电子也会“排队”走吗？这个问题困扰了物理学家数十年|物理学家|磁场|粒子|量子化|量子态

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量子霍尔效应由克劳斯・冯・克利钦（Klaus von Klitzing）于 1980 年首次发现。他当时正在研究一种早在约一百年前就由埃德温・赫伯特・霍尔（Edwin Herbert Hall）观测到的现象。

取一片金箔，施加垂直于金箔的磁场，并沿金箔某一方向通入恒定电流，接着在金箔的垂直方向就会产生电流 —— 这就是霍尔电流。

量子霍尔效应：磁场（B）垂直于薄片。沿某一方向通入电流（I）时，会在垂直方向产生霍尔电流（U）。图片来源：Ohewikiaccount, CC BY-SA 4.0

磁场强度决定了霍尔电流的导通难易度：磁场越强，霍尔电导（衡量导通难易度的物理量）就越低。逐步增大磁场强度，霍尔电导会随磁场平稳下降。

克利钦对一个问题很好奇：若在极低温环境下开展实验，此时电子不会因热运动剧烈碰撞，会发生什么？他的发现震惊了学界：降低磁场强度时，霍尔电导不再平稳下降，而是呈阶跃式突变。这种物理量以离散台阶式变化的行为，是量子现象的典型特征。由于量子效应通常无法在宏观系统中观测到，克利钦的发现意义非凡 —— 他让量子效应变得切实可见。

这是霍尔电导随磁场变化的粗略曲线图，展示了霍尔电导如何呈阶跃式下降。

霍尔电导的量子化取值形式为：

其中e是电子电荷量，h是普朗克常数。因表达式中出现整数，该效应被命名为整数量子霍尔效应。

然而故事并未结束。不久后，霍斯特・施特默（Horst Störmer）和崔琦（Daniel Tsui）在更低温度、更强磁场下，用极薄电子气层完成了类似实验。令人意外的是，他们在克利钦实验的整数能级之间，观测到了新的能级。这一效应被称为分数量子霍尔效应。

克利钦因发现整数量子霍尔效应，获得 1985 年诺贝尔物理学奖；霍斯特・施特默与崔琦和罗伯特・劳夫林（Robert B. Laughlin）共享 1998 年诺贝尔物理学奖，下面我们将进一步讲述后者的故事。

走进量子态

整数量子霍尔效应的精度极高，被用作电阻单位（电导的倒数）的计量标准。尽管它发生在宏观系统中，却能高精度测量单个电子的电荷量。

更神奇的是，这种高精度并非来自样品的完美无缺，反而是源于杂质。要理解这一点，我们需要先掌握最基础的量子力学知识。经典物理中，粒子（或整个粒子系统）在某一时刻的状态由确定的物理量描述，比如粒子的位置和动量。但量子力学的世界更为模糊：粒子可以同时处于多个位置、拥有多个动量，只有测量时，才会坍缩到某一个确定结果。

粒子或系统的量子态，编码了所有可能的状态及其对应的观测概率。数学上，量子态常用波函数表示。当我们说一个量子态延展到空间某区域，意思是测量粒子位置时，它可能出现在该区域内任意位置，但并不会出现在区域外。

量子力学的另一核心特征是前文提到的非连续性：原本通常被认为连续变化的物理量，只能取分立值。

整数量子霍尔效应：为何出现平台？

解释整数量子霍尔效应，我们首先要对付的量子特性就是离散性。实验中，待测样品（例如霍尔本人所用的金箔）被置于强磁场中。磁场会改变材料内部电子的运动状态。特别地，电子运动对应的能量不能取任意值，只能取特定的离散值，这些能级被称为朗道能级。

物理学大神列夫・朗道的公开照片

量子力学的另一条铁律 ——泡利不相容原理指出，每个特定的朗道能级只能容纳有限（尽管数量极大）的电子，该数量与磁场强度正相关：磁场越强，单个朗道能级可容纳的电子越多。

