女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
周期性条带是指具有有限宽度的密铺条带，并沿一个方向以饰带对称性重复排列。这类结构在艺术与设计领域具有诸多潜在应用，尤其因为可以构建周期性条带的有限部分，并将其无缝地包裹在圆柱体上。本文证明，在条件不严格的条件下，能够铺满平面的形状也允许产生任意所需宽度的周期性条带。这一事实甚至对非周期密铺也成立。本文将解释周期性条带存在的原因，给出构造它们的简单方法，并展示多种著名铺砌方式的实例。
引言
尽管我们将欧几里得平面的铺砌视为形状向各个方向无限延伸的排列，但铺砌的绘图必然局限于一个有限的截取部分。截取部分的选择自然取决于预期应用，并可能同时受到美学考量与制造工艺实际限制的影响。
在本研究中，笔者考虑瓷砖条带的构造问题。所谓条带，是指沿某一方向上的直线无限延伸、但在垂直方向上仅限于有限宽度的瓷砖排列。有限宽度的条带提供了可用于提取任意长度的装饰性带状图案的原始材料。为了精确地定义条带，首先回顾一下：一个“板层”是指由两条平行直线所围成的欧几里得平面区域。一个瓷砖条带是指瓷砖（拓扑圆盘）的无限集合，满足以下条件：
1 瓷砖的内部互不相交（即它们不重叠）；
2 瓷砖的并集包含某个板层 Si，并且被包含在另一个板层 So中；
3 瓷砖的并集是单连通的，且其内部是连通的。
第三个条件确保了条带的边界恰好由两条曲线组成。因此，瓷砖不会围出任何内部孔洞，也不会形成仅通过一个点与条带其余部分相连的子集。
在典型的设计场景中，我们通常希望构造一个覆盖某一所需宽度 w 的板层的条带，并且如果条带在该板层的两侧略微超出一些，也是可以接受的。因此，与其度量条带的“精确”宽度，不如这样定义：一个宽度为 w 的条带，是指包含一个宽度至少为w 的板层Si的条带。
如果一条条带具有平移对称性，则称其为周期性条带。周期性条带的平移对称性必然都平行于其板层，这意味着其完整的对称群将构成七个带饰群之一 [3, 第 1.4 节]。周期性条带的周期是指其最短平移对称向量的长度。
本文将论证并讨论一个初看起来可能违反直觉的事实：大多数能够铺满平面的形状集合，也允许构造出所有宽度的周期性条带。这里我们非正式地使用“大多数”一词，来指代那些在数学上被广泛研究或常用于艺术与设计的铺砌；稍后我们将讨论一组形状具备这种性质所需的条件。如果一个形状集合本身就能生成周期性的平面铺砌，那么这个事实是显而易见的：一个周期铺砌中已经包含了所有宽度的周期性条带。更有趣的是，典型的非周期瓷砖集合同样表现出这一特性，而且周期性条带的存在并不与瓷砖的非周期性相矛盾。
周期性条带具有许多天然的装饰应用场景。由非周期瓷砖集合构造出的周期性条带，能够保留该集合铺砌图案的视觉特征，并遵守任何局部匹配规则，同时避免了处理一般条带时的复杂性。此外，从任何周期性条带中，我们都可以提取图案的有限个周期，并将其卷成一个圆柱体。这个圆柱体可作为灯罩或水杯等物品的设计图案。它也可以用于制造过程中，将任意长度的带状装饰图案施加到材料上。例如，金佰利公司曾使用彭罗斯菱形作为卫生纸的绗缝图案 [5]，他们很可能就采用了类似的方法。其他自然应用还包括布料或墙纸的印刷，甚至用于制作带图案的饼干 [4]。
风筝与飞镖
在讨论周期性条带更一般的构造方法之前，我们先基于彭罗斯的“风筝与飞镖”（最著名的非周期瓷砖集合之一，见文献[3, 第10.3节]）给出几个具体例子。在由风筝和飞镖构成的铺砌中，通过肉眼特别容易识别出周期性条带的构成单元，从而让我们能快速看到这些想法的实际应用。
图1展示了一个无限风筝-飞镖铺砌的局部截取。任何这类铺砌中都包含一些线段，它们充当“局部反射对称轴”：忽略任何匹配规则，这些线段要么穿过一个瓷砖自身的反射对称轴，要么穿过一对瓷砖之间——这两个瓷砖关于该直线互为反射镜像。图1中用蓝色显示了若干条竖直的局部反射轴。每条线尽可能远地延伸穿过局部反射区域。这些线分为五对带有标记的线对，每一对由两条等长、水平偏移的线组成，并且沿其长度方向上遇到的是全等的瓷砖集合。由此可知，每一对线就定义了一个周期性条带的一个周期。图2展示了基于这五对标记线构造出的周期性条带。需要注意的是，尽管图中绘制的瓷砖并没有施加用于强制非周期性的匹配规则，但这些周期性条带中的瓷砖确实遵守了那些规则——在产生如图所示重复的条带时，并不需要使用任何取巧的方法。
图1： 一个由风筝形与飞镖形瓷砖组成的局部铺砌。蓝色垂直线标示出局部反射对称区域。这些线成对出现并带有标记，可用于构造周期性条带。
图2：基于图1中成对标记线条构造的周期性条带。
