两位研究者彼得・舒尔茨（Peter Scholze）与达斯汀・克劳森（Dustin Clausen）正从底层重建数学大厦——译自量子杂志Quanta M...|克拉克|庞加莱|彼得・舒尔茨|拓扑学|数学|达斯汀・克劳森|量子杂志

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通过替换拓扑学中最基础的概念，彼得・舒尔茨（Peter Scholze）与达斯汀・克劳森（Dustin Clausen）迈出了宏大计划的第一步，从根本上解释数字为何呈现出这般性质。

图源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

作者：Konstantin Kakaes（量子杂志作家）2026-5-20

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-23

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我们先从数学界最老生常谈、被用滥的笑话说起：拓扑学家是分不清咖啡杯和甜甜圈的人。你看，两者都有一个孔洞。

拓扑学通常被描述为一种 “橡皮膜” 几何，在这种几何中，如果一个形状可以在不撕裂的情况下拉伸或压缩成另一个形状，二者就被视为相同。但这种概括遗漏了关键的一点：拓扑学家，以及大量依赖拓扑方法的其他数学家，是如何严谨地刻画所有这些拉伸变换的？他们不会盯着甜甜圈和咖啡杯眯起眼睛，然后心想：“我凭直觉就能看出怎么把一个捏成另一个，所以它们肯定是一样的。” 恰恰相反，他们用一种可以 “忽略” 距离、同时灵活保留底层结构的方式描述形状，允许其弯曲与拉伸。

这些 “拓扑空间” 在100多年前被提出时，在逻辑学与集合论的革命中扮演了核心角色，这场革命划定了19世纪数学与现代数学的界限。它们的诞生是数学从日常生活中的数字与形状，迈向愈发抽象的思想深处的关键一站。此后，拓扑空间成为数学庞大体系的基础。如果把数学比作摩天大楼，拓扑空间就是深深扎入常识基岩的混凝土桩基，整座数学大厦最终都建立在其上。

但令人不安的是，拓扑空间被证明极不适合现代数学的一大分支：在拓扑空间中做代数运算非常别扭，而代数恰恰是数学家很喜欢研究的内容。

多年来，数学家认为自己只能忍受拓扑空间的局限。就像你在摩天大楼的87层工作时，修缮地下底层的地基是一件令人畏惧的事。

彼得・舒尔茨更倾向于提出新定义，而非寻找新证明。正如他所说，他在 “尝试为现存的事物命名”。

图源：Barbara Frommann / 波恩大学豪斯多夫数学中心

但在过去十年中，波恩马普研究所的彼得・舒尔兹与法国高等科学研究院的达斯汀・克劳森致力于替换拓扑空间。他们定义了一类新的数学对象，名为凝聚集（condensed sets），这类对象形似无限细密的尘埃，保留了拓扑空间所有优良性质，同时规避了缺陷。事实证明，尘埃是比拓扑空间那种颗粒状、易于理解的基底更好的基础材料。

“他们解决了一个我们从未意识到自己存在的问题，”斯坦福大学数学家、AMS美国数学会主席拉维・瓦基尔（Ravi Vakil）说，“因为我们已经有了自认为合理的解决方案。” 结果就是，“一整块数学领域变得简洁得多。”

这是一项雄心勃勃的工程。舒尔茨与克劳森提出的新定义与概念威力强大，但也复杂难懂。舒尔茨本人也不确定它们会得到多广泛的应用。但另一方面，他将其视作一个更宏大计划的第一步，这个计划的目的是解释数字为何呈现出这般性质。

做数学有点像攀岩：正如攀登陡峭岩壁的路线可以兼具创造性，甚至在技术动作编排上展现优雅感，证明也是如此。两者都是在既有地形上穿行。大多数研究 —— 甚至一些最顶尖的研究 —— 都是为已知的高峰寻找新路线。但在数学中，工具与地形之间存在一种奇妙的关系，就好像发明一种新型冰镐会让此前不为人知的山脉浮现。当这些新山脉出现在地平线时，曾经看似陡峭险峻的旧山开始变得像平缓的丘陵。

