2026数学教育讲座系列第3讲——伍鸿熙教授讲述何为学校数学——EMS欧洲数学会|伍鸿熙|何为学校数学|教学|教师|数学教育|欧洲数学会|讲座|高中物理

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本期第3讲，伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）教授批判美国教材式数学教育的缺陷，提出基于原则的学校数学理念（PBSM），强调数学完整性与适配学生认知，分享教材编写与教师培训经验，探讨改革路径与 AI 影响。

作者：EMS（欧洲数学会）2026-3-13

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-3-21

主持人：

各位来宾，欢迎来到欧洲数学会（European Mathematical Society, EMS）“数学教育” 系列讲座的第三讲。本周五晚，我再次担任主持人，明天就是一年中最值得庆祝的日子 ——3月14日圆周率日，在这个激动人心的前夜，我们将开启一场精彩的讲座，共同探讨数学领域的各类话题，尤其是数学教育相关内容。

本系列讲座在今天之后还有三场，本次是六讲中的第三讲。下一场讲座将于4月10日举办，后续还会有5月场和6月场。完整日程安排将发布在本次直播的简介栏中。

请允许我简单自我介绍一下。我是汤姆・克劳福德博士（Dr. Tom Crawford），任职于牛津大学和剑桥大学，是一名数学家。大家或许也在 YouTube 平台上见过我 —— 今天我特意穿上了印有 YouTube 标识的外套，就是为了更贴合这次活动的氛围。我运营着一个名为 “汤姆玩转数学”（Tom Rocks Maths）的频道，专门分享各类数学相关内容。（详见第二讲中的介绍：）

在介绍主讲嘉宾之前，我想先提一下欧洲数学会。一如既往，感谢该组织以及所有抽出时间承办本系列讲座的工作人员。相信大家都会认同，我们此前开展的讨论十分精彩，后续的交流也必将同样引人入胜。如果大家想了解更多关于欧洲数学会的信息，我们会在聊天框和直播简介栏中附上相关链接，内容包括学会的业务范围、入会方式、参与途径，以及未来协助我们组织更多系列活动的相关说明。

与前几场讲座一样，本次讲座结束后也会设置问答环节。如果大家有问题想要提问，有两种方式可以选择。我更推荐大家通过谷歌表单提交问题，这样我能更方便地整理这些问题，明确哪些已经讨论过、哪些还没有。该表单的链接同样会发布在聊天框和直播简介栏中。当然，直接在聊天框里留言提问也是可以的，我的手机一直开着聊天界面。所以，想到任何问题都请随时提出，我们会在问答环节逐一解答。

好了，这些前期准备事宜就说到这里。现在，让我们隆重请出今晚的主讲嘉宾。

伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）

伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）教授的专业研究方向是微分几何，他于1965年至2009年在加州大学伯克利分校任教，长达44年，目前是该校的荣誉退休数学教授。

根据他的个人履历，有一件事我觉得非常有意思：1992年，伍鸿熙教授目睹了数学教育改革的现状，深受触动，于是下定决心要为推动数学教育变革贡献力量。他近期的研究项目聚焦于改进职前与在职数学教师的职业发展体系，同时在数学教育领域著述颇丰。

今天，他将为我们带来题为《何为学校数学》的讲座。伍教授，接下来就交给您了。

伍鸿熙：

非常感谢您的介绍。今天，我要探讨一个看似平淡无奇的问题 —— 何为学校数学？

接下来的一个小时里，我将主要围绕美国的学校数学教育展开探讨。很抱歉，我对其他国家的学校数学教育体系了解有限，但我认为，在全球化的大背景下，美国的经验未必是个例，希望这不会成为太大的问题。无论如何，我都期望我的分享能够引发大家对各国学校数学教育的广泛讨论。

谈到学校数学教育，想必大家首先会想到费利克斯・克莱因（Felix Klein）。他曾深入思考过一个被他称为 “双重断层” 的现象 —— 也就是学校数学与大学数学之间的断层，以及大学数学反哺学校数学时出现的断层。按理说，克莱因应该会对学校数学的本质有一些独到见解。但遗憾的是，他对此并未过多论述，只留下了这样一句话：“倘若我们能培养出更优秀的教师，那么数学教学质量自然会得到提升，传统的教学模式也会被注入新的活力。”

换句话说，他信奉美国人所说的 “涓滴理论”（Trickle-Down Effect）—— 只要教师足够优秀，学校数学教育水平就会自然而然地提高。这种观点或许有些天真。因此，我们不得不主动探寻，尽最大努力解答 “学校数学究竟是什么” 这个问题。

乍一听，这个问题似乎有些可笑。毕竟，我们似乎都知道学校数学包含哪些内容 —— 无非是在学校里学习算术、代数、几何等等。但这个问题之所以值得深入探究，主要有三个原因。

首先，至少在过去的七十年里，甚至更久，美国学校里教授的数学，从本质上来说是难以被学生真正理解和掌握的。如果我们将学校里正在教授的内容等同于学校数学，那难道意味着学校数学本身就天生难以学习吗？我们必须弄清楚，究竟是什么原因导致了这种 “难学” 的现状。

