问大家一个老生常谈但总吵翻天的问题：无限循环小数0.999......和整数1，到底谁更大？
不绕弯子，先给答案：两者根本不存在大小之分，因为它们本来就是同一个数，当然一样大！
但我敢保证，看到这个答案，肯定有人要抬杠，尤其是那些还在用小学、初中数学思维看问题的小伙伴，大概率会拍着桌子说：“你扯什么呢？1明明就比0.999......大一点点，哪怕那一点点无限小，也是大啊！”
其实这真不能怪大家，毕竟我们从小接触的数字，都是有限的、实实在在的，比如0.9、0.99、0.999，这些数确实都比1小，差的就是最后那一点点。
但问题在于，0.999......后面的9是无限循环的，永远没有尽头，这就和我们平时接触的有限小数，有了本质的区别。
咱们分层次来讲，看看不同数学水平的人，对这个问题的理解到底有啥不一样，你也可以对号入座，看看自己属于哪一层。
如果你只有小学或者初中数学水平，大概率会认为1更大。
为啥？
很简单，你会下意识地拿有限的小数去类比无限循环小数。
比如你会想，0.9比1小0.1，0.99比1小0.01，0.999比1小0.001，不管后面加多少个9，总会比1小那么一点点，哪怕那一点点越来越小，趋近于0，但永远不会等于0。
这种想法很正常，毕竟我们在小学、初中阶段，接触的都是有限的数字，还没有真正理解“无限”这个概念的含义，用有限的思维去衡量无限的事物，自然会得出这样的结论。
如果你有高中数学水平，大概率会认为两者一样大，而且还能给出简单的证明。高中数学里，我们开始接触无限循环小数、极限的初步概念，这时候就能用一些简单的方法，证明0.999......等于1。最经典、最容易理解的方法，其实小学老师就间接教过我们，只是那时候我们没往深了想。
小学课上，老师经常跟我们说，1/3等于0.333......，相信很多人都接受这个结论，毕竟用除法算一下，1除以3，确实是无限循环的0.333......。那既然1/3=0.333......，我们把这个等式的两边都乘以3，左边就是1/3×3=1，右边就是0.333......×3=0.999......，这么一换算，答案就非常明了了，0.999......=1。
如果你觉得这个证明不够严谨，再来一个更直接、更有说服力的方法，这也是高中数学里常用的证明思路。
我们设0.999......=x，很明显，0.999......乘以10，就是9.999......，也就是10x=9.999......。接下来，我们用后面的等式减去前面的等式，也就是10x - x = 9.999...... - 0.999......，左边算出来是9x，右边呢？因为小数点后面都是无限个9，减去之后全部抵消，剩下的就是9，所以9x=9，两边同时除以9，就能得出x=1，也就是说，0.999......=1。
到这里，很多人应该就能接受两者相等的结论了，但总有那么一些“杠精”，无论如何都不能接受，他们会找出各种理由来反驳，最常见的一个质疑就是：“9.999......和0.999......相比，小数点后面少了一个9，怎么可能相等？”
碰到这种情况，我只能说，神来了也救不了你，因为无限循环的意思就是，小数点后面的9永远写不完，没有尽头。你根本没法去数“到底有多少个9”，更没法说“9.999......比0.999......少一个9”。既然都是无限个9，怎么可能有“多一个”“少一个”的说法？这就好比你说“无限多的苹果，比无限多的橘子多一个”，本身就是一个没有意义的说法。
还有人会这样质疑：“1比0.999......大了0.000......1，这看起来明明很有道理啊！”
其实这种说法，更是毫无道理，因为所谓的0.000......1，根本就不存在这样的数。
大家仔细想想，既然小数点后面有无限个0，最后又加了一个1，那就说明，小数点后面的0并不是无限多个，不管有多少个0，只要最后有一个1，那就是有限个0，根本不是无限循环的概念。说白了，这个所谓的0.000......1，本身就是一个自相矛盾的存在，根本不符合无限循环的定义，自然也就不能用来证明1比0.999......大。
其实总结一下就很明显了：所有认为0.999......和1不相等的小伙伴，本质上都是在用有限的思维方式，去衡量无限的概念。这也不能怪大家，毕竟“无限”这个概念，在人类数学史上，曾经给人们造成了巨大的困惑，甚至引发了三次数学危机，直到今天，还有很多人无法真正理解无限的含义。
咱们举几个简单的例子，帮大家打破有限思维的局限，更好地理解无限的概念。第一个例子，就是大家可能都听过的：“自然数和偶数哪个多？”
