Synchronization, Collective Oscillations, and Information Flow in Duplex Networks
双层网络中的同步、集体振荡与信息流
https://arxiv.org/pdf/2603.00313
摘要
在许多现实世界系统中，部分同步是主导的动力学状态；而在大脑等系统中，它通常伴随着集体振荡，其中多个重叠的模式相互作用，产生复杂的节律活动。在此，我们研究了具有反应性层间连接的双层网络，此类网络中无法实现完全同步。我们表明，当镜像节点之间的层间频率差以足够的宽度均匀分布时，网络会自组织成由多个相互作用模式组成的集体宏观振荡。通过将宏观相变与节点间的微观定向信息传递相联系，我们揭示了这些多模态动力学涌现的潜在机制。
关键词： 多层网络，爆炸同步，层间挫败，层间频率失配，集体振荡，传递熵
1 引言
同步是许多自然和工程系统中的基本现象，其范围涵盖大脑中的神经元群体、电网以及社交网络等。1–3 从非相干状态到集体同步的转变已被广泛研究，结果表明：随着耦合强度的增加，相干行为可以逐渐（连续转变）或突然（不连续转变）地涌现。4–6 重要的是，同步不仅仅是一个宏观结果，而是源于振荡器之间持续的动力学相互作用。这些相互作用产生了定向的影响交换，从而塑造了系统的集体状态。通过传递熵量化这种定向信息流，7,8,10 使我们能够将节点对之间的微观相互作用与全局同步模式联系起来。从这个意义上说，集体秩序的涌现及其性质与网络内信息的组织结构和重新分配方式密切相关。
先前的研究进一步表明，在完全非相干和完全同步状态下，总信息传递通常较低，并在同步转变附近达到最大值。8 这凸显了复杂系统中动力学临界性与增强信息交换之间的紧密联系。此外，信息流的方向并非随机：它通常起源于具有较大绝对自然频率的节点或高度连接的枢纽节点，并向更外围的节点传播。11–13 然而，这种层级结构并非普遍存在。系统参数的变化可以重组信息流的方向；例如，时间延迟已被证明能够逆转或重新分配节点间的因果影响。14 因此，时间延迟、挫败以及层间相互作用等机制可以显著重塑信息流模式，进而影响宏观动力学和同步相变的性质。
先前的研究揭示，在双层网络中引入反应性层间相互作用——通过将层间挫败设置为 π/2（注：原文“π2”疑为排版漏斜杠）——可以从根本上改变每一层内同步的性质。15–17 特别是，当跨层的镜像节点之间存在非零的平均频率差时，层内同步转变可以从连续变为不连续（爆炸性）。16 这表明，反应性耦合与层间频率失配的组合在重塑集体动力学和确定每层内同步转变的性质方面起着关键作用。
在我们之前的工作中，我们证明了在具有反应性层间连接的双层网络中，集体动力学不仅由平均层间频率失配决定，还由镜像节点间的频率排列方式决定。15 具体而言，我们表明具有相同平均层间频率差的两种配置会导致定性上不同的行为。在一种情况下，系统经历单次爆炸同步转变，并伴有清晰的迟滞回线。在另一种情况下，系统表现出双次爆炸转变，并伴随序参量的振荡，其中不同的动力学模式共存并重叠。这些结果强调，层间频率失配的详细分布和排列在塑造涌现的集体行为方面起着关键作用。
集体振荡通常由多个叠加的频率模式组成，是许多系统的核心，从神经网络和生化电路到电网、气候系统以及社会或生态网络。18–23 振荡状态之间的转变——或节律性的丧失——通常标志着关键变化，如功能崩溃或相变。例如，在大脑中，神经群体在频段（alpha、beta、gamma）上表现出多样的节律，这些节律协调着信息交换和认知过程。24–28 多个振荡模式可以共存并相互作用，产生复杂的宏观时间模式。因此，理解理论模型如何产生此类集体振荡，对于揭示涌现动力学的机制以及跨学科预测、控制和优化复杂系统至关重要。
尽管集体振荡普遍存在，但其背后的机制仍然是一个活跃的研究领域。仓本模型（Kuramoto model）为研究周期性同步提供了一个强大的框架。29–31 在部分同步状态下，网络可以表现出持续的振荡行为；例如，具有双峰频率分布的全连接网络可以支持极限环解。32 此外，耦合的二阶仓本振荡器可能根据惯性和时间延迟等参数表现出周期性动力学。33
