”或 slot）中。这种运算自然地反映了将预建的电路模块插入到更大的系统设计中的过程。

因此，算子 W 形式化了科学家和工程师通常非正式地用来描述复杂系统的图形语言，确保了接口的一致性，并为分层组合提供了严格的基础 (Fong & Spivak, 2018; Yau, 2015)。

6.2 作为接线图算子代数的神经模块

算子 W 提供的抽象语法通过代数（algebra）的概念获得了具体含义。基范畴 C 上的 W 代数是一个映射，它在 C 内部解释算子的元素。它指派（assigns）：

  • 将 C 中的一个对象指派给 W 中定义的每个接口类型。
  • 将 C 中的一个态射指派给 W 中的每个接线图（运算）。

关键在于，这个映射必须是保持结构（structure-preserving）的：W 中接线图的组合必须精确对应于基范畴 C 中它们对应态射的组合。

在我们的框架中，前几节定义的范畴结构构成了 W 的一个代数。

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这种方法的根本优势在于保证的组合完整性（guaranteed compositional integrity）。因为从 W 到我们的范畴语义的映射是一个代数，所以通过接线图组合模块的行为自动确保了生成的复合系统尊重为各个组件定义的所有底层代数定律（幺半群结合律、函子性、单子律、自然性条件）。该算子提供了正确管理复杂交互所需的形式化记录（formal bookkeeping）。

6.3 组合示例：一个皮层-基底核-丘脑回路

考虑组装一个简化的电路，涉及皮层处理、基底核门控以及随后的丘脑/皮层交互。我们可以使用 W 中的接线图来表示这一点：

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算子演算允许我们系统地扩展这一点。我们可以插入一个并行作用的小脑余单子，或者添加一个代表影响图中特定组件的神经调节的自然变换。接线图语法提供了这些连接必须如何建立的规则，而底层的算子代数保证了生成的复合物态射正确地反映了所有交互部分的组合语义。

通过接线图算子 (W) 实现的算子演算，为我们的范畴框架提供了关键的组合粘合剂。它提供了一种形式化的语法，用于将由幺半群、函子、单子、余单子、预函子和自然变换表示的异质神经模块组装成复杂的、整合的脑回路模型。通过基于这些范畴结构定义 W 的代数，我们确保了组合过程严格保留了每个组件指定的代数性质和功能语义，从而实现了对复杂神经系统的系统构建和分析。该演算构成了所提出的组合神经科学新语言的核心。

  1. 针对动力学、可塑性和实证验证的丰富化

前面的章节已经阐述了组合神经科学的算子演算的形式句法和结构，主要关注脑回路的静态架构和代数语义。然而，为了完全弥合这种抽象形式化与生物现实之间的差距，该框架必须纳入处理动力学、可塑性的机制，并实现针对实验数据的实证验证。本节讨论了这些关键扩展的策略并概述了潜在的路径。

7.1 针对真实神经动力学的丰富化

标准范畴论，通常隐式地基于集合范畴 (Set)，缺乏固有的结构来充分表示连续时间、随机性或神经状态空间相关的度量性质。为了捕捉这些特征，我们可以采用丰富范畴论（Kelly, 1982）。这涉及用体现所需动力学或定量性质的更结构化的幺半群范畴 V 来替换作为 Hom-对象（态射集合）基础的范畴Set。

  • 丰富化范畴 (V) 的选择：
    • 对于连续性，在 V = Top（拓扑空间）上的丰富化赋予了 Hom-对象拓扑结构，允许变换的收敛性和连续性的概念。
    • 对于随机性，在 V = Meas（可测空间）或概率分布范畴上的丰富化允许对概率转换和噪声过程进行建模。
    • 对于连续时间动力学，在专门为微分方程或动力系统设计的范畴上的丰富化，也许使用开放系统的余代数框架（Jacobs, 2016），允许将时间演化直接整合到范畴结构中。多项式函子也提供了一个相关的途径，用于以函子方式建模交互的动力学系统（Schultz, et al. 2020）。
    • 对于定量分析，在度量空间或巴拿赫空间等范畴上的丰富化可以引入距离和量级的概念。

通过在适当的基础 V 上丰富化 M、S 以及它们之间的函子，Hom-对象 Hom(X, Y) 本身就变成了结构化空间（例如，拓扑空间、可测空间），并且组合变成了 V 中保持结构的态射。这使得形式化能够自然地将状态空间拓扑、概率映射和连续演化等概念整合到组合框架中。范畴系统论中的近期工作，特别是在结构化主动推断领域内，利用了类似的丰富化思想来建模与脑功能相关的交互动力学系统。