很多人看到这个问题，第一反应就是“肯定自然数多啊”，因为自然数包括奇数和偶数，是整体和局部的关系，整体怎么可能不比局部多？但实际上，自然数和偶数一样多，因为自然数和偶数能够做到一一对应。
你随便找一个自然数，我都能找到一个偶数和它对应：你说1，我对应2；你说2，我对应4；你说3，我对应6；你说1000，我对应2000；哪怕你说一个无限大的自然数，我也能找到一个对应的偶数。既然能一一对应，那就说明两者的数量是一样多的，没有谁多谁少。
很多人潜意识里很难接受这个事实，究其原因，还是因为我们习惯了用有限的思维去衡量无限的事物。在有限的范围内，比如1到100，自然数有100个，偶数有50个，确实是自然数多；但放到无限的范围内，这种有限范围内的规律，就不再适用了。无限的世界里，没有“整体比局部多”的说法，一一对应，才是判断两个无限集合数量是否相等的标准。
再给大家讲一个相对高深一点的例子，可能有点难，但很有意思：实数是由有理数和无理数组成的，有理数和无理数都有无穷多个，你觉得有理数和无理数谁多呢？
答案可能会出乎很多人的意料：无理数更多，而且比有理数多得多！
多到什么程度呢？
有理数的数量在无理数面前，简直就是“沧海一粟”，不值一提。可以这么通俗地理解：如果说有理数的数量是“无限”，那么无理数的数量就是“无限的无限”，两者根本不是一个量级的。
可能有人会问，都是无穷多个，怎么还会有多少之分呢？这就要用到一个专业术语——“势”，简单来说，“势”就是用来衡量无限集合大小的概念，不同的无限集合，“势”是不一样的，有的大，有的小。有理数的“势”，要远远小于无理数的“势”，所以无理数比有理数多得多。
咱们再用一个通俗的比喻，帮大家理解这个概念。
有理数和无理数在数轴上表示出来，都是稠密的，也就是说，它们都是紧挨在一起的，没有缝隙。但无理数比有理数更稠密，稠密到什么程度呢？
打个比方，假设我们有100个人，分别代表100个有理数，这100个人紧挨在一起站成一排，彼此之间没有任何缝隙，这看起来已经够稠密了吧？但不管这100个人之间有多稠密，我们都能在他们之间，塞进无数个无理数。你可以把无理数通俗地理解为“看不见的鬼”，不管两个人挨得有多紧，哪怕是脸贴脸，都能塞进无数个“鬼”，而且永远塞不完。
有人可能会觉得不可思议：100个人都已经站得没有缝隙了，怎么还能塞进无数个无理数呢？其实这就是无限的神奇之处，它超出了我们的日常认知，超出了我们有限思维的范围。就像0.999......和1，我们总觉得它们之间有缝隙，有差距，但实际上，它们之间没有任何缝隙，根本就是同一个数。
其实无限的概念，不仅在数学里很重要，对我们理解宇宙，也有很大的帮助。很多人都认为宇宙是无限大的，但每每想到无限大的宇宙到底是怎样一种存在状态，就会感到非常困惑，甚至头疼。
之所以会产生这种困惑，本质上和我们困惑于0.999......和1的大小一样，都是因为无限的概念，超出了人类大脑能感知、能理解的范围。
我们平时看到的任何事物，都是有限的：桌子有大小，房子有大小，地球有大小，哪怕是我们能看到的宇宙，也是有限的范围。我们在有限的世界里感知到的真理，一旦遇到无限，就会显得无能为力，甚至完全失效。
很多人接受宇宙是无限的这个观点，但一想到“无限大”到底是多大，就会下意识地去想象一个“巨大的空间”，里面装满了星星、星系。但实际上，当我们这样想的时候，就注定不会有结果，因为我们其实一直在用有限的思维，去衡量无限的宇宙。无限大的宇宙，并不是“很大很大的有限空间”，而是没有边界、没有尽头，永远无法被我们完全感知和理解的存在，就像0.999......后面的9，永远没有尽头一样。
最后，给大家留一个有关无限的数学小问题，算是一个小考验，也算是一个思考题：在数轴上随便砍一刀（假设这把刀没有厚度），砍到有理数的概率是多少？
答案可能会出乎你的意料：0！
看到这个答案，很多人肯定又要抬杠了：“不可能啊！数轴上有无数个有理数，怎么可能砍到的概率是0？”其实这就是无限世界的神奇之处：概率为零的事件，也有可能发生！
这句话听起来很矛盾，但其实并不矛盾。简单来说，就是因为有理数的数量，在无理数面前实在是太少了，少到可以忽略不计，所以砍到有理数的概率，就无限趋近于0，最终等于0。但概率为0，并不代表不可能发生。就像我们在数轴上，确实能找到有理数的点，只是找到的概率，无限接近于0而已。
至于为什么概率为零的事件也能发生，这里就不详细展开了，留给大家去思考。如果你能想明白这个问题，说明你对无限的概念，已经有了更深的理解；如果想不明白，也没关系，毕竟多数人其实都想不明白，数学专业的人毕竟是少数，不用太为难自己。
热门跟贴