另一方面，许多现实世界系统天然是多层网络（multiplex networks），其中节点同时通过多种类型的连接进行交互。34–36 每一层可以代表一种不同类型的相互作用，具有其自身的拓扑结构和动力学特征。例如包括通过电突触和化学突触连接的神经元，或跨越职业与在线平台的社交关系。这些多层结构无法被单层网络完全刻画，因为层间相互作用强烈地塑造了集体行为和同步过程。37,38
2 方法
本节描述了本研究采用的方法论框架。
2.1 网络模型与动力学性质
该系统由耦合振荡器组成，其行为受网络结构、动力学规则以及自然频率的分配共同塑造。这些要素共同定义了网络的结构与动力学图景，为分析相变与信息传递提供了框架。
2.1.1 网络结构
此处考虑的网络是一个双层多层结构，其中每一层均构成一个全连接图。层内的节点代表单个振荡器，而层间耦合则将每个节点与其在另一层中的镜像对应节点相连接。这种构型使得层内与层间相互作用得以同时存在，为研究网络结构与多层性如何影响动力学行为提供了一个可控的框架。该双层网络的示意图如图1所示。
2.1.2 网络动力学
在定义了双层网络结构之后，我们现在探讨控制振子时间演化的动力学机制。每个节点被建模为一个相位振子，其动力学行为由扩展的仓本方程描述。这一框架使我们能够系统地研究层内耦合与层间耦合如何共同影响整个网络中全局同步与相位相干性的涌现。
经典的仓本模型最初是为了解释全局耦合的相位振子系综中的自发同步现象而提出的。[29, 31] 随着时间的推移，该框架已被扩展以纳入复杂且真实的网络特征，从而能够研究诸如网络拓扑[5]、多层相互作用[39]、时间延迟[40, 41]、相位受挫[42]以及自然频率分布[15, 29]等因素如何影响集体动力学行为的涌现。
如上所述，我们考虑一个双层仓本模型，该模型由两个全连接层组成，每层包含 N 个振子。同一层内的振子通过强度为 σ 的全对全耦合进行相互作用，而不同层中对应的镜像节点之间则通过强度为 λ 的层间耦合相连。为了体现多层结构在塑造系统动力学中的作用，我们在层间耦合中引入了一个恒定的相位滞后参数 α，该参数能够捕捉可能显著影响同步和动力学稳定性的受挫效应。
因此，第I层中的振荡器i及其在第II层中对应的镜像节点的相位动力学由以下一组耦合微分方程描述：[4]
2.1.3 双层网络中的固有频率配置
固有频率的分布在塑造耦合振荡器网络的同步动力学方面起着核心作用。在双层网络中，先前的研究表明，同步不仅取决于层间的平均频率失配，还取决于固有频率如何分布并分配给节点及其镜像对应节点。因此，即使是固有频率组织方式上的细微差异，也会导致定性上截然不同的集体行为。
在此，我们研究镜像节点间频率差的分布如何影响网络动力学。为了在不同分布之间进行有意义的比较，我们保持层间的平均频率差恒定，这就要求定义一个层间频率失配的度量。
为了量化镜像节点之间的失配，我们将每个节点 i 的镜像节点频率差（mirror-node frequency difference）定义为：
2.2 信息论框架与估计方法
在确立了支配多层 Kuramoto 系统的结构和动力学规则后，我们要寻求一种原则性的方法来量化振荡器如何通过它们交换的信息相互影响，特别是当网络趋向或远离同步时。信息论为此提供了一个自然的框架。 与关注相位相干性或频率锁定的传统动力学度量不同，信息论量揭示了某个振荡器的状态如何减少关于另一个振荡器的不确定性，从而捕捉到仅凭序参量可能无法察觉的细微定向相互作用。
2.2.1 传递熵作为定向信息流的度量
香农熵位于该框架的核心，为随机变量固有的不确定性提供了定量度量。对于具有概率分布 p ( x ) 的随机变量 X ，其熵定义为
2.2.2 使用 JIDT 估计传递熵
所有的传递熵分析均使用 Java 信息动力学工具包（Java Information Dynamics Toolkit, JIDT） 10