其次，一个广为人知的事实是，1989年，美国全国数学教师委员会（NCTM）发起了第一次数学教育改革；2010年，“共同核心标准” 改革也随之启动。据我所知，这两次改革在全球范围内都具有相当高的知名度，甚至对其他国家的数学教育产生了影响。这两次改革的初衷，都是为了改变那种难以被学生掌握的数学教学模式，并且提出了一种他们认为更优的学校数学理念。然而，他们仅仅是勾勒出了这个 “更优版本” 的大致框架，却未能证明这种理念在实际教学中是否真的能够落地生根。

比如，1516年，托马斯・莫尔（Thomas Moore）在著作中描绘了 “乌托邦” 的蓝图，但时至今日，这样的理想社会在现实中仍未出现。那么，这两次数学教育改革提出的理念，会不会也只是教育领域的又一个 “乌托邦” 呢？（笑声）

最后，也是最显而易见的一个原因：如果一种数学知识连美国人都难以理解和掌握，那它根本就不配成为教育研究的对象。但遗憾的是，当前美国的数学教育研究，恰恰只围绕着这种 “难学的数学” 展开。因此，我们必须想办法将这种脱离实际的数学内容从教育研究中剔除出去。

接下来，我们先分析一下这种 “难学的数学” 的症结所在。

想必大家都有体会，在日常对话中，只要一提到 “数学” 两个字，往往会引发两种令人遗憾的反应：一种是自卑心理 ——“唉，我数学一直不好”；另一种则是恐惧心理 ——“我最讨厌数学了”“我根本不是学数学的料”“咱们还是别聊这个话题了”。

2012年，《纽约时报》上甚至刊登了一篇颇具争议的评论文章，提议将代数移出高中毕业的必修科目。这个提议虽然有些极端，但也从侧面反映出数学在美国的 “不受欢迎” 程度。

那么，究竟是什么原因让数学引发如此强烈的负面反应呢？

为了更精准地分析问题，我们暂且不把这种数学称为 “学校数学”，而是将其定义为美国大多数主流数学教材中所呈现的内容，并称之为教材式学校数学（Textbook School Mathematics,TSM）。下面，我们就来剖析一下 TSM 的问题所在。

简而言之，TSM 之所以难以被学生掌握，主要有三个原因：

第一，TSM 中的定义大多含糊不清。试想，如果一个数学概念的定义本身就模棱两可，学生又怎么可能明白自己要学的是什么呢？这无疑是教学中的一大致命缺陷。

第二，TSM 并非通过逻辑推理构建知识体系，而是堆砌了大量孤立且缺乏解释的解题步骤，就像一本烹饪食谱 —— 只告诉你 “第一步做这个，第二步做那个”，却不解释为什么要这么做。但遗憾的是，人类的大脑对于记忆这些孤立、零散的 “操作步骤” 的能力是极其有限的，这也是学生难以学好数学的重要原因。

第三，TSM 在知识的表述上往往不够严谨，无法准确地向学生传递核心内容。这显然也是一个亟待解决的关键问题。

为了方便后续讨论，我们可以将导致 TSM 难以学习的这三个特征，用一个短语来概括 ——缺乏数学完整性。

这里所说的 “完整性”，本质上就是上述三个缺陷的对立面。当然，稍后我会给出 “数学完整性” 的准确定义。

下面，我举三个具体的例子来进一步说明 TSM 的问题。

第一个例子，是整数的四则运算标准算法。

在美国的小学教育中，一到四年级的学生学习加减乘除的标准算法时，往往都是死记硬背，几乎没有任何逻辑推理的讲解，完全是照着 “食谱” 机械操作。这种教学方式对孩子的危害极大 —— 它从一开始就让孩子误以为，数学学习就是死记硬背公式、听从老师的指令，根本不需要主动提问和思考。

但事实上，数学的核心恰恰是逻辑推理，没有推理，数学就失去了灵魂。

可能很多人都没有意识到，整数四则运算的标准算法之所以值得学习，是因为它们有一个非常重要的作用：将所有整数运算都拆解为单个数字的运算。换句话说，无论两个整数有多大 —— 哪怕是 25 位数的大数，只要运用这些标准算法，都能把复杂的运算简化成一位数的加减乘除。这是一个非常了不起的设计！

如果美国公众能够认识到这一点，那么关于 “为什么孩子必须背诵乘法口诀表” 的争论，就不会一直持续到今天了。如今在互联网上，依然有很多人在争论 “我的孩子为什么非要背乘法口诀”。答案其实很简单：乘法口诀是所有整数乘法运算的基础。连这一点都没能普及，足以看出几十年来美国学校数学教育的落后程度。

