如果你学过数制转换，一定记得那个“乘2取整法”：不断将小数部分乘以2，记录整数位，直到小数部分为零。这个方法应对考试足够了，但它的运作原理却像个魔术——依步骤而行，答案正确，你却说不清为何有效，也猜不透为何有时会无限循环。

以0.25为例。标准流程是：0.25×2=0.50，记录0；0.50×2=1.00，记录1；自上而下读，二进制表示为0.01。答案没错，却失于机械。另一种思路是：0.25就是1/4，而4是2²。那何不把分子和分母分别转为二进制，再完成这次除法？

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分子1在二进制中仍是1，分母4转为二进制是100。于是1/4就成了二进制中的1/100。除以100（以2为底的100，即十进制4）不需要长除法，因为100正是基数的幂次——正如十进制里除以100相当于移动两位小数点。二进制中，除以100₂同样让二进制小数点左移两位：把“1.”移位后得0.01₂。输出结果与乘2法一致，但这次你清楚看见了背后的位置逻辑。

这并非巧合，而是位值系统的通理。任何形如a/2ⁿ的分数，都可以把a写成二进制，再移动n位小数点。1/2位移1位得0.1₂，1/8位移3位得0.001₂，3/16（3写作11₂）移4位得0.0011₂。这说明为何在嵌入式系统的定点数算术中，程序员常把分数隐含地当作整数加一个二进制小数点来处理，让位位移取代除法——这个“技巧”实则是定点数思想的手动版。

捷径依赖一个硬条件：分母必须是2的整数次幂。换成0.2，也就是分数1/5，就完全行不通了。5在二进制中是101——它是4+1，而非单一的2的幂次，无从施展干净的移位。要计算1/101₂，必须回归二进制长除法，而且这个除法不会终结，会得到无限循环的0.0011001100110011…₂。同样的结构性问题，也解释了为何大多数编程语言中0.1加0.2不恰好等于0.3：那些小数在二进制里无法被精确截断，截断就会带来舍入误差。