进行，这是一个专为在复杂动力学系统中估计信息论度量而设计的开源软件包。传递熵的准确计算需要对联合概率分布和条件概率分布 p ( x t + 1 , x t , y t ) 进行可靠估计，由于采样有限和维数灾难，这对于有限数据集，特别是高维或连续值系统来说，可能具有挑战性。为了解决这个问题，JIDT 实现了 Kraskov–Stögbauer–Grassberger (KSG) 估计量的多变量扩展 ,，这是一种用于估计互信息及相关量（包括传递熵）的非参数且数据高效方法。
在我们的研究中，时间序列对应于耦合振荡器的相位，这些相位本质上是周期性的
，因此需要一个能够处理圆分布（circular distributions）和非线性依赖关系的估计量。多变量 KSG 估计量非常适合此目的，因为它以非参数方式捕捉联合概率空间的局部结构，使其能有效分析如 Kuramoto 模型等非线性动力学系统。
其中 1 ( ⋅ ) 表示示性函数。由此产生的 p 值量化了在无定向相互作用的零假设下，观测到的传递熵出现的可能性。我们采用了 p < 0.05 的显著性阈值，这使得我们能够在减轻有限样本偏差的同时，严格识别振荡器之间具有统计意义的信息传递。
3 结果
本研究的主要目的是研究双层网络中镜像节点之间的频率失配如何影响相变、群体层面振荡行为的涌现，以及支配层内和层间信息传递的机制。
为了系统地探索这些效应，结果被组织成两个主要部分。首先，我们研究双层网络的同步转变及其受频率失配的调节。随后，我们专注于信息论分析，考察定向信息流如何随层内耦合强度在层内和层间变化，特别是在相变区域。
3.1 层间频率失配与振荡同步
图3比较了前图中介绍的两种配置在迟滞环内的耦合强度（ σ = 2.34 ）下的详细动力学行为。特别是，对于层间频率失配的均匀分布——即在后向转变过程中观察到波动的情况——序参量在两层同步中均表现出具有显著振幅的持续时间振荡。相比之下，对于具有高斯分布层间频率失配的配置，这种振荡行为是不存在的。此外，振荡动力学由多个共存的频率组成，这表明不同的振荡模式相互叠加，而非源于单一主导频率。而且，在最慢频率下，两层中的振荡是同相的，而在次慢频率下，两层之间的振荡变为反相（参见图3(a)）。
为了进一步研究节点的局部协调行为，我们绘制了每种配置在稳态下两层的平均相似性矩阵。相似性矩阵中的节点索引已按频率失配的大小从低到高进行排序。在这两种配置中，与绝对频率失配较小的镜像节点相连的节点，在其自身层内表现出更强的同步性，这在相似性矩阵中心的红色方块区域中清晰可见。然而，在均匀失配配置中，当从矩阵中心向外围区域移动时，会呈现出从同步态到非相干态的清晰梯度——这一特征在高斯失配配置中并不存在。该模式在两层中均一致出现，表明外围节点——即与镜像配对节点具有较大绝对频率失配的节点——是导致观测到振荡现象的主要原因。
这些振荡的产生是因为在每一层内部，节点群根据其与另一层镜像节点的频率失配，在同步态与非同步态之间以“闪烁”模式交替切换。具体而言，当具有较大（正）频率失配的节点进入同步态时，具有较小（负）失配的节点倾向于失同步，并且这种行为随时间周期性地反转，从而催生了观测到的振荡动力学。此外，“闪烁”集群的规模随时间变化，从慢模振荡的波峰到波谷，失同步程度逐渐加剧，这解释了相似性矩阵中从中心节点到外围节点所呈现的同步梯度。值得注意的是，当层间频率失配呈高斯分布时，这种动力学模式并不存在。有关这些动力学过程的更直观展示，请参阅补充视频 S1。
图 4 突出了层间频率失配宽度对同步转变的影响。在图 4(c) 中，前向路径显示出突兀的、爆炸性的同步，而图 4(d) 显示后向转变也是爆炸性的，但伴随沿路径的明显波动。重要的是，发生这些波动的耦合强度范围随着层间频率失配宽度的增加而扩大。
随着失配宽度的增加，沿前向和后向路径的临界耦合强度均向更高值移动，反映了实现同步需要更强的层内耦合，沿前向路径的情况，并表明沿后向路径，去同步化发生在更高的耦合强度下（见图 4(e)）。这种行为源于更宽的层间频率失配分布所导致的固有频率异质性增加，这使得同步更加困难。 31 31 尽管有这些变化，迟滞回线的面积基本保持不变，表明同步态与去同步态之间双稳态持续存在的耦合强度范围是稳健的（见图 4(f)）。