理想材料中，每个电子都会占据其中一个特定的朗道能级，与之相对应的量子态会延展至整个样品，这使得所有电子都能参与导电。

然而，现实中没有绝对理想的系统。真实材料（例如金箔）必然含有杂质，它们会破坏朗道能级的精确性。杂质附近的电子被允许存在于略低或略高于准确朗道能级的能区。因此，每个朗道能级会展宽为具有一系列允许能量的朗道能带。

杂质虽拓宽了允许的能量范围，却也会束缚电子，将其运动限制在很小的临近区域内。处于这种局域态的电子无法参与导电，绝大多数电子都会被这样束缚 —— 这就引出一个问题：电流到底是如何流动的？

答案藏在材料的边缘（例如金箔的边缘）。边界会改变电子的允许运动方式，就像一条河的河岸会扰乱涡流并引导水流平稳流动一样，样品边缘会引导电子沿单向路径运动。电流正是通过这些边缘通道传输。边缘还会改变能级分布，让朗道能级 “向上弯曲”：越靠近边缘，朗道能级的能量越高。

现在想象实验正常运行，霍尔电流沿边缘流动。然后想象着去降低磁场强度。当磁场变弱，每个朗道能带能容纳的电子数量减少——正如我们之前所说，每个朗道能级电子的数量取决于磁场的强度。部分电子将无法在更低的能态找到占据空间，只能进入原本无人认领的高能态。

但是这些新增电子大多会进入样品内部由杂质造成的局域态。因为这些量子态无法参与导电，所以霍尔电导保持恒定，形成平台。只有当电子开始占据新的非局域的扩展态，也就是那些非局域状态时，霍尔电导才会快速跳变到下一个平台。

霍尔效应家族谱。图片来源[1]

整数量子霍尔效应：为何是整数？

上文中解释了霍尔电导 - 磁场强度曲线中平台的成因。但为何平台恰好对应e2/h的整数倍？1981 年，物理学家罗伯特・劳夫林（Robert B. Laughlin）想出了一套实验的理论模型设定，这使得他得以极致精准地解析该系统。

在这个理论模型中，系统变成了某种意义上的量子泵。驱动霍尔电流的电场，由缓慢穿过系统的磁通量产生（模型中假设系统有一个孔洞供磁通量穿过）。泵浦的一个周期，对应穿过一份量子化的磁通量。在每个周期结束后，系统会恢复它从前的状态。（用专业术语说，系统被称为哈密顿量的某种数学对象回到了初始值）。

计算表明：一个泵浦周期内传输的电荷量（以e为单位），就是系统的霍尔电导（以e2/h为单位）。要解释霍尔电导为何是e2/h的精确整数倍，只需证明每个泵浦周期内有相同数量的电子被传输。

这个结论在经典物理中显而易见：电子不可分割，只能以整数个传输，并且每个泵浦周期完全相同，因此每次传输的电子数必然是同一个整数。但量子世界更为模糊，所以需要更多的工作去展示实际上究竟发生了什么。当你做这些计算时，你就会遇到一个来自拓扑学（数学中的一个领域）的公式。你可以从数学上证明，该公式只能导出一个整数（即陈数，是由华人物理学家陈省身提出的一种拓扑不变量）。这一数学必然性保证了劳夫林泵浦模型中每个周期传输整数个电子，进而解释了霍尔电导的取值。

这就是数学与自然的完美交汇：霍尔电导的量子化背后，是陈数必为整数的数学铁律！

拓扑为盾，坚不可摧

尽管劳夫林的模型十分理想化，这段论证却能解释真实实验条件下，霍尔电导仍存在严格的量子化现象，也阐明了该现象是非常鲁棒的：系统的微小扰动（电子数、杂质性质、磁场变化），都不会让霍尔电导偏离整数倍数值。因为陈数能且只能是整数，即使你微调系统的各种细节，霍尔电导都无疑只能取特定值。