达斯汀・克劳森与舒尔茨一道，在过去十年中开发了一套全新的数学框架。他们的 “凝聚数学” 已经在帮助连接拓扑学、范畴论、代数与其他领域。

图源：Christophe Peus / IHES法国高等科学研究院

开发这些新工具需要一种革命者般的自信 —— 尤其是当这需要摒弃学界沿用已久、仿佛已成为山脉本身一部分的工具时。

无法回头的节点

即便没有合适的语言，人们也可能发现强大的数学真理。

也就是说，拓扑学的出现早于拓扑空间。早在1735年，莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler）就证明，不可能一次性不重复地走完他所居住的柯尼斯堡城的七座桥。这是一个典型的拓扑学结论 —— 城市中每块陆地的大小、桥梁的长度都无关紧要，重要的只是它们之间的连接模式。

在近200年里，拓扑学的研究断断续续。19世纪中叶，奥古斯特・费迪南德・莫比乌斯（August Ferdinand Möbius）分析了以他名字命名的莫比乌斯带：一条丝带扭转一次后首尾相接。它可以说是现实世界中具备实用价值的最奇特拓扑对象 —— 例如用于单面传送带，能让机器运转时磨损均匀。大约同一时期，莫比乌斯开始引入该领域的一些核心思想，比如如何通过在形状上绘制环路来分类不同孔洞数的形状。

此后不久，伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann）、亨利・庞加莱（Henri Poincaré）等人取得了进一步进展。但他们因缺乏合适的语言而举步维艰。正如澳大利亚数学家约翰・斯蒂尔韦尔（John Stillwell）在 2009 年评价庞加莱在拓扑学中的开创性工作时所写https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/poincare2009.pdf ：“伴随着巨大的突破，也伴随着困惑。” 庞加莱拥有想法，却缺乏恰当的词汇来表达。

在外人看来，与拓扑学最接近的数学分支似乎应该是几何学。拓扑学看起来就是几何学，只不过对象是柔性的而非刚性的。但庞加莱困惑的解决方案并非来自几何学，而是来自一个新兴的逻辑学分支 —— 集合论。

奠定现代拓扑学基础的德国数学家费利克斯・豪斯多夫（Felix Hausdorff），同时也是诗人、哲学家与剧作家。

图源：公有领域

20世纪初，研究者们试图将数学建立在更坚实的基础上。他们刚刚意识到自己对数字的日常直觉完全错误；如今他们正激烈辩论，应该以哪些公理 —— 即显而易见的真理 —— 作为理论的基石（详情参阅）。对最基础假设的表述看似微小的差异，都会对哪些命题可证、哪些不可证产生重大影响。

他们用集合论来梳理这些关于数学基础的争论。1912年，刚开始在波恩大学任教的费利克斯・豪斯多夫 —— 数十年后舒尔茨也来到这里 —— 着手撰写第一部集合论系统性著作。当时，45岁左右的豪斯多夫已是一位颇有成就的作家：他以保罗・蒙格雷（Paul Mongré）为笔名出版了一部诗集、两本试图调和尼采与康德思想的哲学著作，以及一部在40座城市上演的戏剧。作为数学家，他成绩斐然，但尚未成为顶尖巨星。

1914年《集合论基础》一书出版后，一切都改变了。在书中，他首次给出了拓扑空间的定义。拓扑空间就是一组被归为豪斯多夫所称邻域的元素集合 —— 如今称为开集（open sets）。开集为空间赋予了结构。

开集只需满足两个条件。

第一，任意多个开集的并集仍为开集。（如果布鲁克林构成一个邻域，皇后区构成一个邻域，那么布鲁克林与皇后区合起来必须算作一个更大的邻域。）

第二，任意有限个开集的交集仍为开集。

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

拓扑空间可以是有限集，也可以是无限集。它既能承载错综复杂的结构，也可以不具备任何结构。正如舒尔茨所言，拓扑空间 “无处不在。只要你脑海中存在点与点彼此邻近的直观概念，拓扑关系便随之而生”。

我们来看一个更为熟知的对象：数轴。当我们思考数字间的相互关联时，对应的就是一种拓扑空间，即标准拓扑。在该拓扑里，任意不含端点的区间都可称作邻域，也就是开集。所有这类区间均属于开集。

这种拓扑赋予我们日常熟知的实数结构。

我们也可以抛开固有认知，在常用数字集合上定义截然不同的拓扑空间。这就好比将图书馆里的书籍全部取下，彻底打乱原有排布规则，以全新方式重新归类摆放。

例如，我们可以把数轴揉成团并压缩至单点，使得任意两个数字都能无限趋近彼此。

这类似于将所有书籍杂乱堆砌在一起，原本的归类关联不复存在，所有书籍都彼此相邻。这种拓扑称为非离散拓扑（indiscrete topology），仅包含两个开集：空集与整条数轴。