任何由风筝与飞镖构成的铺砌都必定包含这样成对的平行线段，且其长度可以无限增长。（这些线对的存在可以由定义该铺砌的替换规则推导出来，但完整的证明超出了本文的范围。）因此，对于任意所需的宽度，只要取足够大的一片风筝-飞镖铺砌，就一定会包含适合构造该宽度周期性条带的一对线。
周期性条带的存在性与构造方法
就允许构造周期性条带这一能力而言，风筝与飞镖在瓷砖集合中并非特例。在本节中，我们将论证（但不提供形式化证明）：如果一个形状集合至少允许存在某种铺砌，那么我们通常可以认为该集合也允许构造出所有宽度的周期性条带。
平面上的铺砌被称为是重复性的，如果对于任何有限大小的瓷砖拼块P，都存在一个数r>0，使得平面上每个半径为r的圆盘内都包含一个与P全等的副本 [2]。换句话说，无论你在铺砌中选定一个怎样的有限拼块，都能保证在不太远的地方找到该拼块的另一个副本。并非所有铺砌都是重复性的。但值得注意的是，Radin和Wolff证明了一个结论：如果一个形状集合能够铺满平面，那么它必然至少存在一种重复性铺砌 [7]。
为了构造周期性条带，我们需要一个稍强一点的条件。如果一个铺砌满足上述重复性的定义，但将其中的“全等”替换为“平移”，那么我们称其为平移重复性铺砌。也就是说，对于任意一个拼块，总能在与其相距某个有界距离的范围内，找到该拼块的一个平移副本。
任何平移重复性铺砌都可以用来构造任意宽度的周期性条带。对于任意宽度w，在铺砌中放置一个直径为w的圆盘。然后构造包含该圆盘的最小瓷砖拼块P，并找到附近的一个平移副本P′。接着，构造一个新的拼块 Q，使其包含P、P′以及它们“之间”的所有瓷砖，即那些与连接两个圆盘的、宽度为w 的有向矩形相交的瓷砖。然后，我们可以通过重复放置 Q 的副本，将每个副本中的P 与相邻副本中的P′对齐，并消除重叠的瓷砖，从而构建出一个周期性条带。如果Q 包含了一些严重超出P或 P′边界范围的瓷砖，这种构造方法可能会失败。这个问题可以通过基于直径为w+d的圆盘来构造P 和 P ′来避免，其中d 的选取需保证每个瓷砖形状都能被包含在一个直径为d 的圆盘内。
在实际操作中，这种构造方法不必如此通用。更自然、更适合手工操作的方式是：先生成一大片瓷砖铺砌，然后通过肉眼识别出一个子拼块P 及其附近的平移副本P′ 。如前所述，我们再根据P、P′以及它们之间的瓷砖，构建出一个可重复的拼块 Q。这种方法的好处在于，我们可以选择特定的拼块来实现某个设计目标，例如最小化条带的周期。图1中围绕局部反射对称轴的那些窄条瓷砖拼块，就可以看作是这种方法的一个实例。
当一组形状配备有替换规则时 [2]，我们通常可以利用这些规则，以“自底向上”的方式更轻松地构造周期性条带。在这里，我们并不需要事先依赖平移重复性的全部能力——只需足够多次的替换能够产生一个包含两个具有相同朝向的瓷砖的拼块就足够了。从任意一个瓷砖形状作为种子开始，反复应用替换规则，直到出现两个这样的瓷砖 T 和 T′。画一条平行于从T到T′的平移向量的线段，使其端点分别位于这两个瓷砖的内部。构造一个拼块Q，包含所有与该线段相交的瓷砖。这个拼块 Q 的作用类似于前面提到的Q：我们可以重复复制它，将每个副本中的 T 与相邻副本中的T′重叠，从而形成一条条带。此外，通常我们可以对Q 再应用任意次数的替换步骤，以得到更大的拼块，这些拼块通过重复可以构成更宽的条带。下一节中的例子就采用了这种方法。
平移重复性铺砌非常常见，为构造周期性条带提供了丰富的素材来源。例如，替换规则通常会产生重复性铺砌，而且据我所知，任何替换铺砌也同时是平移重复性的。事实上，Radin和Wolff的结论可以限制在平移的情形下，因此如果一个形状集合允许存在某种铺砌，那么该集合必然也允许存在平移重复性的铺砌。
实例
在本节中，我们将展示多种周期性条带的例子，以说明这种构造方法的普遍性以及它们所能实现的表达范围。
椅子形自复制瓷砖
我们从图3所示的椅子形瓷砖开始 [3, 第10.1节]。椅子形是一种“四重复制瓷砖”：四个瓷砖可以排列成一个按比例放大的原始形状副本（图3左）。反复迭代这一规则会生成越来越大的拼块，在极限情况下定义出一种极具吸引力的非周期性平面铺砌。椅子形的替换规则会产生一个包含两个朝向相同的椅子形瓷砖的拼块，如图中阴影部分所示。因此，我们可以采用上一节中的自底向上构造方法，基于这两个瓷砖定义出拼块Q。应用零次、一次或两次替换，并将这些重叠的拼块沿一条直线排列，就得到了图3右侧所示的三个带状图案。
鉴于椅子形瓷砖本身也可以进行周期铺砌，本文中的构造方法对它来说显得有些大材小用。事实上，这里展示的带状图案已经以相同的形式出现在通过替换规则生成的铺砌之中。尽管如此，椅子形仍然是一个易于理解的入门例子，并表明真正的非周期性并非这些构造方法的必要条件。