这种对微小扰动的 “免疫力”，与拓扑学（先前提到帮助我们导出陈数公式的那个数学领域）的核心思想高度契合。拓扑学是更宽松的几何学。只要不撕裂、不切割，能通过形变相互转化的两个形状，拓扑上就是等价的。完美的球体与瘪掉的足球拓扑等价，以及甜甜圈与带柄马克杯也拓扑等价。形状的微小改变不会改变其拓扑类型，正如量子霍尔系统的微小扰动不会改变它的霍尔电导。

球体与足球：球体与瘪掉的足球拓扑等价，因为无需切割、粘合即可将一方形变为另一方。

甜甜圈与马克杯拓扑等价，因为无需切割、粘合即可将一方形变为另一方

正因这种和拓扑学的联系（同时还有更深层的关联），物理学家称霍尔电导是拓扑保护的。

值得注意的是该系统还有一个关键特征：系统内是绝缘体，电流仅沿边缘流动。但是你无法脱离整体的物理机制而去单独研究边缘的物理机制。边缘的行为是整个系统物理规律的直接结果，这一现象被称为体边对应（bulk-edge correspondence）。

分数量子霍尔效应

整数量子霍尔效应得到了解释，那分数量子霍尔效应呢？如前文所述，它发生在温度更低且磁场更强的情况下。在霍尔电导 - 磁场强度曲线中，新平台出现在非e2/h整数倍的位置，实验中最常见的是e2/3h和2e2/5h，此外还有许多其他分数台阶也被观测到。

低温环境下，电子间的相互作用变得至关重要。尽管这种相互作用始终存在，但高温时的热涨落会破坏其形成的脆弱集体量子态。然而在极低温下，电子会组成高度关联的多体系统 ——量子流体，对外界扰动的响应表现为一个整体（量子流体具有显著的量子纠缠，这是另一种经典物理中不存在的现象）。

分数量子霍尔效应的其中一种解释同样来自劳夫林。当系统最高朗道能级按特定填充率（如 1/3）部分填充时，系统会稳定在具有最低能量的基态，也就是前文提到的高度关联量子流体。一如从前，我们可以再次用泵浦模型论证：一个周期后，系统的哈密顿量仍会恢复初始值。

但描述系统整体状态的哈密顿量虽复原，由波函数定义的精确量子态却发生了改变——系统进入了与初始不同的基态。若朗道能级填充率为1/3，需要3 个泵浦周期，系统才能回到最初的基态。将这 3 个周期视为整体，原始泵浦论证才依然成立：总共传输整数个电子。

那单个泵浦周期究竟发生了什么？答案是：传输了1/3的分数电荷。既然电子不可分割，它们无法携带分数电荷，因此这种电荷由量子流体的激发态携带。这些激发态的行为有些类似在系统中运动的粒子，这也是它们被称为准粒子的原因。但是，它们并非是像电子一样的独立实体，而是量子流体对电磁场的集体响应而涌现的产物。

霍尔电导仍由单个泵浦周期传输的电荷决定，它的数值此时是一个分数。平台（磁场变化范围内电导保持恒定）的成因与整数量子霍尔效应一致：杂质将低能准粒子局域化，阻止其参与电荷输运。和之前一样，系统同样对小的变化具备鲁棒性：霍尔电导受拓扑保护。

这里所提到的准粒子被称为任意子（anyon），该名字由诺贝尔奖得主弗兰克・维尔切克（Frank Wilczek）提出。它源自单词 “anyone”（意为任何人），暗指任意子不属于两类常规粒子所属类别中的任何一类（即费米子和玻色子）。

量子霍尔效应远不只是一个奇特的物理现象。当磁场强度让霍尔电导处于平台时，系统会表现出全新的物质特性 —— 准确来说，它代表一种物质的拓扑相。这类拓扑相有着惊人的应用前景，比如在量子计算领域。

参考文献:

[1]. von Klitzing, K., Chakraborty, T., Kim, P. et al. 40 years of the quantum Hall effect. Nat Rev Phys 2, 397–401 (2020). https://doi.org/10.1038/s42254-020-0209-1

作者：Marianne Freiberger

翻译：Wonder

审校：姬子隰

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