这其中蕴含的，是科学研究的基本原理 ——化繁为简。这是所有科学领域的核心思想。如果孩子们能从小就理解并掌握这一原理，将会为他们未来的学习和生活打下坚实的基础。

第二个例子，是TSM 教学的不透明性，我们以分数教学为例。

TSM 要教学生认识分数，却没有给出清晰的定义。它告诉学生，分数 “可以是一个整体的一部分”“可以是一块披萨的份额”，或者 “可以是一个比值”。

我们不妨仔细推敲一下这些说法：“一个整体的一部分”—— 对于孩子来说，“部分” 和 “整体” 这两个概念本身就很模糊，它到底指的是一个具体的物体，还是一种抽象的关系？“分数是一块披萨”—— 那当我们提到 “2/3 英里” 时，披萨又在哪里呢？根本无从对应。“分数是一个比值”—— 但事实上，没有哪个孩子在学习分数之前，真正理解 “比值” 的含义。用一个更难懂的概念去解释另一个概念，这简直是教育的笑话。

更糟糕的是，有时候 TSM 会把这三种说法混为一谈，告诉学生 “分数同时具备这三种含义”。这就导致分数的概念变得更加晦涩难懂 —— 相当于把一个模糊的概念，又叠加了两层模糊的解释。

最要命的是，TSM 在没有让学生搞懂 “分数到底是什么” 的情况下，就立刻让学生开始大量练习分数的计算。试想，当学生被迫去计算一个自己完全不理解的 “神秘对象” 时，怎么可能不产生恐惧心理？

在美国，学生对分数的恐惧是一个普遍现象，甚至在全球知名的两部连环漫画《花生》和《福克斯通》中，都多次出现过学生抱怨 “学习分数太难” 的情节。这足以见得分数教学的失败。

我们之所以如此关注分数学习的问题，是因为分数是孩子在数学学习中遇到的第一个真正意义上的抽象概念。学习整数时，孩子可以通过数手指来理解 —— 至少能直观地认识 1 到 10。但分数不一样，谁见过 “5/11” 这个数字对应的具体物体？在现实世界中根本找不到。

正因为分数的抽象性，要让学生真正理解它，就必须用学生已经掌握的知识去解释。但 TSM 却反其道而行之，用更加抽象、模糊的概念去定义分数，这无疑是一种失败的教育。

由于时间关系，我暂且跳过第三个例子，

我们来看下一个问题 ——美国高中几何课程的诟病。

我不知道其他国家的几何教学是否存在类似的问题，但在美国，高中几何课程是导致学生产生 “数学恐惧症” 的主要原因之一，它严重阻碍了学生的数学学习进程。我从两个方面来分析它的危害。

首先，在几何教学中，必然会涉及图形的 “全等” 和 “相似” 概念。比如，我们会说 “两个圆是相似的”“两个椭圆是相似的”。TSM 对这两个概念的定义是：“全等就是形状和大小都完全相同”，“相似就是形状相同，但大小不一定相同”。

这个定义听起来似乎很直观，但数学追求的是客观真理，而非主观感受。“这两个图形的形状相同吗？”—— 这种判断完全依赖于人的主观直觉，根本不应该成为数学定义的依据。但 TSM 却恰恰这样定义了 “全等” 和 “相似”。

不过，我想重点讨论的不是定义的缺陷，而是这门课程对数学教育的破坏性影响。

在学习高中几何课程之前，学生在低年级接触到的 “全等” 和 “相似” 概念，都被简单地定义为 “形状和大小的关系”。但到了高中几何课上，这些概念却被完全推翻，重新定义 —— 而且只针对三角形：它会精确地告诉你，“两个三角形全等的判定条件是对应角相等、对应边相等”，“两个三角形相似的判定条件是对应角相等、对应边成比例”。

这就会让学生产生巨大的困惑：之前学的 “形状相同、大小相同” 的定义去哪里了？如果这个定义不适用，那对于抛物线、椭圆等其他图形，又该如何判断它们是否全等或相似？对于这些问题，TSM 没有给出任何解释，完全是一种不负责任的教学。

其次，高中几何课程带来的第二个破坏性影响更为严重。

在学习这门课程之前，TSM 的教学几乎从不涉及 “证明”。正如我之前提到的，它没有任何逻辑推理，也不会解释知识的来龙去脉。但到了高中几何课上，却突然要求学生把 “证明” 当作头等大事来对待 —— 哪怕是一个极其简单的结论，都必须写出严谨的证明过程。

这种突如其来的转变，让学生完全摸不着头脑：为什么突然要学证明？之前的数学学习从来没有要求过啊？对于这些疑问，TSM 依然没有给出任何解释。

为了让大家更直观地感受到这种教学的荒谬，我举一个例子：

已知四个点依次排列，线段 AB 和线段 CD 的长度相等，要求证明线段 AC 和线段 BD 的长度相等。

就是这样一个显而易见的结论，在高中几何课上，却要求学生写出一个包含七步的 “两栏式证明”—— 左边写证明步骤，右边写对应的依据。而且，教学的重点根本不是引导学生理解背后的逻辑推理（事实上这个结论几乎没有什么需要复杂推理的地方），而是强迫学生按照固定的格式去 “填表格”。

最终，学生从这门课程中学到的不是 “证明是逻辑推理的过程”，而是 “证明就是按照规定的格式填空”。这无疑是对数学精神的严重背叛，也是导致学生对数学产生恐惧的重要原因。

