三道数学题，海军上将也会算错|原题|数学题|无赖|算式|约翰尼

有个挺有意思的事：数学圈里有个叫Tanya Khovanova的人，她运营着一个叫Number Gossip的网站——你随便输个数字进去，她能告诉你关于这个数字的各种冷知识。最近她和两个合作者出了本书，里面塞满了各种新老谜题。我挑了三道出来，第一道据说连海军上将都容易踩坑。

先别急着翻答案，咱们一道一道来。

第一题：两艘船还是一艘船？

假设你是海军上将，手头有个重要任务。两个方案摆在你面前：

方案A：派一艘船，成功率是P%。

方案B：派两艘船，每艘成功率是P/2%。只要有一艘成功，任务就算成功。

选哪个？

直觉上很多人会选A——"集中力量办大事"嘛。两艘船各自成功率砍半，听起来就弱。但数学这东西，直觉往往是用来被打破的。

来算一下。方案A的成功概率就是P%。

方案B呢？两艘船都失败的概率是(1-P/200%)²，所以至少一艘成功的概率是1减去这个数。展开算：1 - (1 - P/100 + P²/40000) = P/100 - P²/40000。

等等，这不对。让我重新理：如果P是百分比数值，比如P=80，那么单船成功率0.8，双船各0.4。双船都失败的概率是0.6×0.6=0.36，所以至少一艘成功的概率是0.64。而单船是0.8。

哦，原来如此——当P>某个值时，单船更好；P<某个值时，双船更好。临界点在哪？解方程P = 2×(P/2) - (P/2)²，也就是P = P - P²/4，得P²/4=0……不对，我应该用正确公式。

设单船成功率p（小数），双船各p/2。单船成功概率=p。双船至少一艘成功=1-(1-p/2)² = p - p²/4。比较p和p-p²/4，显然p更大（因为p²/4>0）。

所以单船总是更好？这和"海军上将也会错"的设定矛盾啊。除非……题目理解有误？

再读一遍："each of whose chance of success is P/2 per cent"。如果P=80，单船80%，双船各40%。那确实单船更稳。但也许题目的陷阱是——很多人以为双船"加起来"是P%，而实际上概率不是这么算的？

或者，可能我算反了？再检查：当P很小时，比如P=10%，单船10%，双船各5%，双船至少一艘成功≈9.75%，还是单船略好。但差距很小。当P=100%，单船100%，双船各50%，双船至少一艘成功75%。

所以结论确实是：单船总是不劣于双船，P=100%时严格优于。那"海军上将"错在哪？可能错在以为两艘船的成功概率"加起来"是P%，即误以为40%+40%=80%，和单船一样，而忽略了"至少一艘"的正确计算？

这道题的价值就在这里：它暴露了我们大脑对概率的天然误解。

第二题：两个神谕，怎么分辨？

你面前站着两位神谕者：Randie和Rando。

Randie完全随机回答，是或否各占50%，不管问题是什么。

Rando每道题先随机决定说真话还是说谎，然后按这个规则回答。

关键区别：Randie的回答和问题的真假无关；Rando的回答虽然也可能随机，但内部有个"真话/谎言"的开关在起作用。

能区分他们吗？

这道题让我想起经典的"骑士与无赖"谜题，但有个 twist——Rando不是固定说真话或说谎，而是每道题随机切换。这让他看起来也很随机。

但仔细看：Rando有个内部状态（决定说真/谎），然后据此回答。Randie没有内部状态，直接抛硬币。

经典解法是问一个自指问题，比如"你会对'你是Randie吗'这个问题回答'是'吗？"但对Rando来说，这题太复杂，因为他要先决定说真/谎，再计算答案。

其实有个更干净的思路。问："你是Randie吗？"

Randie：随机回答"是"或"否"，各50%。

Rando：如果决定说真话，回答"否"；如果决定说谎，也回答"否"（因为真实答案是"我不是Randie"，说谎就变成"我是Randie"即"是"？等等，让我理清楚）。

实际上Rando的身份是固定的（他是Rando），所以"你是Randie吗"的真实答案是"否"。说真话时答"否"，说谎时答"是"。所以Rando50%概率答"是"，50%答"否"。

和Randie一样。这招不行。

那问个关于对方的问题？或者问个数学问题？

换个角度：Rando的回答虽然随机，但有个特性——他对同一个事实的两次回答可能矛盾（一次真一次假）。而Randie的回答完全独立，两次回答之间没有"一致性"约束。

但只问一个问题的话……

其实有解。问："如果我问你'你是Randie吗'，你会回答'是'吗？"

对Randie：还是随机，50-50。

对Rando：这是个嵌套问题。设真实身份是Rando，所以"你是Randie吗"=假。如果外层决定说真话：他会如实报告自己对内层问题的回答。内层问题"你是Randie吗"，真实答案"否"，如果内层说真话答"否"，如果内层说谎答"是"。但Rando每层独立随机决定真/谎……这太乱了。

或许该用更简单的问法。问："1+1=2吗？"