与之相对的极端形式是离散拓扑（discrete topology），其中每一个点都各自构成独立邻域。

在离散拓扑中，任意两点之间互不相邻。如同把馆内每一本书单独放置在孤立岛屿上，书籍之间的关联同样消失殆尽。

从这个角度来看，甜甜圈与咖啡杯的经典趣味比喻，并未体现出拓扑思维的真正价值。拓扑的核心不在于通过拉伸压缩改变距离数值，而是能够在不存在距离概念的空间中，对结构开展有效分析。

依托拓扑空间，数学家得以探索数学领域中诸多全新范畴。它抛开距离尺度，重新诠释连续、连通等基础概念，这种思维模式极具价值，也有悖常规直觉。借助这套理论，相关概念可以推广至更多研究场景，助力各数学分支推导重要命题。譬如代数基本定理，连卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss）这类数学巨匠都难以轻松完成证明，运用拓扑思路后，证明过程就会变得简洁凝练。

拓扑空间的诞生，也促使数学家提出以往未曾设想的新问题。优秀的数学定义兼具拓展研究边界、简化现有理论推演的双重作用，拓扑空间同样具备这样的特质。

豪斯多夫的著作堪称现代拓扑学的开端。日后布尔巴基学派的数学家评价，其精准凝练的定义，让这套理论兼具严谨性与普适性。书中基于公理推导结论的章节，成为公理化理论的典范，抽象深邃又具备前瞻视野。

无垠学海中的一滴水

现代数学包含众多分支领域，各分支拥有专属术语体系、推演规则与研究特点，但彼此并非完全割裂，会以多样形式产生关联。究其原因，实数这类数学研究对象，会同时出现在多个分支的研究范畴中，它兼具代数结构、分析结构、组合结构与拓扑结构等多重属性。不同领域的交叉地带，往往会逐步发展成独立的研究方向。

我们如今仅仅只是在这片广袤的知识疆域边缘摸索探寻。 ——爱丁堡大学学者克拉克・巴威克（Clark Barwick）

1945年，两位美国数学家塞缪尔・艾伦伯格（Samuel Eilenberg）与桑德斯・麦克莱恩（Saunders MacLane）发表一篇颇具开创性的论文 https://people.math.osu.edu/cogdell.1/6112-Eilenberg&MacLane-www.pdf ，由此创立一门全新学科，即范畴论（category theory）。范畴论一举在数学各个既有分支之间搭建起互通的快捷通路。

艾伦伯格与麦克莱恩将 “范畴” （categories）定义为由各类对象，以及它们之间被称作态射（morphisms）的关联关系共同构成的集合。举例来说，一个范畴可以由集合以及集合间的映射构成，也可以由向量空间以及能够实现空间变换的线性映射组成。

但这套理论真正的核心价值，源自二人进一步提出的抽象概念：能否借助函子（functor），将一整个范畴完整映射至另一个范畴？函子能够有序地把对象对应为对象、态射对应为态射。换言之，它不仅可以实现两类研究对象体系间的变换，还能保留对象彼此的关联结构，以此打通不同数学分支。

克拉克・巴威克（Clark Barwick）与其研究生彼得・海恩（Peter Haine）各自独立定义出稠密集（pyknotic sets），该数学对象与凝聚集（condensed sets）高度相似。

图源：克拉克・巴威克

艾伦伯格与麦克莱恩的研究目标之一，是将拓扑学和其余数学分支关联起来。学界早已发现，拓扑学很难和数学核心分支代数融洽结合。爱丁堡大学的克拉克・巴威克（Clark Barwick）表示，拓扑学为代数发展带来极大助力，但受自身构建方式限制，拓扑与代数难以适配，反而阻碍了相关研究推进。

范畴论的推演往往从浅显直观的表述起步，继而依托研究者口中戏称的 “抽象的废话”，推导出极具价值的数学结论。不同范畴具备不同特性，实用价值也有所区别。在适配的范畴中，抽象推演能够发挥强大作用，在其余范畴里则失去实际意义。