7.2 可塑性与结构变化的建模

脑回路具有适应性，表现出功能可塑性（突触强度的变化）和结构可塑性（连接性的变化）。我们的静态算子框架需要扩展，以解释这种学习和重组。

  • 动态算子 (Dynamic Operads)：一种有前景的方法是使用动态算子（Shapiro & Spivak, 2022）。这些算子扩展了接线图算子（W），允许运算本身——即接线图——随时间演化或依赖于状态。这提供了一种直接的方式，在组合演算中对网络重构、突触权重变化或基于规则的结构适应进行建模，即使在系统学习和变化时，也能潜在地保持一致性保证。
  • 动态范畴与时态逻辑 (Dynamic Categories and Temporal Logic)：相关概念包括动态范畴或利用时态逻辑框架，可能是在拓扑斯理论（topos-theoretic）框架内，为范畴结构本身演化的系统提供语义。学习规则可以被形式化为作用于范畴 M 和 S 或映射它们之间的函子及其他结构的高层变换。像动态组织（Org）这样的框架探索了自适应系统的相关思想。

这些方法旨在超越静态快照，将适应和学习作为神经科学算子演算中的核心要素（first-class citizens）纳入其中。

7.3 经验拟合与模型验证

神经科学中任何理论框架的一个关键要求是能够与实验数据建立联系并做出可检验的预测。将抽象的算子演算与实证观察联系起来，需要开发用于模型拟合、参数估计和验证的稳健方法论。

  • 组合式系统辨识 (Compositional System Identification)：算子框架的模块化特性使其天然适用于系统辨识的组合方法。与其拟合一个单体模型，不如旨在识别各个组件（M 和 S 中的对象、特定函子、单子参数等）的参数，这可能利用为开放动力系统开发的方法 (Bonchi et al., 2014; Baez & Fong, 2016)，并利用算子结构来约束整体拟合过程。
  • 与数据特征相连接 (Connecting to Data Features)：验证可以通过将模型预测与从神经数据中提取的特定特征进行比较来进行：
    • 介观动力学 (Mesoscopic Dynamics)：范畴模型的参数可能与从拟合到 EEG/MEG 数据的神经场模型中估计的参数相关 (Coombes et al., 2003)。
    • 群体几何 (Population Geometry)：模型预测的状态空间结构（ M ∈ M ）或变换（态射）可以与从高维神经记录中提取的几何或拓扑属性（例如，流形维度、曲率）进行比较。
    • 统计特征 (Statistical Signatures)：丰富范畴模型预测的动态机制可以与数据中观察到的统计特征进行比较，例如神经元雪崩或指示临界性的特定频谱特性 (Beggs & Plenz, 2003)。
  • 利用现代拟合技术 (Leveraging Modern Fitting Techniques)：可以调整像通用微分方程 (UDEs) 这样的方法，它将机制模型与机器学习相结合。机制结构可以源自算子组合，而神经网络则学习模块内的未知函数或参数。此外，近似贝叶斯推断技术，可能像在主动推断中那样以函子方式构建框架 (Friston et al., 2017)，可以提供利用实证数据进行参数估计和模型比较的原则性方法。

挑战与展望 (Challenges and Outlook)：仍然存在着重大挑战，包括确保模型可辨识性、为复杂组合结构开发可扩展的推断算法，以及整合多模态数据（例如，结合 fMRI、EEG 和单单元记录）。然而，这些方向勾勒出了一条将抽象算子演算扎根于实证现实的路径。

为了成为神经科学中真正强大的工具，算子演算必须拥抱动力学、可塑性和实证验证。涉及丰富范畴的策略提供了一种整合真实神经动力学（连续性、随机性、时间演化）的方法。动态算子及相关概念为建模可塑性和结构变化提供了途径。最后，开发用于组合式系统辨识的方法，并利用统计学、机器学习和现有建模方法中的技术将模型预测与实证数据特征联系起来，对于将该框架扎根至关重要。虽然充满挑战，但这些扩展对于将形式演算转化为关于脑功能的预测性和解释性理论是必不可少的。

