三刷过后，聊聊《挽救计划》中的飞船与燃料丨看电影学天文|地球|小行星转移轨道|挽救计划|星体|燃料|牛顿|飞船

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最近热映的科幻电影《挽救计划》引起了许多讨论，逐星也在第一时间。在文章的评论区有网友提到了燃料问题。

电影中身为外星入侵物种的噬星体同时也是让地球人和波江星人有能力实现星际航行的突破口，原因是噬星体能作为一种极为高效的燃料。在原著小说中作者安迪·威尔在相关内容上着墨不少，从而让整个故事看起来更为科学。电影也通过展示主角动笔计算的画面、台词等形式让观众相信相关剧情是科学合理的。不过或许是为了避免沦为无趣的科学说教，电影相比小说有意模糊了一些细节，比如说没有解释为什么波江星人会有多余的燃料给主角。接下来就以这个问题为切入点聊聊《挽救计划》中的飞船与燃料。

挽救之星飞船与发出佩特洛娃辐射的「燃料」噬星体︱电影《挽救计划》

波江星人的多余燃料

关于为什么波江星人会有多余的燃料给主角这个问题，电影中是有暗示的。波江星人洛基与地球人主角格雷斯曾在谈话中提到在天仓五的研究结束后的计划，格雷斯因为在醒来时通过飞船噬星体的剩余量计算出返回地球需要上百年，明白自己执行的是一个有去无回的自杀任务，所以一直有意回避话题。洛基主动提起这一话题，则说明波江星人的计划不像地球人，他们是有考虑返回自己母星的，所以飞船上还有大量用于返程的噬星体燃料。匀一部分给格雷斯，最多就是回程开得慢一些。电影台词也给出答案，波江星人给格雷斯燃料后路程时间会延长6年，这对于几百年寿命的波江星人来说那都不叫事。

图︱电影《挽救计划》

挽救之星飞船质量

刚刚提到了格雷斯在刚醒来时发现自己无法在有生之年返回地球，电影中给出了一段他在白板上的计算，我们可以据此推导出挽救之星飞船的质量。电影给出的数据有飞船剩余噬星体质量为11581千克，噬星体消耗速率为每秒6g，此时飞船正以1.5倍重力加速度作匀减速运动。此时如果将航向对准地球匀加速，完全消耗掉噬星体燃料需要1.93E6秒，飞船最终速度可以达到每秒2.84万千米，接近0.1倍光速。此时勉强可以适用普通的齐奥尔科夫斯基火箭方程：

代入相关数据（ve按1c计算），飞船初始质量m0与最终质量m1的比值是约1.1倍，即飞船净质量是燃料质量的约10倍，挽救之星飞船的净质量约为120吨，作为对比，我国的天宫空间站质量约为100吨。电影中挽救之星飞船在观感上确实与空间站的体量相近。

天宫空间站︱Wikipedia@Shujianyang

在之前的文章中我们已经定性分析了为何地球人没办法携带返程燃料，现在飞船净质量已知，可以做一个定量计算，看看如果计划往返，飞船需要多带多少燃料。使用考虑相对论的火箭方程：

其中M是燃料质量，m是燃料消耗后飞船的剩余质量，单程时m即飞船净重。考虑返程时时间增加一倍，飞行方式不变，往返所需燃料质量则变成单程燃料质量与飞船质量的平方。已知单程时燃料质量是飞船质量的2000/120≈16.7倍，那么考虑返程后需要携带的燃料质量就会变成飞船的(16.7+1)²-1≈312.3倍，需要额外携带(312.3-16.7)×120=3.5万吨饱和噬星体。

格雷斯：你在逗我吗︱电影《挽救计划》

不懂相对论的波江星人

看到这你可能有了新的疑问：既然人类带不了返程燃料，为什么波江星人就能带呢？波江星人自然也会受物理定律约束，但他们逆天的材料科技树在一定程度上缓解了这一点（对就是那个氙岩）；他们的行星上有着两百多摄氏度的海洋，可谓天选噬星体充能站（电影没有提到这一点）。此外在原著小说中还补充了一个看似合理的理由：由于不懂相对论，波江星人原本估计飞船要六年多才能飞抵天仓五，而实际上飞船只用了不到一半的时间（三年），时间短了，燃料消耗自然就少了有富余。

关于波江星人究竟带了多少燃料，我们可以在纯牛顿力学的框架下求解这个问题。电影并没有明确给出波江星人前往10光年外天仓五所花费的时间，如果按照小说的设定，是6.64年。以最简化的匀加速匀减速模型推算，飞船的极速将会达到3.01倍光速，加速度为0.879g。将这一数值带入齐奥尔科夫斯基火箭方程中，得到的结果是飞船出发时需要携带相当于自身飞船净质量约412倍的燃料。如果考虑返程，还需要在这个基础上平方，也就是需要携带相当于自身飞船净质量17万倍的燃料。电影和小说都没有涉及波江星飞船Blip A的质量，如果代入地球人的挽救之星飞船质量计算，结果将会是恐怖的2040万吨。

