|作者：曹则贤1, † 吴飓昊2 汪克林3
(1 中国科学院物理研究所)
(2 中国科学技术大学 合肥微尺度物质科学国家研究中心)
(3 中国科学技术大学近代物理系)
本文选自《物理》2026年第5期
摘要文章基于物理量的升降算符表示与态矢量的无量纲Fock态占据数表示处理朗道能级问题与量子霍尔效应。对朗道能级问题选取对称规范，采用升降算符表示，哈密顿量不再有表观的x-，y-方向上的不等价性，明显看出系统的对易可观测量完备集可选为{H，nb，Jz}，问题可在算符nb=a1+a1+a2+a2之本征值一定的子空间中求解。求解过程非常简单，分立能级无需归因于一维谐振子，且同时自然地带出朗道能级的简并度，表明这些都是该问题的本质特征。这里的关键是用角动量撬动关于朗道能级问题中守恒量的认识，守恒量算符nb将整个希尔伯特空间分解为有限维的子空间。借助博戈留波夫变换，可以证明朗道能级问题具有电磁规范不变性。采用升降算符表示，可将量子霍尔效应的哈密顿量变换为与朗道能级问题的哈密顿量完全相同的形式，故可根据后者的完备态矢集开展进一步的讨论，极大地简化了量子霍尔效应问题的计算。我们的理论具有普适的意义，有助于解析地求解诸多量子力学基本问题。
关键词表示理论，升降算符，朗道能级，谐振子，简并，守恒量，规范不变性，博戈留波夫变换，量子霍尔效应
1 导 言
量朗道能级问题是朗道于1930年提出的，揭示了由于磁场中的电子轨道的部分有限性，自由电子也会有顺磁性[1]。在朗道的原文中，磁场中的自由电子的哈密顿量为
其中
这里H是z-方向上的磁场强度。考虑x-y平面内的运动。朗道指出，可以利用对易关系
这是标准的谐振子哈密顿量，故(1)式中的哈密顿量有能谱
处的y-方向的一维谐振子。注意，方程(5)可通过取磁矢势为A=(-Hy, 0, 0)直接得到，这是后来所谓的朗道规范。此处朗道规范下的x-y部分的运动等价于x-方向上的平动加上y-方向的谐振。
我们看到，朗道在无意中采用了两种不同的电磁场规范，且在不同的视角下磁场中的自由电子的运动会有不同的等价图像。
朗道能级有很多应用，比如可用来解释量子霍尔效应。在朗道能级问题提出来之后，关于这个问题在处理方式上和物理诠释上都呈现出不同来[2—4]。为了用我们引入的角动量量子理论处理朗道能级问题[5，6]，现在用当前常用的术语与符号把朗道能级问题再表述一遍，为此用H表示哈密顿量，用q表示电荷，且采用国际单位制。
设有自由电子处于外加均匀磁场中，B=Bez。为电磁场的磁矢势选取朗道规范A=(-By, 0, 0)，这样电子的正则动量为p+qA，相应地，哈密顿量为
由于H不显含坐标x，z，故H与px，pz对易，本征波函数可取如下形式
一维谐振子的定态不是简并的，但朗道能级有简并[3]。这样的解就产生了不相洽的问题。如何为朗道能级引入简并度呢？为此引入附加条件，电子在有限空间里运动，px取分立值，Lx是样品在x-方向上的长度。谐振子的中心位置为
(1)上述解是选择朗道规范A=(-By, 0, 0)得到的。同样是选择朗道规范，如果取A=(0, Bx, 0)，则物理图像变成了分立能级来自x-方向上的一维谐振子，能级简并应该要求y-方向上存在限域效应。如果选择对称规范，则又完全是另一种图像。但是，真实的物理不应该依赖于规范选择。
形式的包含不可归一化因子的波函数作为其后讨论的出发点，则难免会带入不确定的非物理因素。
(3)朗道能级问题本质上是带电粒子z-方向上的运动与x-y平面内的运动的脱耦，后者是一个二维运动。朗道自己利用对称规范与后来的研究者利用朗道规范的求解过程中，都建议分立能级来自一维谐振子的运动[1—4]。拥有等价的两个自由度的系统所表现出的分立能级约化为一维谐振子问题，这从物理角度来看令人费解，也有担心其正确性的理由。
(4)更重要的是，无磁场时自由电子的运动具有三维平移对称性和转动对称性。加上磁场后，垂直于磁场的平面内的运动应该具有二维空间的转动对称性，但前述的处理方式所建议的物理图像中，存在明显的x-，y-方向上的不等价。
本文采用物理量的升降算符表示和态矢集的无量纲Fock态占据数表示处理朗道能级问题。在对称规范下，朗道能级问题有非常简单的解法，且能揭示朗道能级简并的来源。这里的关键，是用角动量来撬动关于朗道能级问题中守恒量的认识。守恒量算符nb将整个希尔伯特空间分解为有限维的子空间，而整个希尔伯特空间可以由有限维空间直和得到，这让问题的求解变得非常简单。借助一个博戈留波夫变换[7]，可以证明朗道能级问题是规范变换不变的。进一步地，可以将量子霍尔效应的哈密顿量变换为与朗道能级问题的哈密顿量有严格相同的形式，从而可以简单求解。本文表述的方法可以在诸多量子力学基本问题上简便地得到严谨自洽的结果。
2 朗道能级问题