我们观察到，增加层间频率失配宽度扩大了沿后向转变路径序参量发生波动的耦合强度范围，表明对于较大的失配宽度，振荡在更宽的耦合区间内出现。我们现在详细检查对于固定的层间频率失配宽度，这些振荡的幅度和频率如何随层内耦合强度变化。
图 5(a) 展示了两层的相变和迟滞回线，分别用红线和蓝线表示。数据对应于图 5(b) 中的频率配置，其中 。前向转变路径用浅色线表示。后向路径（发生振荡且特别受关注的部分）用深色粗线高亮显示。阴影区域代表序参量的时间标准差，在迟滞回线内随层内耦合强度的增加而增加。
图 5(c, e, 和 g) 展示了两层序参量的时间演化，红线和蓝线分别表示，对应于图 5(a) 中垂直虚线标记的三个层内耦合值。在长时标（慢模式）下，两层的动力学是同相的，而在短时标下它们表现出反相行为。此外，跨这些面板的比较显示，减小层内耦合强度会导致每层内慢频振荡的幅度逐渐减小，并伴随波长的增加。在迟滞回线内较小的层内耦合值处，慢模式消失。
层 II 的时间平均相位相似性矩阵显示在与对应时间演化相同的行中，针对相似的层内耦合强度。由于两层的结果相似，仅展示层 II 的矩阵。如同在图 3(a) 中，与具有相似频率的镜像节点耦合的节点倾向于在层内同步。在较高的层内耦合处，观察到明显的振荡，相似性矩阵揭示了从同步组到去同步组的清晰梯度，从中心节点向外围节点推进——即从与镜像节点具有较小绝对频率失配的节点到具有较大失配的节点。这进一步证实了观察到的梯度源于振荡。与补充视频 S1 中展示的动力学一致，具有较大绝对频率失配的节点——通常是相似性矩阵中的外围节点——在振荡的峰值开始去同步化。随着振荡接近其最小值，去同步化区域扩大，产生重复的“闪烁”模式，在相似性矩阵的左右两侧交替出现同步和去同步状态。
这些结果揭示了层间频率失配配置、振荡动力学的涌现以及每层内局部同步模式之间的直接联系。这些振荡的幅度及其跨节点和层的相位关系表明，层内和层间的信息传播受到潜在频率异质性的强烈影响。为了量化这种效应，我们现在采用一种信息论方法，检查个体层内和跨层的定向信息传递。该分析提供了频率失配如何塑造整个双层网络中的协调和信息流的详细表征。
3.2 传递熵分析
为了更深入地理解支配同步的动力学相互作用，我们利用传递熵（TE）框架对网络进行分析，这是一种无模型的定向信息传递度量。 7
TE 量化了源振荡器的过去状态在超出目标振荡器自身历史所包含信息的基础上，能在多大程度上减少目标振荡器未来状态的不确定性，从而捕捉因果相互作用的强度和方向性。
在 Kuramoto 振荡器网络中，节点间的信息传递通常在相变点附近最高，此时系统处于部分同步状态且相互作用携带的信息量最大，而在非相干和完全同步状态下则会降低。在这些临界点，固有频率的异质性和网络拓扑结构（例如节点度、枢纽节点）会产生不对称的影响，从而增强定向信息流：高频节点倾向于主导动力学，枢纽节点通常充当集体起搏器向边缘节点发送信息，而低度节点主要影响其局部邻域。因此，高频或高度节点通常充当主要的信息源，而其他节点则充当信息汇。时间延迟、挫败或层间相互作用等外部因素可以改变这种层级结构，使得原本占主导地位的节点预测性降低，并在网络中重新分配 TE。在下文中，我们将考察这些原则如何在具有不同类型层间耦合的双层网络中体现。
面板 (a) 和 (b) 显示同步转变是连续的，没有迟滞：前向和后向分支在两层中重叠，证实了当移除挫败时不存在爆炸同步。面板 (b) 高亮显示了转变区域，并指出了用于层 II 传递熵分析的耦合强度。面板 (c–d) 展示了节点对之间相互传递熵的热图，这些热图是在层 II 后向分支上沿层内耦合强度 σ = 0.78 , 0.80和 0.82 计算的。这些数值接近系统在同步态与去同步态之间转变的临界耦合。矩阵旁的边缘曲线显示了行和与列和，分别代表每个节点发送和接收的总传递熵。所有报告的传递熵值均具有统计显著性，通过了 p < 0.05 的时移代理检验。