  1. 结论与未来方向

8.1 总结与意义

本文介绍了一种用于组合神经科学的算子演算（Operadic Calculus），利用了范畴论的形式语言——包括幺半群（Monoids）、函子（Functors）、伴随（adjunctions）、单子（monads）、余单子（comonads）、预函子（profunctors）、自然变换（natural transformations），以及至关重要的接线图算子（operads of wiring diagrams）——以解决描述多样神经组件如何组合成功能性脑回路这一长期存在的挑战。我们提出将皮层微柱建模为范畴 M 中的幺半群对象，将皮层下模块建模为单独的幺半群范畴 S 中的对象。各种形式的皮层-皮层下交互通过建立在函子之上的特定范畴构造被捕捉，而接线图算子提供了形式语法，即“演算（calculus）”，用于将这些异质模块组装成更大的系统，同时保证保留它们的代数语义。

采用这样一个框架对神经科学的潜在影响可能是变革性的：

  1. 统一性与模块化 (Unification and Modularity)：这种方法提供了一种统一的语法来描述和整合多样的计算基序（例如，预测编码、门控、重放、神经调节），这些通常使用不同的、往往不兼容的形式体系进行建模。固有的模块化允许通过定义明确、可重用的组件及其结构化交互来理解复杂系统。
  2. 形式严谨性与验证 (Formal Rigor and Verification)：通过将回路模型建立在精确的数学结构之上，该框架实现了更高的严谨性。算子演算保证了在组件层面指定的代数性质在组合过程中得以保留，从而促进了更可靠且潜在可形式验证的神经计算模型的构建。
  3. 生成性与新假设 (Generativity and Novel Hypotheses)：算子演算提供的组合语法可以作为一个生成式框架，允许研究人员系统地探索新颖的回路配置及其潜在功能。它还可能激发关于认知的组合结构（例如，在语言或规划中）与神经回路的底层组合架构（可能反映在算子组合规则中）之间关系的新假设。

8.2 未来研究方向

实现这一算子演算的全部潜力需要在理论、计算和实证领域进行大量进一步的研究。主要方向包括：

  1. 针对动力学和随机性的丰富化 (Enrichment for Dynamics and Stochasticity)：正如第 7 节所讨论的，利用丰富范畴论（基于TopMeas或动力系统范畴等基）扩展该框架，对于捕捉真实神经动力学的连续时间、随机性和度量方面至关重要。
  2. 可塑性与适应性的建模 (Modeling Plasticity and Adaptation)：纳入学习和发展需要超越静态结构。开发和应用动态算子或用于动态范畴和时态逻辑的相关框架，对于在组合设置中对突触可塑性和网络重组进行建模至关重要。
  3. 实证基础与验证 (Empirical Grounding and Validation)：需要付出巨大努力来开发稳健的方法论，将组合范畴模型拟合到大规模、多模态神经数据（例如，EEG、fMRI、电生理学、连接组学）中。这涉及推进组合式系统辨识技术，专门设计实验以测试组合预测，并将抽象范畴结构与神经活动和行为的测量特征联系起来。
  4. 理论整合与工具链 (Theoretical Integration and Toolchains)：将算子演算与其他相关理论框架（例如，信息论、控制论、统计物理学）联系起来可能会产生更深刻的见解。关键在于开发可访问且稳健的软件库和工具链（建立在 AlgebraicJulia/Catlab 等努力之上或开发神经科学专用平台），这对于使更广泛的神经科学社区能够使用这些高级数学技术至关重要。
  5. 跨学科合作 (Cross-Disciplinary Collaboration)：进展将很大程度上依赖于范畴论学家、计算神经科学家、认知科学家和实验神经科学家之间持续、紧密的合作，以确保数学形式体系保持生物学相关性且可经实证检验。

8.3 结语愿景

此处提出的算子演算为组合神经科学提供了一种新语言的蓝图——这种语言将组合性（compositionality）视为脑组织的一项基本原则。尽管仍存在重大挑战，特别是在弥合与复杂生物细节和实证数据之间的差距方面，但潜在的回报是巨大的：从描述性或现象学模型转向对神经组件如何组装以产生知觉、认知和行为的更具原则性、生成性和形式化基础的理解。通过提供严谨推理神经系统结构和组合的工具，这一框架（通过上述协作努力进一步发展）有望在未来几年和几十年内显著推进我们要理解脑计算架构的探索。

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原文链接：https://www.researchgate.net/profile/Debi-Prasad-Ghosh/publication/391439657_Compositional_Neuroscience_Seeking_a_New_Language_for_Brain_Circuits_with_Monoids_Functors_and_Operads/links/6817a446df0e3f544f51de69/Compositional-Neuroscience-Seeking-a-New-Language-for-Brain-Circuits-with-Monoids-Functors-and-Operads.pdf