综上所述，TSM 对孩子的数学学习造成了极大的伤害，它必须被淘汰 —— 这个结论是显而易见的。但问题是：如果抛弃了 TSM，我们应该用什么来取而代之？

这正是我们提出 “何为学校数学” 这个问题的根本原因。长期以来，美国人从未认真思考过这个问题。但在过去的70年里，先后有三次数学教育改革，开始尝试直面这个问题。

最早的一次改革是1957年的 “新数学运动”，想必很多国家都经历过这场改革；之后是1989年著名的 NCTM 改革；最后是2010年的 “共同核心标准” 改革。

这三次改革都试图提出一种他们认为优于 TSM 的替代方案。接下来，我们将简要分析这三次改革，通过分析，大家会更深刻地认识到：搞清楚 “何为学校数学”，是一件多么迫切且重要的事情。

要分析这三次改革，我们首先需要明确学校数学教育的两个基本要求：

第一，数学内容必须符合数学完整性的要求—— 也就是具备清晰的定义、严谨的逻辑推理、准确的表述等特征，这与 TSM 的缺陷正好相反。毕竟，我们教的是数学，内容必须符合数学的本质，而不能是违背数学规律的 “伪数学”。

第二，教学内容的呈现方式必须符合学生的认知水平，让学生能够理解和接受。这是一个显而易见的要求。

由此可见，学校数学教育需要在这两个要求之间找到平衡 —— 这是一种看似矛盾，实则相辅相成的约束。如果无法满足这两点，就不能称之为合格的学校数学教育。

明确了这两个要求，我们就能更清晰地看清 TSM 的本质：TSM 完全无视第一个要求（数学内容的完整性），却片面地追求第二个要求（所谓的 “易理解性”）。

为了让学生 “能学会”，TSM 不惜简化甚至歪曲数学知识 —— 砍掉所有的逻辑推理，把知识拆解成一个个孤立的解题步骤，然后让学生死记硬背。这就是 TSM 的核心本质。

TSM 在美国学校中占据主导地位的局面，直到 1957 年才被打破 —— 那一年，苏联发射了第一颗人造卫星 “斯普特尼克号”，这一事件震惊了整个美国。

美国联邦政府迅速做出反应，呼吁开展学校数学教育改革，“新数学运动” 由此拉开序幕。这场改革的主导者是数学家，而数学家的做法与 TSM 恰恰相反 —— 他们只关注第一个要求（数学内容的完整性），却忽视了第二个要求（学生的认知水平）。

我们不妨将专业数学家研究和使用的数学称为 “大学数学”。一个巧合的是，到1930年左右，大学数学已经发展得相当成熟，形成了一套逻辑严密、高度透明且体系完整的知识体系。

因此，在1950年代，当数学家主导学校数学教育改革时，他们自然而然地想到了一个简单的办法：将大学数学中的基础内容直接移植到中小学课堂中。

这场改革的结果，想必大家多少都有所耳闻。在美国，小学生突然被要求学习集合论 —— 这是他们之前从未接触过的概念；还要学习不同进制的数字，比如三进制、五进制、七进制；区分 “数字符号” 和 “数字本身” 的概念；甚至还要学习抽象的模算术。

更离谱的是，小学生还要学习基础的符号逻辑。

平心而论，数学家们确实试图简化这些抽象的概念和形式化的表达，还专门编写了一套从幼儿园到高中 12 年级的教材。但即便如此，这些内容对于中小学生来说，依然是遥不可及的 “天书”—— 不仅学生学不懂，家长也完全无法辅导，就连老师都难以掌握。

最终，“新数学运动” 未能在美国落地生根，到1970年代初就彻底销声匿迹了。

回顾一下我们之前提到的两个基本要求，我们会发现：TSM 和 “新数学运动” 都走向了极端 —— 前者片面追求 “易教易学”，后者片面追求 “数学严谨性”，最终都以失败告终。

这说明，我们需要一种全新的思路来构建学校数学教育体系。这种新思路，我称之为数学工程化—— 也就是将抽象的数学知识，转化为符合现实教学需求的内容。

“工程化” 的核心，就是根据特定群体的需求，对抽象概念进行定制化改造。比如，电子工程就是将抽象的电磁理论，转化为我们日常生活中可以使用的手机、电脑等电子产品。

我们要做的，就是将 “工程化” 的思路应用到大学数学中，把抽象的大学数学知识，转化为中小学生能够理解和接受的内容。

举个例子：在大学数学中，有理数域的定义是 “整数环的分式域”。这个定义对于中小学生来说，无疑是天书。但通过数学工程化，我们可以这样解释：

首先，在一条固定的直线上，标记出等距的点，这些点就代表整数 —— 这就是我们常说的 “数轴”。然后，将任意两个相邻整数之间的线段，平均分成若干份，每一份对应的点，就是分数。比如，把相邻整数之间的线段平均分成 5 份，那么这些分点就代表了所有分母为 5 的正分数和负分数。