正如预期的那样，在转变点之前的相干状态中，节点对之间的信息传递几乎为零。随着耦合在转变区域内增加，矩阵中出现了独特的信息流模式。传递熵在转变点达到最大值，而整体流动模式在整个区域内保持基本一致。与先前的研究一致，信息主要是根据节点绝对频率的排名进行传递的，即从高频节点流向低频节点。此外，具有较高绝对固有频率的节点充当更强的信息发送者（源），而最有效的信息接收者（目标）则是具有中等绝对固有频率的节点，既非极高也非极低。
此外，传递熵矩阵（面板 (d) 和 (e)）显示，沿后向路径，随着耦合减小，有影响力的节点数量减少，最终只剩下那些具有最小频率失配的节点。这一观察结果与面板 (b) 中的结果一致，即沿后向路径减小层内耦合会导致平均总传递熵的减少。这种减少的发生是因为同步集群的中心区域——即主要驱动动力学的部分——随着层内耦合的减小而收缩（参见图 5 中的热图）。
图 7 展示了层 II 内的信息流，而补充图 SF1 展示了层 I 中相应的流动，这与图 8 中的情况相似，表明跨层行为的一致性。补充图 SF2 提供了详细的视图，展示了传递熵矩阵是如何从代理检验中推导出来的。
尽管每层中固有频率的分布不同——一层设为零，另一层取自均匀分布——但层 I 和层 II 之间的传递熵没有优先方向。这一观察结果表明，跨层相互作用主要由镜像节点的绝对固有频率失配支配，该失配充当层间影响的主要驱动源。
最后，对比图 6、7 和 8 显示，层间传递熵值高于层内传递熵值。此外，当存在层间挫败且相互作用为反应性时，层内传递熵值也会增加。
4 讨论
在这项研究中，我们通过将 Kuramoto 模型扩展到多层系统，研究了双层网络的动力学。我们重点关注层间相互作用——从耗散性到反应性（挫败）连接——以及层间频率失配的分布如何影响集体行为。特别是，我们考察了它们对同步转变、振荡动力学的涌现以及层内和跨层信息传递模式的影响。
对于连续转变，具有最大绝对固有频率的节点充当主要驱动者，向其他节点传递信息，而具有中等频率的节点是最有效的接收者。接近网络平均频率的节点对信息流的贡献最小。这种层级模式构成了同步逐渐且有序涌现的基础。
引入反应性层间连接显著重塑了层内动力学和信息传递模式，改变了哪些节点充当驱动者或接收者。每个节点同时受到层内和层间耦合的影响。在迟滞区域内，具有较小层间频率失配的节点首先同步，并充当主导信息源，驱动具有较大失配的节点的动力学。随着层内耦合 σ 的增加，具有较大失配的节点逐渐加入同步群体，参与层内和层间信息流。这一过程创造了有利于集体振荡涌现的条件。
因此，爆炸同步作为层间频率排列与反应性连接相互作用的宏观后果而涌现，这种相互作用重组了层内信息流。沿序参量后向路径涌现的集体振荡对层间频率失配的分布高度敏感。通过系统地改变镜像节点频率差的分布形态和宽度，我们表明这些因素关键地决定了振荡行为的范围、幅度和模态。
当两层中的固有频率取自不同的高斯分布时，我们可以构建具有相同平均失配但分布不同的层间排列——高斯分布与均匀分布。两种排列均产生爆炸同步，但多模态集体振荡仅出现在均匀层间失配的情况下。虽然在这两种情况下层内信息的一般流动是相似的——从同步核心流向更非相干的外围节点——但动力学存在差异：高斯排列产生较大的核心，外围节点平滑加入；而均匀排列涉及大量节点难以同步，从而引发明显的振荡。
通过控制均匀层间失配的宽度，我们进一步表明，更宽的分布扩大了序参量发生振荡的层内耦合 σ 范围；此外，增加 σ 会增强这些振荡的幅度。这些振荡是多模态的：最慢模式涉及跨层序参量的同相振荡，而次慢模式显示反相关系。这些模式的叠加——结合中心-外围同步与外围节点间的局部扩散——产生了丰富的“闪烁”动力学，这可能为理解大脑网络中普遍观察到的多模态振荡是如何组织的提供启示。
总之，我们的结果表明，层间连接挫败和层间频率失配的分布共同支配相变和振荡动力学的涌现。通过将宏观同步和多模态振荡与微观定向信息流联系起来，本工作为理解复杂模式如何从多层系统中的网络相互作用中涌现提供了见解。
原文链接：https://arxiv.org/pdf/2603.00313
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