在拓扑学中，你可以构建由拓扑空间与连续映射组成的范畴。代数学里，阿贝尔群范畴是重要分支，阿贝尔群（abelian groups）拥有规整对称的性质。若想要整合代数结构在拓扑层面的表现规律，或是探究代数规则如何约束拓扑构造，自然会选取同时兼具拓扑与代数属性的对象，构建拓扑阿贝尔群范畴。

但拓扑阿贝尔群并不满足范畴论研究所需的关键性质。倘若范畴论为数学各个分支山脉开辟出贯通路网，那么想要沿路行进的拓扑学者，只能驾驶故障频发、频繁维修的老旧车辆前行。

这便是舒尔茨与克劳森最终着手解决的难题。舒尔茨表示，拓扑学者实际上并不认可拓扑空间，因为其对应的范畴使用体验欠佳。能否定义全新对象替代拓扑空间，既保留原有理论价值，又构建出性质更优的范畴，最终实现拓扑学与代数学及其他分支的融合互通？

别具一格的革新者

全新思想往往会迎来集中迸发的契机。

2013年，时年25岁的舒尔茨已是造诣深厚的数学研究者 https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/，声名鹊起，成为德国最年轻的全职教授 https://www.spiegel.de/lebenundlernen/uni/24-jaehriges-mathe-genie-wird-deutschlands-juengster-professor-a-861373.html 。

他与当时任职于美国普林斯顿高等研究院的巴尔加夫・巴特（Bhargav Bhatt）共同撰写论文https://arxiv.org/abs/1309.1198 ，给出一类特殊范畴的全新定义。行文过程中，二人顺带提出一种晦涩的数学集合，即 “点的pro-艾达尔位点上的层”（sheaf on the pro-étale site of a point，其中pro-指projective limit，译者注）。彼时舒尔茨并未重视这一概念。他坦言，这类尚未命名的集合，在当时看来只是理论中难以理解的特殊部分。

巴尔加夫・巴特曾与舒尔茨一同定义出相关数学对象，多年后人们才意识到，这些对象正是凝聚集，具备极高的理论价值。

图源：西蒙斯基金会

同一时期，克劳森正在麻省理工学院攻读博士学位。在哥本哈根大学完成五年博士后研究后，他于2018年前往波恩，与刚斩获数学界最高荣誉菲尔兹奖的舒尔茨共事 https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-becomes-one-of-the-youngest-fields-medalists-ever-20180801/ 。克劳森出于不同研究目的，独立推导出同类集合，他说服舒尔茨一同深入探究。舒尔茨回忆，彼时克劳森已经察觉到，这类集合有望用来替换拓扑空间。

几乎同一时段，巴威克与当时的学生彼得・海恩（ Peter Haine），为解答自身关注的范畴论问题，独立给出略有差异的定义。海恩称，团队最初只为攻克单一问题，也预判这套理论拥有广泛用途，但核心目标是推导特定结论，对以往研究成果完成拓展延伸。

而在他看来，克劳森与舒尔茨怀揣着更为宏大的研究愿景。

二人确实怀揣宏大目标。他们将这类集合命名为凝聚集（condensed sets），并正式展开研究。研究过程中的阶段性成果并未对外刊发。2019年4月，舒尔茨在波恩大学开设凝聚数学相关课程；同年5月，他发布一份共计77页的讲义笔记https://arxiv.org/abs/2605.03658 ，依托内容最终给出一致对偶（coherent duality）这一重要定理全新且简洁的证明。后续与舒尔茨展开合作的约翰・科梅林（Johan Commelin）回忆道，以往相干对偶定理的证明过程繁复晦涩、绕弯颇多。而舒尔茨与克劳森推导出的证法条理清晰、精巧凝练。

科梅林表示，这份简洁优美的证明，让全球各地的学者纷纷组建研读小组与研讨班，一同钻研这份讲义，探寻其中的核心思路。科梅林本人在弗莱堡大学也牵头组建了研讨团队，研读过程难度不小。他坦言，团队里没有人能够吃透全部细节内容。

舒尔茨回忆，“凝聚集最初只是用于推导数学结论的工具，很快便拥有了更深层的意义。就我个人而言，凝聚集彻底改变了我思考数学问题的根本方式。用凝聚视角替代传统拓扑视角后，这套思维模式已经融入我的所有研究工作之中。”