这样一来，抽象的有理数概念，就变成了学生可以直观理解的 “数轴上的点”。

需要强调的是，数学工程化必须完全忠于抽象的数学理论，否则就会导致严重的问题。基于这个原则，数学工程化后的内容，必须符合我们之前提到的 “数学完整性” 的要求。

之前我并没有给出 “数学完整性” 的准确定义，现在是时候了。

一套学校数学教育体系，如果满足以下五个原则，就可以称之为具备数学完整性：

定义清晰性

每一个数学概念都有精准的定义，让学生明确知道自己学习的对象是什么。

逻辑严谨性
每一个数学结论都有严密的逻辑推理作为支撑，让学生理解结论背后的原理。
表述准确性
语言表述精准无误，避免产生歧义。
体系连贯性

整数、分数、有理数、代数、几何等不同模块的知识，不是孤立存在的，而是构成一个有机的整体，彼此之间存在紧密的逻辑联系。
目标明确性
数学的每一个概念、每一项技能的引入，都有明确的目的，让学生明白 “为什么要学”。

对照这五个原则，我们会发现，TSM 几乎完全违背了所有原则：

概念定义模糊不清；
没有任何逻辑推理（比如，长除法的竖式计算中，为什么商要写在上面，余数要写在下面？TSM 从未给出解释）；
表述极不严谨（比如用 “形状相同” 定义全等和相似）；
知识体系支离破碎（高中几何与低年级几何教学完全脱节，就像一个突兀的 “肿瘤”）；
教学目标不明（学生问 “为什么要学整数四则运算的标准算法”，TSM 无法给出合理的答案）。

我将这种既符合数学完整性要求，又适应学生认知水平的学校数学教育体系，称为基于原则的学校数学（Principle-Based School Mathematics,PBSM）。

不过，PBSM 目前还只是一个理论上的构想。我们希望构建这样一种体系，但它真的能实现吗？我们能否制定出一套完整的方案，详细说明如何在实际教学中落地？这些都是未知数。

而这，也正是1989年的 NCTM 改革和2010年的 “共同核心标准” 改革试图解决的问题。

从本质上来说，这两次改革的目标与 PBSM 是一致的 —— 虽然当时他们还没有提出 TSM 和 PBSM 的概念，但他们都希望建立一种更优的学校数学教育体系。

这两次改革都属于 “基于标准的改革”，这种理念最早源于1983年的一份名为《国家处于危险之中》的报告。该报告提出，要改革学校教育，只需要制定一套 “教育标准”—— 也就是明确每个年级应该教授哪些内容、按照什么顺序教授的简要大纲。

改革者们希望，学校只要遵循这套标准，就能实现数学教育的目标 —— 也就是他们所说的 “概念理解、问题解决、知识连贯、逻辑推理与证明”。

相较于 NCTM 改革，“共同核心标准” 改革还额外强调了 “运算熟练度” 和 “清晰定义” 的重要性。

这些理念听起来非常美好，也符合所有人对数学教育的期待 —— 谁不希望学生能够理解概念、解决问题、掌握逻辑推理呢？从这个角度来说，这两次改革与 PBSM 的目标是完全一致的。

但问题在于，改革者们错误地认为：PBSM 的理念听起来很完美，所以它一定已经存在于现实中，只要我们制定出标准，学校照着做就能实现。

但事实并非如此。

正如我之前所说，教育标准只是一份简要的大纲，它只能勾勒出教学的大致方向，却无法提供具体的实施细节。

“概念理解”“知识连贯”“逻辑推理”—— 这些词语固然美好，但如何在实际教学中实现？这才是改革的核心问题。

当一线教师和教育工作者们满怀热情地试图落实这些标准时，却发现自己陷入了困境 —— 他们缺乏足够的数学知识储备，根本无法理解改革的真正内涵；改革者们也没有提供具体的实施指南，比如：

如何为教师提供符合 PBSM 要求的专业培训？
如何编写基于 PBSM 理念的教材，取代现有的 TSM 教材？
如何设计符合 PBSM 要求的评价体系？评价人员是否具备相应的数学素养？

这些关键问题，改革者们都没有给出答案。

因此，这两次改革要想取得成功，首要前提是制定出一套完整、详细的 PBSM 实施方案，为教师、教育管理者等提供明确的指导。只有这样，才能让改革的理念真正落地。

但遗憾的是，这样的实施方案在当时并不存在。

从理论上来说，专业数学家完全有能力编写这样一套 PBSM 实施方案 —— 他们擅长从无到有地构建一个完整的知识体系。当然，要做到这一点，数学家们需要花费大量时间研究现有的 TSM 教材，明确需要规避的问题；同时，他们也需要放下身段，深入了解中小学课堂的教学实际 —— 毕竟，中小学教育与大学教育有着天壤之别。

尽管从理论上可行，但在当时，并没有数学家愿意去做这件事。

于是，在2000年，我决定接受这个挑战，尝试编写一套 PBSM 实施方案。当时我并不知道，十年后会迎来 “共同核心标准” 改革。

到2020年，也就是六年前，我终于完成了一套涵盖从幼儿园到高中 12 年级的 PBSM 教材，总共六卷，长达 2400 页。这套教材由美国数学会出版，最初是我为教师职业培训课程编写的讲义。

