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贝叶斯与经验贝叶斯自助法

Bayesian and Empirical Bayesian Bootstrapping

https://arxiv.org/pdf/2605.11677

我们的结果为经典的 Efron 自助法提供了贝叶斯支持。它是非信息参考先验下的贝叶斯自助法；它是对优良贝叶斯解的自然逼近的极限；它是对一种自然经验贝叶斯策略的逼近；而且，将自助法直方图形式上错误地解读为参数的后验分布，终究也没那么错误。

关键词和短语： 贝叶斯自助法（BAYESIAN BOOTSTRAP），贝塔过程和狄利克雷过程（BETA AND DIRICHLET PROCESSES），置信区间（CONFIDENCE INTERVALS），经验贝叶斯（EMPIRICAL BAYES），五位（至少）统计学家（FIVE (AT LEAST) STATISTICIANS），半参数贝叶斯回归（SEMIPARAMETRIC BAYESIAN REGRESSION）

其他贝叶斯后验计算也可以以同样的相对容易程度进行，例如使用非二次损失函数计算贝叶斯估计。

第 4 节给出了 BB 的两种贝叶斯偏差校正方法。第 5 节展示了 BB 方法在几个参数上的应用。第 6 节简要讨论了关于如何在先验狄利克雷过程中选择参数的一些建议，从而开启了自助法的经验贝叶斯版本。特别是 Rubin 方法（Efron 方法是其 BB 近似），可以被视为一种自然的经验贝叶斯策略。第 7 节介绍了用于半参数回归的 BB，其中残差分布被赋予了一个狄利克雷先验。这特别引出了一个有趣的频率学派自助法方案建议。在第 8 节中，我们稍微偏离主线，报告了对针对删失数据和风险率模型的自助法方案的简要研究。最后，第 9 节做了几点补充说明。

2. 贝叶斯自助法。 本节阐述了贝叶斯自助法方法 (1.5)–(1.9) 的动机，并解释了为什么可以预期它有效。然后评论了与 Efron (1979, 1982) 的传统自助法以及 Rubin (1981) 的退化先验贝叶斯自助法的联系。

对于经典自助法，有比百分位数法更好的置信区间方法，但那些更复杂的版本（结合了偏差和加速度校正）在简单版本的一阶大样本意义上仍然是等价的。对 BB 百分位数区间的校正出现在下面的第 4 节。还应该注意，经典自助法除了构建置信区间外还有其他几种用途，比如估计复杂估计量的方差。BB 方案也足够通用以处理此类问题，但通常也需要一个内部自助循环。

5. 一些精确计算。 本节简要考察了 BB 近似方法在两种可以进行精确计算的情形下的性质。

所有这些矩方法都应谨慎且明智地使用。这里的矩公式已使用 Ferguson (1973) 和 Hjort (1976) 中的方法得到证明。

8. 风险率模型中的自助法方案。 前面几节的方法和结果在多大程度上可以推广到含有删失数据的情形，以及更一般的生存数据分析模型？本节稍微偏离文章的其余部分，报告了对针对此类问题的频率学派和贝叶斯自助法方案的简要调查，在这种情况下，将注意力从累积分布函数（c.d.f.）转移到累积风险率（c.h.r.）是很自然的。