代数学的进展——数系的扩展、群论的诞生
近世代数，如同古典代数那样，是关于运算的理论，但它不把自己局限于研究数的运算的性质上，而是研究更具有一般性的元素上运算的性质，在19世纪前，数学家对于数系的认识已经形成了自然数、整数、有理数、实数和复数五大数系。进入了19世纪，数的理论的研究取得重大进展，对于五大数系的逻辑结构与性质的研究，建立起了严格的理论；同时数系的扩展使得代数学得到了解放，为各种新的代数系统的出现提供了基础。
1830年，皮科克(1791-1858，英国）著《代数论》，对代数运算和基本法则进行了探索性研究，试图对代数学作类似于欧几里得几何学那样的逻辑处理，以演绎方式建立代数理论。后来，德.摩根(1806-1871，英国）等推进了皮科克的工作。德.摩根认为：代数学实际上是一系列"运算"，这种"运算"能在任何符号(不一定是数字）的集合上根据一定的公理进行。这新的数学思想使得代数学得以脱离了算术的束缚，在那里，可以看到代数结构概念出现的踪迹，以及为建立代数公理系统所作的准备，为代数学中更抽象的思想铺平了道路。
1837年，哈密顿(1805-1865，英国）发表了题为《共轭函数与作为纯粹时间的科学的代数》的论文，在这篇论文中将复数a＋bi看作实数序对(a，b)而克服了对复数对几何直观的依赖，用实数序对定义复数的运算，并且说明复数满足实数的运算规律。这样，实数a被看作特殊的复数(a，0)，从而完成了数系从实数向复数的扩展，在实数基础上建立起了复数理论的逻辑基础。哈密顿的这一工作对于后来的代数学发展具有重要的意义。它揭示了数的概念有不同维数的差别，实数是一维的，复数是二维的，而且引导创造多维复数的方向。
五大数系的乘法运算都满足结合律与交换律。在19世纪早期，人们毫不怀疑地认为一切其它类型的数的乘法都应具有这些性质。1843年，哈密顿提出了四元数概念，于是一种乘法交换律不成立的数系诞生了。后来，哈密顿在其论著《四元数讲义》(1853年）和《四元数基础》(1866年）中对四元数作了进一步论述。一个四元数是一个有序四元数组(a，b，C，d)，或具有a＋bi＋Cj＋dk的形式，其中a，b，c，d都是实数，i，j，k与复数中i一样是基本单元。四元数中的a称为四元数的数量部分，bi＋cj＋dk称为四元数的向量部分。哈密顿还建立了四元数的运算法则，其中四元数的加减法运算与复数相应运算类似，在乘法运算中基本单元的运算如下：
i↑2＝j↑2＝k↑2＝1，
jk＝-kj＝i，
ki＝-ik＝j，
ij＝-ji＝k。
四元数的乘法满足结合律，但乘法没有交换性。一种不满足乘法交换律的数学对象的提出，或者说一种非交换的代数结构的发现，是一次重要的代数创造，它打破了对于"数"所必须遵循的规则的古老信念，四元数理论的建立，对代数学的影响是深远的，它为向量代数、向量分析以及结合代数理论的发展打开了大门。
1844年，格拉斯曼(1809-1877，德国）发表了独创性著作《线性扩张理论》，建立了有n个分量的超复数系理论。超复数比四元数更具有一般性，格拉斯曼考虑的是一个n元有序实数组(x1，x2，…，xn）或写成x1e1＋x2e2＋…＋xnen的形式，其中e1，e2，…，en是基本单元，两个这样的超复数可以定义相等、相加和相乘等运算与关系。但允许有不同的乘法，如格拉斯曼还为这种超复数引进了称为内积与外积的两种乘法运算。在这里，对于不同的乘法定义就可以创造不同的代数，这正是格拉斯曼扩张工作的重要性所在。
哈密顿、格拉斯曼等的开创性工作，提出的不同于普通代数的新的代数思想，导致了代数学的解放，促进了各种新的代数结构的产生和发展，从而打开了通向抽象代数的大门。
群是具有一种运算的抽象代数结构，它是现代数学中最为重要的概念之一。群论在许多学科领域有着广泛的应用，起着积极的作用。群的概念起源于解高次方程，虽然在拉格朗日(1736-1813，法国）、高斯、鲁菲尼(1765-1882，法国）和阿贝尔(1802-1829，挪威）等的研究工作中已蕴涵了群论的萌芽和一些结果，但是群论公认的创立者是伽罗瓦(1811-1832，法国）。
伽罗瓦在世时只发表了几篇数学论文。1829年，伽罗瓦将两篇关于代数方程可解性的论文呈送法国巴黎科学院，不幸遗失了。1831年，在泊松(1768-1840，法国）的建议下，伽罗瓦写了一篇题为《关于根式解方程的可解性条件》的论文，但是泊松认为这篇论文"不可理解"而被退回。1832年，在伽罗瓦决斗致死的前夕，他整理了他的数学手稿，概述了他得到的主要研究成果，托交给他的一位朋友，这份数学遗稿后来被保存下来了，内容实际上包含了关于群论和方程的伽罗瓦理论。但是，在当时人们并不理解伽罗瓦的工作。
在伽罗瓦死后14年，即1846年，由刘维尔(1809-1882，法国）在《纯粹与应用数学杂志》上编辑发表了伽罗瓦的部分论文之后，伽罗瓦的工作才逐渐引起人们的注意。1852年，贝蒂(1823-1892，意大利）发表了介绍伽罗瓦理论的文章。1866年，塞雷特(1819-1885，法国）在他的《高等代数教程》一书(第3版）中将伽罗瓦理论以教科书的方式作了叙述，同时给出了一些新的结果。1870年，若尔当(1833-1922，法国）在其名著《置换和代数方程论》中给出了伽罗瓦理论的第一次全面清楚的论述。伽罗瓦深入研究的是代数问题，他最主要的成就是：提出并论证了代数方程可用根式解的普遍的判别准则，彻底解决了代数方程根式可解性问题，从概念和方法上为最基本的一种代数结构——群论奠定了基础。关于用群论方法研究代数方程的解的理论，为了纪念伽罗瓦，后来称之为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论对于近代数学的发展起了深远的影响，在伽罗瓦的短暂一生中，他为数学注入了新的思想，将数学引向新的轨道。后来，在群论的领域由凯莱、戴德金(1831-1916，德国）与李(1842-1899，挪威）等继续工作，这些工作不仅扩展了群论，而且将它应用于各个领域，如在几何学中群论起到了统一分类的作用。群的概念在代数中作为一个综合的基本结构，是抽象代数在20世纪兴起的重要因素。
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