Randie：50-50随机。

Rando：真实答案是"是"。说真话时答"是"，说谎时答"否"。还是50-50。

看来需要利用Rando的"结构"——他的回答基于某个真实值，而Randie没有。但单次提问怎么捕捉这个区别？

答案是：问一个Rando无法回答的问题？不，题目说他们会回答任何问题。

其实关键在"决定说真话还是说谎"这个机制。Rando的回答概率分布和Randie相同，但条件概率不同。比如，给定真实答案是"是"，Rando回答"是"的概率是50%（说真话时）；Randie也是50%。看起来没区别。

我卡住了。这道题比看起来难，可能需要一个巧妙的自指构造。

第三题：约翰尼的"巧合"

约翰尼做作业，算5548-5489=59。他发现：中间的548好像抵消了，剩下59。

他试了另一个形式：XXYZ - XYZW，其中X,Y,Z,W是不同的数字，结果确实是XW（比如5548-5489=59，X=5,W=9）。

问：这个新算式里，有多少个数字和原来的5548-5489=59相同？（即X=5？Y=4？Z=8？W=9？）

这道题是纯粹的数字游戏。设XXYZ = 1100X + 10Y + Z，XYZW = 100X + 10Y + Z，等等不对，XYZW是四位数，应该是1000X + 100Y + 10Z + W。

XXYZ = 1000X + 100X + 10Y + Z = 1100X + 10Y + Z

XYZW = 1000X + 100Y + 10Z + W

差值 = 1100X + 10Y + Z - 1000X - 100Y - 10Z - W = 100X - 90Y - 9Z - W

这等于XW，即10X + W。

所以100X - 90Y - 9Z - W = 10X + W

90X - 90Y - 9Z = 2W

9(10X - 10Y - Z) = 2W

左边是9的倍数，所以2W是9的倍数，W=0或W=9（因为W是个位数）。但W=0时左边=0，需要10X=10Y+Z，X,Y,Z不同，可能但需验证。W=9时，左边=18，10X-10Y-Z=2。

原题5548-5489=59，W=9，验证：10×5 - 10×4 - 8 = 50-40-8=2，对。

所以W必须是9（或0，但0的话结果XW=X0，比如50，而原题是59）。

因此W=9，和原题一样。X呢？10X-10Y-Z=2，有很多解。原题X=5,Y=4,Z=8。新算式X,Y,Z,W都不同，所以X≠5,Y≠4,Z≠8,W≠9？不，W=9固定，所以W和原题一样。X,Y,Z要不同，且和原题的5,4,8也不同？题目说"distinct digits"指X,Y,Z,W互不相同，没说和原题不同。

但问题是"新算式有多少数字和原算式相同"。原算式数字：5,5,4,8,5,4,8,9,5,9即5,4,8,9。新算式：X,X,Y,Z,X,Y,Z,W,X,W。数字是X,Y,Z,W。

W=9，和原题一样。X,Y,Z需要满足10X-10Y-Z=2，且X,Y,Z,W=9互不相同。

可能组合：X=3,Y=2,Z=8？30-20-8=2，但Z=8和原题Z=8重复。X=4,Y=3,Z=8？40-30-8=2，X=4,Y=3,Z=8，但Z=8重复。X=2,Y=1,Z=8？重复。X=6,Y=5,Z=8？60-50-8=2，Y=5和原题X=5重复（但X,Y,Z,W是位置，数字5出现）。

实际上"相同"指数字值相同。原题出现的数字：5,4,8,9。新题X,Y,Z,W=9，所以W=9相同。如果X=5，相同；Y=4，相同；Z=8，相同。

找10X-10Y-Z=2，X,Y,Z∈{0-8}（不等于9），互不相同，且尽量不和5,4,8重复。

X=3,Y=0,Z=8？Z=8重复。X=7,Y=6,Z=8？重复。X=1,Y=0,Z=8？重复。看来Z=8很难避免？

10X-10Y-Z=2，Z=10(X-Y)-2，所以Z的个位是8（因为10k-2的个位是8）。所以Z必须是8！

因此Z=8，和原题一样。W=9，和原题一样。X和Y呢？10(X-Y)=10，所以X-Y=1。X=Y+1，且X,Y≠8,9，互不相同。

原题X=5,Y=4。新题可以是X=6,Y=5？但Y=5和原题X=5数字相同。X=7,Y=6？7,6,8,9，和原题5,4,8,9比，8和9相同。X=2,Y=1？2,1,8,9，8和9相同。X=3,Y=2？3,2,8,9，8和9相同。

无论如何，Z=8和W=9是固定的，和原题相同。X和Y可以选不等于5,4的新组合，比如X=7,Y=6，则数字7,6,8,9，与原题相同的：8,9，共2个。

或者X=5,Y=4，则四个都相同。但题目说"distinct digits"，原题5548中5重复了，但X,X,Y,Z里X重复，所以"distinct"可能指X,Y,Z,W四个值不同，这是满足的。

但题目问"how many of the digits"，可能是问数字值相同的个数。如果新算式是6658-6589=69，数字是6,6,5,8,6,5,8,9,6,9，即6,5,8,9，与原题的5,4,8,9相比，5,8,9相同，6不同。所以3个相同。