图 3：椅子形自复制瓷砖。 替换规则（左图）将放大后的椅子形表示为四个椅子形瓷砖的并集。其中阴影标记的两个椅子形可作为构造周期性条带的基础（右图）。
风车铺砌
Conway-Radin 风车铺砌 [6] 是一种五重复制瓷砖，基于边长为 1、2 和√5的直角三角形。风车铺砌中的瓷砖具有无穷多种朝向。然而，其替换规则仍会产生两个朝向相同的瓷砖，如图 4 中深灰色所示。连接这两个瓷砖内部的任意线段都会穿过图中那两块蓝色瓷砖。因此，这里的拼块Q 将包含四个瓷砖。该图展示了经过零次、一次和两次替换步骤后，Q的重叠副本。尽管这些条带是重复的，但它们保留了风车铺砌那种略显混乱的外观，这或许比基于该三角形的周期性铺砌所构成的更简单的条带更有趣。
图 4：左上角的替换规则定义了风车铺砌。深灰色和蓝色的三角形可作为基础，用于构造不同宽度的周期性条带（右图和下图）。
Ammann-Beenker 铺砌
Ammann-Beenker 铺砌 [3, 第10.4节] 有两种基本瓷砖：一个正方形和一个 45° 菱形。它是彭罗斯菱形的一种类似物，具有四重局部旋转对称性而非五重对称。该铺砌可以通过基于一个菱形和一个半个正方形的替换规则来构造（图 5）。这些替换规则保留了一套复杂的匹配规则（通过瓷砖上的标记来可视化），并且总是将两个半正方形配对成一个完整的正方形。
图 5：Ammann-Beenker 铺砌的替换规则（左图）。 将这些规则迭代三次后，会生成一个包含两个朝向相同的正方形的拼块（以黄色高亮显示），这两个正方形可用于定义用于构造周期性条带的子拼块（以粗线框出）。
为了构造周期性条带，我们对一个半正方形应用了三轮替换，生成了一个拼块，其中首次出现了两个朝向相同、且带有各自标记的完整正方形。这些正方形在图5右图中以黄色高亮显示。连接这两个正方形中心的线段会与粗线框内所有其他菱形和正方形相接触，从而得到一个可以重复的拼块Q。图6展示了基于Q 的副本，在零次、一次和两次替换后所构成的条带。需要注意的是，这些条带都与表达匹配规则的标记完全兼容。
图 6：基于图 5 中的拼块，经过零次、一次或两次替换步骤后构造出的周期性条带。
帽子形瓷砖
帽子形瓷砖 [8] 是近期发现的一种非周期单瓷砖：该形状只允许非周期性的铺砌，且不需要任何特殊的匹配规则。图7a所示的“H7/H8”替换规则 [8, 图2.11] 为构造周期性条带提供了一个便利的基础，但需注意一些细节。H8替换规则会产生一个包含两个相邻且朝向相同的帽子形瓷砖的拼块。然而，如果我们对这样堆叠的一行帽子形瓷砖反复应用替换，得到的条带会出现很深的凹陷，从而无法变得更宽（图7b）。一种解决方法是使用一个包含重叠瓷砖的基础拼块 Q 作为起始（图7c）；经过一次替换后，这些重叠就会消失。另一种避免该问题的方法是，从驱动H7规则的双帽子组合块开始（图7d）。Yoshiaki Araki 已经将帽子形瓷砖的周期性条带用作水杯的装饰图案（图8）。
图 7：基于“帽子”非周期单瓷砖的周期性条带。
H7/H8 替换规则（a）可用于构造瓷砖拼块。从一行“帽子”瓷砖开始进行简单的重复（b），并对其应用 H8 规则，会产生无法无限增宽的条带。这个问题可以通过从重叠的“帽子”（c）或一行由两个“帽子”组成的复合块（d）开始来避免。
图 8：一卷印有“帽子”带状图案的透明胶带（左图），以及将其应用于水杯的效果（右图）。设计与摄影：Yoshiaki Araki。
幽灵形瓷砖
幽灵形瓷砖同样是一种非周期单瓷砖，是帽子形瓷砖研究的衍生成果，它们允许铺砌中所有瓷砖具有相同的手性 [9]。这种被称为 Tile(1, 1) 的多边形，如果我们人为禁止在同一个铺砌中混合左手性和右手性的瓷砖，则允许存在等价的铺砌。这些铺砌可以通过一个基于单块瓷砖和一个名为“Mystic”的双瓷砖组合块的替换系统来定义（图9上方）。与帽子形瓷砖类似，这些铺砌中包含相邻且朝向相同的 Tile(1, 1) 副本，可用于构造周期性条带（图9）。
图 9：基于 Spectres 和 Mystics 替换规则构造的周期性条带（上方），以及使用 Tile(1, 1) 的副本绘制而成的条带。
对于非周期瓷砖集合，任意宽度的周期性条带的存在性在数学上引人入胜。Grünbaum 与 Shephard 证明了，在相对温和的条件下，如果一个瓷砖集合允许存在具有某种平移对称性的铺砌，那么它必然也允许存在周期性铺砌 [3, 定理 3.7.1]。乍一看，如果我们能构造任意有限宽度的周期性条带，那么当宽度趋于无穷大时，我们似乎就能得到一个具有全局带饰对称性的平面铺砌，从而甚至可以推导出非周期瓷砖集合也允许存在周期性铺砌！为了避免这一明显的矛盾，我们只能得出结论：随着我们构造的条带宽度不断增加，它们的周期也必然无界地增长。这样一来，在极限情况下，周期会与宽度一起趋于无穷，此时具有带饰对称性的铺砌的假象也就消失了。
