巧思秒通选择压轴
反比例函数小综合
在2022版新课标中，对反比例函数内容要求如下：
①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；
②能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=k/x(k≠0)探索并理解k>0和k<0的图象的变化情况；
③能用反比例函数解决简单实际问题；
关于反比例函数的图象——双曲线，2013版教材中有一个信息技术应用内容，如下图：
其实这条性质在学生画双曲线的时候，可以直观感受到，结合几何画板的探索，更加深了印象，有时在解题过程中想起它，效果出奇地好。
题目
如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x、y轴上，反比例函数y=k/x(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN。下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为(0,√2+1)，正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
解析：
根据反比例函数的对称性及正方形的对称性，不妨将其公共对称轴作出来观察，如下图：
①点A、C关于直线y=x轴对称，点M、N也关于直线y=x轴对称，则△CON与△OAM也关于它轴对称，因此△CON≌△OAM；
②容易得到ON=OM，而不一定与MN相等，因此这个结论是错误的；
③借助第一个结论中的全等，再加上矩形ODNC中，对角线ON将它分成两个全等的三角形，于是可得到△NDO≌△OAM，如下图：
将这两个三角形的重叠部分减掉，剩下部分面积相等，并将蓝色部分替换成红色部分，即梯形DAMN变成了△MON；
④若MN与直线y=x相交于点E，如下图：
依然由这个组合图形的轴对称性，∠COB=45°，∠NOE=1/2∠MON=22.5°，于是∠CON=22.5°，在等腰△MON中，OE是其底边上的中线、高，则∠OEN=90°，易得E、C关于ON轴对称，CN=EN，同理AM=EM；
接下来就容易计算了，△BMN是等腰直角三角形，于是BN=BM=√2，而点E是MN中点，则EN=EM=1，于是AM=1，得到正方形边长AB=√2+1，则点C(0,√2+1).
解题思考
实际解题过程中，有不少学生不自觉用“解析法”，将正方形顶点用参数表示，然后再去计算点坐标、线段长度和图形面积，较为复杂，作为选择题压轴题，通常都会有一定技巧，这些技巧的来源则是对基础概念的理解，以及对函数、几何图形的性质的熟练运用，只有深入理解以上内容，才有可能在解答过程中游刃有余。
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