其中，第一卷面向小学教师，第二、三卷面向初中教师（涵盖预备代数和代数内容），最后三卷面向高中教师。

这套教材的最大价值在于，它首次证明了 PBSM 并非虚无缥缈的 “乌托邦”，而是一套可以落地的、逻辑严密的知识体系。

接下来的问题，就是如何将这套体系推广到实际的教学中 —— 这无疑是一个耗时又耗力的艰巨任务。由于时间关系，我无法展开细说，但我希望这套教材能够引发大家的讨论：

它真的符合数学完整性的要求吗？
它真的适合学生学习吗？
在人工智能时代，人们还需要学习这样的数学知识吗？

这些是值得深思的问题。我也希望能出现更多不同版本的 PBSM 方案 —— 只有通过不断的讨论和竞争，我们才能最终形成一套公认的、最优的 PBSM 体系，并将其作为学校数学教育的标准模式。

到那时，我们才能真正说，学校数学教育取得了实质性的进步。

在剩下的几分钟里，我们回到最开始提出的三个问题。前两个问题我们已经讨论过了，现在来看第三个 ——关于学校数学教育研究的问题。

TSM 在美国学校中占据主导地位长达数十年，这也导致它垄断了美国的数学教育研究领域 ——TSM 成了教育研究唯一的关注对象。但我们都知道，TSM 本身是存在严重缺陷的。

如果教育研究只能围绕着一种有缺陷的数学体系展开，会导致什么后果？

首先，这种研究的价值会大打折扣。研究者们明明知道 TSM 不好，却只能在现有的框架内做一些修修补补的工作 —— 比如，如何通过引入一些概念理解和逻辑推理，让 TSM 变得稍微 “易接受” 一些。这种研究，从本质上来说是徒劳无功的。

其次，这种研究会变相赋予 TSM 合法性。当 TSM 成为教育研究的核心对象时，教师和学生都会产生一种错觉：TSM 虽然不好，但它是唯一的选择，我们只能接受它。这无疑是一种非常糟糕的导向。

从这个角度来说，1989年的 NCTM 改革具有不可忽视的意义 —— 它是首次由数学教育领域的内部人士发起的、对 TSM 的反抗。我希望，我们能够通过不懈的努力，最终让 TSM 彻底退出历史舞台，为这场反抗画上一个圆满的句号。

最后，我想用一句话来回答本次讲座的核心问题 —— 何为学校数学？

我认为，学校数学应该是 PBSM（基于原则的学校数学）。

谢谢大家。

主持人：

太精彩了！我也对美国的数学教育体系有了更深入的了解，您的分享真的非常有价值。正如您所说，虽然您讨论的是美国的情况，但我发现其中很多理念和问题 —— 比如您提到的 “教材式学校数学”—— 在英国、欧洲乃至世界其他地区的数学教育中，都有着相似的影子。所以，您的分享对于我们来说，同样具有重要的借鉴意义。

接下来，我们进入Q&A问答环节。我看到聊天框里已经有一些问题了，谷歌表单里也收到了不少提问。

我先从表单里选一个问题开始吧，这个问题我觉得非常有代表性。

Q：伍教授，您在讲座中提到了 PBSM（基于原则的学校数学），还举了有理数的例子 —— 大学数学中用环和域的概念来定义有理数，这种定义显然不适合中小学生，而您通过数轴的方式，把抽象的概念变得直观易懂。所以想请教您，这些巧妙的讲解思路是从哪里来的？您是如何把专业的数学定义，转化为中小学生能够理解的内容的？这个过程具体是怎样的？

A：这是一个很难回答的问题，我只能和大家分享一下我的个人经验。

首先，这需要付出大量的努力。其次，我经常和一线教师交流，还会去课堂上听课，了解孩子们的学习特点和认知规律，学会站在孩子的角度思考问题，而不是从一个专业数学家的视角出发。

除此之外，我还想补充一点：虽然我是一名专业数学家，但从情感上来说，我更愿意把自己看作一名教育工作者。我一直对 “人是如何学习的” 这个问题充满兴趣，总是在思考，如何才能更好地把知识传递给他人。

所以，我觉得，如果没有这种想要 “走近学生、理解学生” 的初心，可能很难做好这件事。

Q：这个问题还有一个延伸提问，同样来自表单。您刚才提到，您会和教师交流，也会去课堂听课。那么，您是否有机会将这些讲解思路，在实际教学中进行检验呢？也就是说，您编写的这六卷教材中的理念，有没有在课堂上得到过实践验证？

A：当然，而且是经过了充分的验证，不过是间接验证。

从2000年到2013年，我连续14年为教师开展培训。培训形式主要是三周的暑期研习班 —— 参加培训的教师都是有薪酬的，并非志愿者（费用由基金会提供）。在这三周里，每天从早上9点到下午5点，我们都在学习数学知识。我负责授课，还有助教协助答疑，课后还会和教师们深入交流。