从非周期瓷砖集合构造周期性条带的可能性并非全新发现。金佰利公司那次失败的卫生纸实验为这一事实提供了现实世界的证据。此外，Dworkin 与 Shieh 在证明其“欺骗性”铺砌存在性的构造中，也隐含了所有宽度周期性条带的存在性 [1]。本文通过将周期性条带单独提炼出来加以强调，给出了几种简单的构造方法，并用大量实例展示了这一过程，从而为现有文献提供了有益的补充。
参考文献
[1] S. Dworkin and J.-I. Shieh. “Deceptions in quasicrystal growth.” Communications in mathematical physics, vol. 168, 1995, pp. 337–352.
[2] N. P. Frank. “A primer of substitution tilings of the Euclidean plane.” Expositiones Mathematicae, vol. 26, no. 4, 2008, pp. 295–326.
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0723086908000042.
[3] B. Grünbaum and G. Shephard. Tilings and Patterns, 2nd ed. Dover, 2016.
[4] R. Hanson and G. Hart. “Custom 3D-Printed Rollers for Frieze Pattern Cookies.” Proceedings of Bridges 2013: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. G. W. Hart and R. Sarhangi, Eds. Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, 2013. pp. 311–316.
http://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-311.html.
[5] Independent Digital News & Media Ltd. “Kleenex art that ended in tears.” The Independent, 1997.
https://www.independent.co.uk/news/kleenex-art-that-ended-in-tears-1266536.html.
[6] C. Radin. “The Pinwheel Tilings of the Plane.” Annals of Mathematics, vol. 139, no. 3, 1994, pp. 661–702. http://www.jstor.org/stable/2118575.
[7] C. Radin and M. R. Wolff. “Space tilings and local isomorphism.” Geometriae Dedicata, vol. 42, 1992, pp. 355–360. https://api.semanticscholar.org/CorpusID:16334831.
[8] D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, and C. Goodman-Strauss. “An aperiodic monotile.” 2023. https://arxiv.org/abs/2303.10798.
[9] D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, and C. Goodman-Strauss. “A chiral aperiodic monotile.” 2023. https://arxiv.org/abs/2305.17743.
[10] Craig S. Kaplan, Periodic Strips from Aperiodic Tiles
最后照例放些跟张大少有关的图书链接。
青山 不改，绿水长流，在下告退。
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