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“带状一致性”（Ribbon concordance）让数学家通过在四维空间中把结链接起来比较结。

作者：Leila Sloman 2022-5-18 译者：zzllrr小乐 2022-5-18

如果两个结可以与一种四维圆柱体连接，则它们是一致的。

在 1981 年，卡梅隆·戈登（Cameron Gordon）就引入了一种关联两个结的新方法——以单根线或绳子中出现的结为模型的数学结构。在他的论文中，他猜测这种新的关系可以用来根据结的复杂程度来排列结组。

今年冬天，加州大学伯克利分校的数学家Ian Agol发表了一篇六页论文《结的带状一致性是一种偏序》https://arxiv.org/abs/2201.03626 ，证明了 Gordon 的猜想，为数学家提供了一种按复杂度对结排序的新方法。“这篇论文真正令人惊讶的是，它非常短，”马克斯普朗克数学研究所的研究员Arunima Ray说。“其次，它使用的一些工具，比如说，对于这个特定问题来说是不寻常的。”

这个问题的进展一直很缓慢，直到 2019 年，普林斯顿大学的数学家Ian Zemke展示了如何将强大的新方法应用到 1980 年代还不存在的问题上。一年多前，Agol 得知了这个猜想，并于去年秋天晚些时候开始认真研究它。

“这很好，其他人也在考虑这个问题，”德克萨斯大学奥斯汀分校教授Gordon说。“然后，有点出乎意料的是，Ian Agol带着他漂亮的简短、优雅的证明出现了。”

Gordon的猜想是纽结理论中试图组织无限纠缠的纽结宇宙的众多猜想之一。这个项目的核心是观察到你可以通过扭转或滑动绳索来彻底改变绳结的外观。（为了防止数学家简单地解开绳子并随心所欲地重新系上，绳子的末端被合并形成一个封闭的环，就像橡皮筋一样。）给定结的图纸，纽结理论学家试图找出哪些是真正不同的，哪些是对同一对象的不同描述。

“你把[两个结]扔在桌子上，它们可能看起来完全不同，对吧？” Gordon说。“但如果你可以移动一个，让它看起来和另一个完全一样，那么你就说这些结是一样的。”

弄清楚哪些结是等价的是非常困难的。一个简单的环很容易被扭曲和无法识别。两个复杂的结可能表面上看起来是等价的，即使它们实际上不是。

在许多情况下，数学家求助于一个不那么严格的概念，称为一致性（concordance）。一致性涉及将你的三维结放置在四维空间中。当数学家增加一个额外的维度时，纽结的新方法突然出现了。

想想你是如何被局限在二维空间的。你只能向前和向后走，或从一边到另一边（或某种这些组合）。如果你碰巧被一堵巨大的砖墙包围，你会被卡住。但是老鹰没有这个问题。它可以飞到三维空间，所以一堵墙无法容纳它。

同样地，第四维度给了一个结更多的回旋余地——事实上，太多了。任何一个结，无论多么纠缠，都可以在一个四维空间中解开。所以数学家加了一条规则：如果两个结可以通过某种假想圆柱体连接起来，则它们是一致的。

假设你有两个未打结的橡皮筋。现在假设你把一张纸卷成一个圆柱体，并在每一端套上一根橡皮筋。纸筒连接橡皮筋。

但是，如果你将其中一根橡皮筋换成在制造过程中已经不可挽回地打结的有缺陷的橡皮筋，你就会遇到困难。一个边缘与这个缠结的橡皮筋相匹配的圆柱体将不可避免地在某个点穿过它自己。用数学语言来说，它不会“光滑”。但是，如果你将圆柱体移动到四个维度，则可以光滑进行。当两个结在四维空间中可以通过一个光滑的圆柱体连接时，它们是一致的。

四十年前，Gordon提出了一种基于一致性比较两个结的复杂性的方法。为此，他必须对圆柱体再施加一项限制。通常情况下，数学家允许自己采取一些看似有问题的举动来使事情变得更容易，例如把环夹断或附加额外的环。Gordon 的改进，他称之为带状一致性，不允许你添加额外的环。

这种限制有一个重要的后果：与常规一致性不同，带状一致性不一定是双向的。如果你有两个结，你可能有一个带状一致性，可以将第一个结转换为第二个结，但反之则不行。

Gordon 认为这个属性可以用来对结进行排序。如果你需要在第二个结上添加环以便将其转换为第一个结，那么它实际上是一个不太复杂的结。这会创建任何一组在它们之间具有带状一致性的结的排序。

为了证明带状一致性具有我们期望的排序的关键属性，数学家必须证明三件事。前两个很明显，Gordon在他的原始论文中指出了它们。为了完成证明，Agol 需要证明如果两个结都相互带状一致，那么它们必须相等。

一天深夜，在Agol开始研究这个问题后不久，他灵光一现。这个猜想与他最近在数学讨论网站 MathOverflow 上发布的答案之间存在联系。“[有人]问了这个问题，我碰巧知道回答这个问题的工具，”Agol说。“然后我意识到这可能与这个问题有关。”

第二天，Agol感到更加悲观。“很多时候你认为你已经解决了一些问题，你会兴奋一天，直到你发现一些错误，”他说。这里看起来像是特别危险，因为 Agol 对该领域来说是一个局外人。他通常研究三维空间中的对象，而不是四维。但同事们认为，Agol的新视角可能对他有利。“很多数学家都非常孤立，”北卡罗来纳州立大学教授Tye Lidman说。“我认为Ian做得非常好的一件事是他四处走动，看看几乎每个领域都在发生什么，并且对每个领域都了如指掌。”

最后，Agol 没有使用任何导致该问题迅速流行的现代技术。相反，他使用已经存在了数十年的想法研究了对有关结的信息进行编码的方程组。

Gordon 对解决方案的简单性感到惊讶。

“他使用的技术，真的可以在我写论文的时候得到证明。所以这让它变得更加有趣，”他说。