展开得：
其中
为了充分利用角动量的量子理论[5，6]，接下来对物理量采用升降算符表示，态矢采用无量纲的Fock态占据数表示。引入表述表换：
其中Δ是量纲为[MT-1]的参数，升降算符ak+, ak (k=1, 2)满足对易关系[ak+, ak]=1。为简单计，取ℏ=1。如此则有jz=i(a1a2+-a1+a2)，哈密顿量(12)式可表示为
此式中省去了两个谐振子的零点能项。
针对变换后得到的哈密顿量(14)式，找到相应的守恒量，可以确定恰当的对易算符完备集。为此引入算符：
此算符与jz对易，因此与哈密顿量H对易，故针对朗道能级问题可选择求对易算符完备集(H,nb,jz)的共同本征态集。
因为nb是守恒量，系统的定态必是对应nb的一个确定本征值nb的态矢，故系统的一个特定的定态应该由态矢集
接下来以nb=3的情形为例演示具体的求解过程。此时子空间有四个基态矢|3, 0>，|1, 2>，|2, 1>和|0, 3>，需要解的问题是找到一个叠加态：
此本征值问题有解m=1, -1; 3, -3。具体地，
m=1，相应的归一化本征态为
对应的能量值E=nω+mω为E3,1=4ω；
m=-1，相应的归一化本征态为
对应的能量值E3,-1=2ω；
m=3，相应的归一化本征态为
对应的能量值E3,3=6ω；
m=-3，相应的归一化本征态为
对应的能量值E3,-3=0ω。
对于nb取几个很小数值的情形，结果简单罗列如下：
(i)nb=1的情形，子空间只有两个基态矢|0, 1>和|1, 0>。本征值问题jz| >1=m| >1的解为m=1, -1，相应的归一化本征态可分别记为
对应的能量值分别为E1,1=2ω和E1,-1=0ω。
(ii)nb=2的情形，子空间有基态矢|2, 0>，|1, 1>和|0, 2>。本征值问题jz| >2=m| >2的解为m=2,-2，相应的归一化本征态可记为
对应的能量值分别为E2,2=4ω和E2,-2=0。
(iii)nb=4的情形，子空间有基态矢|4, 0>，|3, 1>，|2, 2>，|1, 3>和|0, 4>。本征值问题jz| >4=m| >4的解为m=4, -4, 2, -2，相应的归一化本征态可记为
对应的能量值分别为E4, 4=8ω，E4, -4=0ω，E4, 2=6ω，E4, -2=2ω。
此处的推导，每一步都遵从量子力学的基本法则。所得到的态矢是可归一化的物理态矢，消除了此前理论中x-方向与y-方向明显的表观不同，还消除了某一个方向上的波函数为平面波的困难。在此前的处理中，能量本征值谱为{E=nω; n=0, 1, 2 …}，那里的n来自等效的一维谐振子势，是没有简并的。如何解释朗道能级的简并问题便成了此前理论中的一个难点。我们此处用对称规范所得到的能谱为{E=nω; n=0, 2, 4…}。考虑到两种处理方式中的ω差一个1/2因子，因此两者的能谱是相同的。但是，两种处理方式的物理图像是不同的。当前所得的总能量值nω来自二维谐振子叠加上角动量与磁场之间的作用，简并有明确的来源。从我们的理论可以清楚地看到，系统的能量
用升降算符ak+, ak与无量纲态矢空间处理朗道能级问题，可明显看到存在守恒量nb，这一点可加以利用。此外，角动量的量子特性也得到了应用。采用对称规范，让这一问题本身看似具有二维空间的对称性。然而，物理理论应该具有规范不变性。采用不同规范处理朗道能级问题，所得结果应该是本质上相同的才对。那么，朗道能级问题与电磁规范的选取无关吗？为了回答这一问题，我们将朗道能级问题在朗道规范下与对称规范下的哈密顿量都用升降算符表示，发现可以找到一个博戈留波夫变换，证明两者形式上是等价的。
朗道能级问题在朗道规范下和对称规范下的哈密顿量可分别写为
两者看起来非常不同。因为两者都正比于ω，为简单计，接下来的演算中把ω忽略。引入博戈留波夫变换：
将其代入哈密顿量HS，发现存在4组(f1, f2, f3, f4)选择，即
其中α为一常数，可将HS变换为到HL。也即是说，当使用升降算符表示时，朗道规范下和对称规范下的哈密顿量即便在形式上都是相同的。
3 量子霍尔效应
朗道能级问题与整数量子霍尔效应相关联[2，3]。有了朗道能级问题的解，便有了有效地讨论量子霍尔效应的基础。考察在x-方向上施加一均匀电场，实验上表现为在MOSFET结构上加一门电压，以引起载流子在x-方向上的流动，因磁场的存在会引起横向电流。这相当于在朗道能级问题中的哈密顿量上又叠加了一个qεx项，则霍尔效应问题中的哈密顿量为
。额外添加的这一项看似简单，但给问题带来了实质性的变化。朗道能级问题里的守恒量nb此时不再是守恒量，前述求解方法失效。不过，问题没那么糟糕。我们发现可以对(25)式中的哈密顿量作表象变换，将之变成与朗道能级问题里的哈密顿量有严格相同的形式。一个看似困难的问题用表象理论可以轻松化解，可见狄拉克当年构建量子力学表象理论所体现的深刻思想的威力。