那段时间我还没有退休，同时还在大学里为未来的高中数学教师授课。我会直接和他们沟通，经常问他们：“这个知识点这样讲解，学生能听懂吗？” 我的目标，是让他们能够自信地说：“没问题，我可以用这个方法教我的学生了。”

虽然我自己没有直接给中小学生上过课，但我会去课堂观察，也会定期和接受过培训的教师交流，听取他们的反馈 —— 哪些方法有效，哪些方法需要改进。可以说，这套教材的理念，是在理论与实践的不断结合中逐步完善的。

如果没有这些和教师的交流，就不会有这套教材的诞生。

Q：太棒了。接下来，我看到表单里还有一个问题。提问者说，您的教材看起来非常有意思，而且很有可能适用于欧洲的数学教育。他还问：“您的教材中是否涉及数学评价的内容？” 毕竟，小学教师在教学中往往只关注学生的答案是否正确，但实际上，数学学习远不止于此。所以，您能否给我们总结一下，基于 PBSM 的理念，应该如何开展数学评价？

当然可以。我的教材里设计了大量的练习题，这些练习题的目的，就是为了给教师提供评价学生的思路。

这些练习题并非简单地让学生 “算出答案”，而是更注重引导学生 “解释原理”—— 比如，让学生说明为什么这个算法是正确的，为什么这个结论成立。当然，计算类的题目也是必不可少的，毕竟运算熟练度很重要。

我希望，教师能够通过这些练习题，学会如何设计评价内容，真正了解学生是否掌握了数学知识，而不仅仅是看学生的答案对不对。

另外，我想补充一点：我不知道这套教材在欧洲是否容易买到，但欧洲数学会的期刊在两三年前，曾对这六卷教材做过专题评论。我可以把相关链接发给你，汤姆，之后你可以把它放到视频简介栏里，方便大家查看。

Q：太好了。接下来，我们来看一个聊天框里的问题。

您在讲座的最后提到，TSM 已经成为一种 “默认的教学模式”，被人们习以为常。那么，对于一线教师来说，他们在日常教学中应该如何反抗这种模式？有没有什么切实可行的方法，能够帮助他们改变 “数学就该这样教” 的固有观念？

这是一个很现实的问题。

遗憾的是，如果联邦政府、学区或者其他教育主管部门没有决心改革，依然强制学校使用 TSM 教材，那么教师能做的其实非常有限。

但即便如此，教师依然可以做一些力所能及的改变。正如我之前提到的，我培训了 14 年的教师，其中很多人在掌握了 PBSM 的理念后，开始在自己的课堂上尝试改变 —— 他们不再机械地教学生背公式、记步骤，而是开始给学生讲解知识背后的原理。

这种改变虽然是 “渐进式” 的，而非 “系统性” 的，但效果却非常显著。很多教师反馈说，当学生真正理解了数学知识后，学习兴趣和自信心都大大提高了，他们自己也从教学中获得了极大的成就感。

不过，要从根本上改变现状，系统性的改革是必不可少的。

Q：这个问题让我想到了一个自己的疑问。您在讲座中提到，1957年苏联发射 “斯普特尼克号”，是美国 “新数学运动” 的导火索。但从后续的发展来看，这场改革似乎有些 “用力过猛”—— 数学家们把大学数学直接搬到中小学课堂，忽视了学生的认知水平，最终导致改革失败。而且，这场改革的负面影响似乎持续了六七十年，让人们对 “严谨的数学教学” 产生了恐惧。

所以我在想，要实现数学教育的彻底变革，是否需要一个类似 “斯普特尼克号” 这样的重大事件作为契机？比如，人工智能的兴起 —— 会不会有一天，人们突然发现，死记硬背的数学学习方式在 AI 时代完全没有意义，从而倒逼数学教育进行改革？您对这个问题有什么看法？

A：很遗憾，这个问题恰恰触及了我的担忧。

正如你所说，“斯普特尼克号” 事件引发了美国的数学教育改革，但那场改革走向了极端。而现在，人工智能的兴起，让我看到了类似的风险。

目前，AI 在数学教育中的应用，本质上依然是TSM 的 “升级版”—— 它只是把 TSM 的内容变得更高效、更便捷，但并没有改变 TSM 的核心缺陷。我自己也做过相关测试，结果确实如此。

所以，从长远来看，要实现数学教育的改革，首先必须做的，就是把 AI 中的数学知识体系，从 TSM 替换为 PBSM。否则，无论教师在课堂上教什么，学生回家后打开 AI，学到的依然是 TSM 的内容 —— 这样一来，任何改革都将无从谈起。

这是我目前最担心的问题。不过，由于我对 AI 的了解有限，暂时无法更清晰地阐述我的担忧，但这种危机感确实一直存在。

Q：接下来，我们来看一个更具体的问题，同样来自聊天框。

您在讲座中提出了数学完整性的五个原则，其中最后一个是 “目标明确性”—— 也就是让学生明白学习每个概念和技能的目的。有提问者问：“学习数学的目的，是否总能被学生直观地理解？” 毕竟，有一种观点认为，数学学习存在 “相关性悖论”—— 有些数学概念和思想，只有在学生学懂之后，才能真正理解它的意义和价值。