巴塞罗那大学集合论学者杰弗里・贝格法尔克（Jeffrey Bergfalk）介绍，2019年他与捷克科学院同行克里斯・兰比 - 汉森（Chris Lambie-Hanson）在网络上发布一篇技术性论文 https://arxiv.org/abs/1907.11744 后，初次结识舒尔茨与克劳森。集合论研究圈子规模小且联系紧密，和数学主流领域存在一定隔阂。贝格法尔克原本以为，只有熟识的同行会关注这篇文章，没想到收到了克劳森发来的邮件。邮件中提到，二人正在凝聚数学框架下研究相近课题，这门新兴学科当时并不为贝格法尔克与兰比 - 汉森所知。

贝格法尔克许久之后才意识到，舒尔茨和克劳森想要凭借凝聚数学实现的变革规模何其宏大。达斯汀与彼得待人谦和友善，沟通交流顺畅自然，这样的处事态度难能可贵。尽管二人的研究方向早已超出传统集合论范畴，提出的问题却精准贴合集合论学者的研究关注点。他们的思考方向和我们原本的研究思路契合，这也促使我们主动去学习凝聚数学相关知识。

着手重塑二十世纪大量数学理论的两位学者，行事风格却十分低调质朴。2021年接受数学家玛丽亚・亚克尔松（Maria Yakerson）采访https://www.youtube.com/watch?v=HYZ3reRcVi8 时，舒尔茨坦言，自己大多只是用全新表述方式重新诠释前人的研究成果。他本身对定理推导与证明过程兴趣有限，核心追求是创立全新定义。优质的定义应当能够简化命题表述，同时降低证明难度。舒尔茨并不认为自己具备超凡创造力，他所做的，只是为客观存在的数学规律赋予恰当名称。

同期另一场访谈中https://www.youtube.com/watch?v=XTOwj1LvntM ，克劳森向亚克尔松谈及自身想法。他不愿投稿发表论文，认为现行学术出版体系存在根本性弊端。日常也极少整理撰写研究成果，相关工作大多交由合作学者完成。他一心专注纯粹的数学研究，和舒尔茨一样，始终探寻贴切的概念名称与理论表述语言。他甚至曾考虑投身文学翻译行业。

“我始终无法完全认同拓扑空间这套体系。现实中存在丰富完备的数学体系，我们一直试图探索其内在规律，却始终没有合适的语言去完整描述。”

未知的探索并未让他止步，反而愈发坚定研究信念。“暂时无法弄懂并不会让我沮丧，真正洞悉原理的那一刻，会带来莫大的欣喜。”

筑基“尘埃”之上

凝聚集的价值正体现于此。按照舒尔茨的比喻，凝聚集如同一套构造法则，可以依托完全不连通的空间，搭建出实数这类具备连续属性的研究对象，好比将零散的面粉、砂糖颗粒糅合烘烤，最终成型为完整糕点。

康托尔集就是典型例子。取 0 到 1 之间的全体实数构成线段，剔除中间三分之一部分，再依次剔除剩余所有线段的中间三分之一。无限重复该操作后，最终只会余下离散的点状集合，任意两点互不紧邻，整体呈现完全不连通的特性。

取一条线段，去掉中间三分之一段。再依次剔除剩余每段线段的中间三分之一。无限重复该操作，最终会得到一簇彼此互不连通的“尘埃”点集。

康托尔集是结构最简单的凝聚集，同时也是构造各类复杂凝聚集的基础单元。舒尔茨表示，仿照康托尔集这类点状集群，以特殊方式叠加组合，就能构建出形式更为繁复的凝聚集。

这类离散细碎的结构看似陌生，实际应用却无处不在。以十进制形式书写数字时，本质上就是将数字视作类似的点状集合，相当于把每一位数字对应区段从数轴中单独拆分出来。

按照这种形式，确定一个数值的过程，本质就是对数轴进行无穷次分割。舒尔茨表示，十进制展开式对应的是完全不连通空间，每新增一位数字，数轴就会被进一步拆分。所有数值相互之间都处于离散隔绝的状态。

那么如何借助这类离散集合，构造出我们熟知的实数数轴这类连续对象？办法是将离散片段重新拼接融合，例如把 0.49999999999999999… 与 0.5 视作同一个数，同理也将 0.50999999999999999… 等同于 0.51，依照这类规则统一界定数值。

舒尔茨与克劳森提出的凝聚集原理与之相仿，这类集合本身具备离散特性，却能够用来构造、研究拓扑学范畴内的连续对象。舒尔茨解释道，相较于以拓扑空间作为研究起点，凝聚集还具备另一项优势：这类完全不连通的基础单元，在代数层面的描述方式极为简洁。