引入新的升降算符(A1, A1+)，(A2, A2+)，令
这又变为标准的朗道能级问题了[比较(23b)式]。这样，可以采用此前的方法求定态能谱和态矢集，只是现在是在新的升降算符下的结果。
为了求解霍尔效应相关的物理问题，一个简单的方式是将感兴趣的物理量，其作为坐标—动量算符的函数，先写成升降算符(a1, a1+)，(a2, a2+)的函数的形式，然而变换到(A1, A1+)，(A2, A2+)表示，用后者表示下的朗道能级问题之完备态矢集进行计算。现在计算磁场下的载流子当因外加电场造成流动时所产生的横向电流，即在哈密顿量HH下求动量的期待值。
先计算无外加电场时x-y平面内电荷动量的期望值，发现：
这表明在纯粹的磁场下，朗道能级问题中没有电流。加上x-方向的电场后，计算须用(A1, A1+)，(A2, A2+)表示以及相应的朗道能级问题的态矢集，会发现：
4 结束语
在处理量子力学问题时，将物理量用升降算符表示，对态矢集采用无量纲的Fock态占据数表示，可以澄清很多令人困惑的疑问，同时让问题的求解变得简单可行。对朗道能级问题选取对称规范，采用升降算符表示，不仅可以消除表观的x-，y-方向上的差异，而且求解非常简单，所得波函数免于含平面波部分所带来的困难，同时自然带出朗道能级的简并度。用升降算符表示的哈密顿让我们轻易辨认出朗道能级问题中的守恒量nb=a1+a1+a2+a2。更重要的是，借助博戈留波夫变换，可以证明朗道能级问题在形式上都具有规范不变性。采用升降算符表示，量子霍尔效应的哈密顿量可以变换成与朗道能级问题的哈密顿量严格相同的形式，故而可以根据后者的完备态矢集开展进一步的讨论，这极大地简化了量子霍尔效应相关问题的计算。我们的理论具有普适的意义，有助于解析地求解诸多量子力学基本问题。
参考文献
[1] Landau L. Zeitschrift für Physik，1930，64 (9-10)：629
[2] Girvin S M. The Quantum Hall Effect：Novel Excitations and Broken Symmetries. 1999，arXiv：cond-mat/9907002
[3] Basu S.，Quantum Hall effect. Cambridge University Press，2024.简并问题
[4] Ciftja O. European Journal of Physics，2020，41(3)：035404. 对称规范
[5] 汪克林，曹则贤. 物理，2025，54(5)：344
[6] 汪克林，曹则贤. 物理，2026，55(3)：198
[7] Bogoliubov N N. Il Nuovo Cimento，1958，7 (6)：794
（参考文献可上下滑动查看）
衷心感谢大家参与周末读书活动！恭喜ly，罗浩，Hardy，起舞弄清影，李宁共5位读者获赠《杨振宁：百年科学之路》一本。请尽快把快递信息在后台告诉我们，以便您收到赠书哦。
欢迎订阅2026年《物理》杂志
《物理》是由中国科学院物理研究所和中国物理学会主办的权威物理类中文科普期刊，注重学科性与科普性相结合，秉承“轻松阅读，享受物理”的办刊理念，集学科大家之力，追踪物理学成果，服务物理学领域，促进学科交叉，让科学变得通俗易懂。已成为我国众多物理专业的大学生、研究生、物理学家案头常读的刊物之一。
(期刊订阅)
订阅方式：编辑部直接订阅优惠价240元/年，全国包邮。
方式1微信订阅
在“物理所财务处”微信公众号缴费，操作如下：公号下方“业务办理”-“订刊费”-收费部门“《物理》编辑部”，之后填写相应信息。如有问题，可添加编辑微信咨询：18627635857。
(注：仅针对需要对公开电子发票的读者，且务必提供正确的单位名称和单位税号)
方式2银行汇款
开户行：中国农业银行北京科院南路支行
户 名：中国科学院物理研究所
帐 号：11250101040005699
（注：请注明“《物理》编辑部”，汇款成功后请及时联系编辑部登记邮寄地址）
编辑部联系方式：
咨询电话：010-82649277；82649029
Email：physics@iphy.ac.cn
(赠阅活 动 ）
为答谢广大读者长期以来的关爱和支持，《物理》编辑部特推出优惠订阅活动：凡直接向编辑部连续订阅2年《物理》杂志，将获赠《岁月有情- <物理> 50周年纪念本》。内有自1972年至2022年《物理》发表的50篇精选文章信息，扫描对应的二维码，可重温经典之作，感悟物理科学的真谛，领略学科大家的风采。希望读者们爱上《物理》!
热门跟贴