A：这个问题的后半部分，其实很容易回答：是的，确实有些数学知识，学生只有学懂之后，才能明白它的用途。但这并不是绝对的，大多数数学知识的学习目的，是可以在教学中明确告诉学生的。

比如，我在讲座中提到的整数四则运算的标准算法。关于 “为什么要背乘法口诀” 这个问题，我就曾经在课堂上和学生讨论过。我会问学生：“你们想学会写字、学会说话吗？如果想，那你们要不要先学字母表？”

答案是肯定的。乘法口诀就相当于数学中的 “字母表”—— 只有掌握了这些基础的运算技能，才能进一步学习更复杂的数学知识。这就是学习乘法口诀的目的，即使是小孩子也能理解。

再比如，斜率的概念是美国数学教育的一大难点，我不知道在英国是不是也是如此。在我的教材里，我用了四页的篇幅，先向学生解释 “我们为什么需要斜率”—— 也就是斜率能帮我们解决什么问题，它要测量的是什么；然后再给出斜率的定义；最后再讲解如何运用斜率解决问题。

所以，虽然确实存在 “先学习、后理解目的” 的情况，但大多数时候，我们都可以在教学中，让学生明白学习数学知识的意义。

Q：您的意思是不是说，数学完整性的五个原则，并不是要求每一个数学概念都必须同时满足所有原则，而是应该尽可能地去实现这些原则？

A：没错，就是这个意思。我们只能在教学中尽最大的努力，做到最好。

Q：好的，非常感谢您的解答。接下来，我看到聊天框里有一条不是问题，而是一条感谢的留言。留言者说：“这不是一个问题，而是一份感谢。我们最近发现了您的研究成果，并已经将其中的大部分内容翻译成了葡萄牙语。”

A：哇，这真是太棒了！

Q：这真是一个温暖的结尾。大部分问题已经得到了回答，我们的问答环节也进行了15到20分钟。本来我以为可以在这里结束了，但我突然想到还有一个最后想问的问题，希望您不介意。（笑声）

在您的个人履历中，有一件事我非常感兴趣。您提到，1992年是您的一个转折点，从那之后您开始投身数学教育事业。我们今天在座的观众，包括我自己，都是数学教育的从业者或爱好者，所以我相信，大家一定都很想知道：是什么样的契机，让您这样一位专业数学家，下定决心投入这么多时间和精力，去做数学教育的研究？我觉得，这个故事一定很精彩，也很适合作为今天讲座的收尾。

A：我很喜欢这个问题。1992年发生的事情，确实有点戏剧性。

其实，我最初是被迫卷入学校数学教育领域的。当时，我作为一名数学家，整天忙于研究，根本没有时间关注教育问题。但后来因为一些个人原因，我不得不答应去了解一下数学教育的现状。

结果，我发现美国数学教育领域的“派系之争” 非常严重。我刚一进入这个领域，就受到了不少攻击和诋毁，这让我感到非常气愤。

但更重要的是，愤怒之余，我开始反思：为什么人们会对数学这样一门讲求逻辑和理性的学科，产生如此强烈的情绪对立？这里面到底存在什么问题？

于是，我开始深入调查1992年美国学校的数学教学实际。结果，我被眼前的景象震惊了—— 我们竟然在用如此糟糕的方式，教孩子们学习数学！我觉得这是一种 “不道德” 的行为，而且我坚信，自己有能力改变这种现状。

再加上我一直对 “如何把知识传递给他人” 充满兴趣，所以我开始思考：我可以继续做数学研究，也可以投身数学教育。如果做研究，我的成果能对人类产生多大的影响？如果做教育，又能产生多大的影响？虽然我无法准确比较两者的价值，但最终我还是决定，在那个时候，转向数学教育领域。

其实，这段经历的详细过程，我在一次访谈中提到过。我可以把访谈的链接发给你，汤姆，之后你可以把它放到视频简介栏里，让更多人看到。

主持人：

太好了！非常感谢您。

那么，今天的讲座到这里就圆满结束了。再次感谢伍教授为我们带来的精彩分享。

也感谢所有正在观看直播的观众，以及之后会观看回放的朋友们。我们的下一场讲座将在四周后的4月10日周五举行，时间和本次相同。届时，我们将邀请萨拉・鲍威尔（Sarah Powell）教授，为我们带来题为《如何帮扶有数学学习困难的学生》的讲座，分享五种经过研究验证的教学策略，帮助学生更好地学习数学。相信那也会是一场非常精彩的分享。

再次感谢伍教授！感谢大家的参与！请大家记得查看视频简介栏里的相关链接。我们四周后再见！

非常感谢大家！

2026欧洲数学会（EMS）数学教育讲座系列简介

欧洲数学会（EMS）非常高兴地宣布其数学教育讲座系列，汇聚顶尖专家，共同探讨数学教学、课程设计和政策制定中的关键问题和创新方法。这些一小时网络研讨会将于2026年1月至6月的每个月第二个星期五晚上7点（中欧时间）举行，由Tom Crawford博士主持。

本系列讲座面向以下人群：