马克斯・普朗克数学研究所的学者、舒尔茨的合作研究者胡安・埃斯特万・罗德里格斯・卡马戈（Juan Esteban Rodríguez Camargo）表示，凝聚集可以构成一类特殊范畴，终于能够以实用且严谨的方式，融合拓扑学、代数学以及其他数学分支的理论内容。

二人率先运用凝聚集，重新证明以往依托拓扑空间推导得出的经典结论，代数基本定理便是其中一例。瓦基尔评价，全新的证明思路让相关理论逻辑变得顺滑通透，便于学者建立直观认知，理解程度也随之加深。

此后二人决定进一步拓展研究边界。

凝聚理论的发展历程

2019年至今，舒尔茨与克劳森不断依托凝聚集搭建全新数学结构，持续发布课程讲义。科梅林称，这套理论在波恩大学的迭代速度，远超全球学界的吸收进度。研究相继衍生出轻凝聚集，以及固态、液态、气态空间等概念，完整的凝聚数学体系逐步成型。

克劳森与舒尔茨都不将自身视作拓扑领域研究者。倘若二人处事风格更为强势，或是理论实用价值不足，此番跨界重构学科基础的尝试，难免会引发业内不满。被问及凝聚数学将会带来何种影响时，舒尔茨表示，他们无意强行推动理论普及。二人沉浸于研究过程，只为探寻能够切实助力自身探索的新思路。

部分数学家将二人的研究比作1950至1960年代的一场数学变革。彼时亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）依托范畴论重塑代数几何，极大拓宽该领域的研究范畴与应用价值。格罗滕迪克对现代数学影响深远。

亚历山大・格罗滕迪克改写了代数几何领域的全貌，此后他告别数学研究，隐居于法国比利牛斯山区。

图源：Paul R. Halmos摄影藏品，档案编号 e_ph_01181_pub，德夫・布里斯科美国历史中心，得克萨斯大学奥斯汀分校

阿尔伯塔大学博士后、克劳森昔日研究生达古尔・阿斯盖尔松（Dagur Asgeirsson）认为，从这一层面而言，可以将彼得与格罗滕迪克相提并论，他正在全方位重塑数学体系。

巴威克表示，凝聚理论最令人振奋的地方，在于能够定义全新的研究对象。这套理论发掘出一类此前从未被关注的天然数学客体，如同一座无人涉足的山峰，而人类目前仅仅徘徊在这片广袤领域的边缘地带。

克劳森与舒尔茨在一份讲义https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf 中，引用知名数学家戴维・芒福德（David Mumford）的经典言论。芒福德曾评价自己深耕的代数几何，“该领域素来有着深奥小众、高度抽象的标签，业内研究者仿佛暗自谋划，想要统摄整个数学界”。二人继而提出，凝聚数学同样晦涩抽象、门槛颇高，他们计划以此接续前人的探索之路，这番表述并非全然戏谑。

这场算不上隐秘的数学体系革新仍在持续推进。数年间，二人又陆续定义出解析叠（analytic stacks）、格式塔（gestalten）等全新数学概念，部分学者认为这些新对象的价值甚至超越凝聚集。

舒尔茨认为，凝聚数学除了克劳森与自己主攻的数论方向外，还有望在诸多相距甚远的领域发挥作用。他提到，作为现代物理学核心分支的量子场论，其基础理论长久以来存在诸多难题，该领域深度运用高阶代数与范畴论知识。

他补充道，量子场论本身又具备极强的分析特性与拓扑属性。融合这两类理论体系难度颇高，而凝聚数学为此提供了可行的统一框架。

舒尔茨与克劳森的研究成果印证了选取恰当理论表述体系的重要意义，重构概念既能简化已有知识体系的推演过程，也能助力探索全新数学领域。舒尔茨表示，深究各类数学现象的本质，本质就是找寻能够精准诠释现象的表达语言。

格罗滕迪克晚年发表回忆录，他将数学家比作建造者，同时提出，数学并非人为创造全新事物，只是发掘原本就客观存在的内在结构。他在书中写道，“最美的建筑，不在于体量宏大、高耸巍峨，而是能够忠实映照出事物潜藏的构造与美感，也最能体现建造者的用心。”