电影中的挽救之星号与Blip A︱电影《挽救计划》

这个数字看着不可思议，但波江星人在理论上确实有能力喂饱这么多的噬星体，小说中提到波江星人所在的波江座40Ab有着水量数倍于地球海洋的水体，水温接近500开尔文。假设将波江座40Ab的全部海洋（取5倍地球海洋质量）降温100开，释放的能量足够生产3200万吨饱和噬星体。

电影中的波江座40Ab︱电影《挽救计划》

PS：引入匀速巡航阶段可以大幅降低燃料消耗，如先以2.2g（小说提及波江星人的故乡波江座Ab的重力加速度是地球的2.2倍）的加速度匀加速273天，随后进入巡航阶段，在到达前开始以2.2g的加速度匀减速273天。这种情况下飞船极速约为1.7c，单程所需的燃料-飞船质量比大约是28.8，往返是29.8²-1≈887倍。但沿着这一假设不能实现「波江星人因为不懂相对论而节省燃料」的设定，见下一节。

更节省 or 更浪费

我们把燃料总量的问题暂时放一放，先看看波江星人是否真的因为不懂相对论而节约了燃料。

定性讨论，由于相对论的「尺缩钟慢」效应，飞船上经历的时间确实会变短，从而减少了燃料的使用时间；但相应的，如果波江星人执意要达到预定的超光速状态，则会不断提速，在接近光速的过程中单位时间内会消耗更多的燃料。这两种效应综合以后燃料消耗如何变化，还得具体情况具体分析。

如果波江星人一直维持原计划的加速度0.879g推进，那么在飞船时间过去3年时（大概是原计划时间的一半）已经飞行了8个光年，或许洛基在此时注意到了这一点开始减速。小说中洛基确实也提到了他们的飞船比预想的更早过了行程中点。此时前半程匀加速对应的燃料质量比约15.5，减速时由于能量守恒，也是消耗对应比例的燃料，两者叠加得到单程的燃料与飞船剩余质量比为16.5²-1≈271，271/272＜412/413，燃料的消耗确实会比预计的更少一些。飞船上经历的时间大约是4年。

波江星人洛基

根据牛顿计算结果，波江星人携带了17万个单位质量的（1单位质量=Blip A飞船净质量）噬星体，原来预计会消耗掉(412.4/413.4)×1.7E5≈169588.8单位质量的燃料，而实际消耗了(271/272)×1.7E5≈169375单位质量的燃料，节省了约214单位质量的燃料。考虑到Blip A的体量不会小于挽救之星号，把这些节省的燃料匀一部分给格雷斯回家倒是绰绰有余。

电影中洛基提出给格雷斯燃料后，格雷斯献上拥抱︱电影《挽救计划》

如果按照小说提到的波江星人只用3年就到达了天仓五，那么飞船需要更加接近光速，会更贴近前文所说的执意达到预定超光速的情况，所需加速度也要更高。考虑简化的匀加速-匀减速模型，飞船极速是0.996c，加速度为2.02g，此时单程的燃料与飞船剩余质量比为e^(2×3×9.8×365.25×86400/299792458)-1≈518。518/519＞412/413，此时飞船的燃料消耗量反而会略多于牛顿计算值。

PPS：如果同样引入巡航阶段，首先同样以2.2g匀加速273天，到达前273天开始匀减速，这样的飞船巡航速度为0.938c，单程所需燃料-飞船质量比为29.74，29.74/30.74＞28.8/29.8。此时不懂相对论并不能让波江星人节省燃料。

必须保留的「破绽」

回到燃料总量的讨论，以上推算表明波江星人在出发时可能携带了接近Blip A 20万倍质量的噬星体，这个数字怎么看都不太合理，至少不是人类科技可以比拟的（作为对比航天飞机的燃料与轨道器质量之比大约是20:1），就算是人均材料仙人的波江星人也不见得有能力接近这个比值。如果不想把波江星人的Blip A飞船视为一种材料学奇迹，就得引入飞船匀速巡航的设定以降低燃料的携带量，但这又跟小说中「波江星人因为不懂相对论而节省燃料」的说法产生冲突，甚至于会消解波江星人给主角燃料的合理性。

另外人类这边区区2000吨噬星体是否足够支撑单程航行也是要打个问号的。理论上想要在4年时间内抵达天仓五就要达到400倍的燃料-飞船质量比，16.7倍远远不够；如果考虑之前的文章中提到的人类收集能量的速度，保持2000吨噬星体质量不变时飞船质量只能调低到约5吨（神舟飞船是8吨）；如果保留燃料与飞船质量的16.7倍比值，就要至少延长飞行时间到7年。总之2000吨噬星体-120吨飞船-4年内抵达天仓五三个条件组成了一个不可能三角。