一、预备说明
设题目中的函数均在所讨论的点处有定义，讨论商函数 在点 处的连续性时，仅有 ， 并不能保证商函数在 附近有定义。因为当 在 处不连续时，即使 ， 仍然可能在任意靠近 的位置取零。 因此，以下关于商函数的讨论均额外假设：存在 ，使得 ，
基本结论
(1)若 均在点 处连续, 则 ; ; 在点 处也连续.
(2)若 在点 处连续, 在 处连续, 则 在点 处也连续.
问题（1）： 连续、 不连续
设 在 处连续， 在 处不连续。
1.
结论： 与 在 处 一 定 不 连 续
如果 在 处连续，那么 应当是两个连续函数之差，从而 在 处连续，这与题设矛盾。
同理，如果 连续，那么 也应当连续，仍然产生矛盾。
因此， 与 都一定不连续。
2.
需要根据 是否等于零进行讨论。
情形一：
结论： 在 处 一 定 不 连 续
如果 连续，由于 连续且 ，所以 在 附近不为零。于是 右侧是连续函数之商，因此 应当连续，与题设矛盾。
情形二：
结论： 的 连 续 性 不 能 确 定
它可能连续，也可能不连续。
可以连续的例子：令 ，取 ,
则 在 处连续， 在 处不连续，而 所以乘积在 处连续。
可以不连续的例子：取 , 则 所以乘积在 处不连续。
3.
假设 ，并且商函数在 附近有定义。
情形一：
结论： 在 处 一 定 不 连 续
反设 在 处连续。因为 所以 在 附近不为零。于是 由于 都连续且 ，所以 应当连续，与题设矛盾。
情形二：
结论： 的 连 续 性 不 能 确 定
可以连续的例子：取 , 则 不连续且处处不为零，但 所以商函数连续。
可以不连续的例子：取 , 则 连续、 不连续，并且 。此时 所以商函数在 处不连续。
问题（2）： 与 都不连续
设 在 处都不连续。
结论：仅根据这两个条件，无法确定 、 或 的连续性。不连续性可能相互抵消，也可能不抵消。
以下均取 。
1.
定义 在 处不连续。
和函数可以连续：取 , 则 所以和函数连续。
和函数可以不连续：取 , 则 所以和函数不连续。
因此： 的 连 续 性 不 能 确 定
2.
差函数可以连续：取 , 则
差函数可以不连续：取 , 则 所以差函数不连续。
因此： 的 连 续 性 不 能 确 定
3.
定义
乘积可以连续：取 , 则 所以乘积连续。
乘积可以不连续：取 , 则 所以乘积不连续。
因此： 的 连 续 性 不 能 确 定
4.
假设 ，且 在 的某个邻域内不取零。 定义
商函数可以连续：取 , 则 都不连续，但 所以商函数连续。
商函数可以不连续：取 , 则 都不连续， ，且 处处不为零。但是
所以商函数不连续。
因此： 的 连 续 性 不 能 确 定
问题（3）：内函数连续，外函数不连续
已知 在 处连续，而 在 处不连续。
结论： 在 处 的 连 续 性 不 能 确 定
外函数 虽然在 处不连续，但 的局部值域可能没有充分经过 的不连续部分，甚至 可能是常函数。
取 ，定义 则 在 处不连续。
复合函数可以不连续
令 , 则 在 处连续，并且 在 处不连续。
复合函数可以连续
令 , 则 在 处连续，并且 所以复合函数连续。
问题（4）：内函数不连续，外函数连续
已知 在 处不连续，而 在 处连续。
结论： 在 处 的 连 续 性 不 能 确 定
外函数可能保留内函数的不连续性，也可能把内函数的不同跳跃值映射成同一个值，从而消除不连续性。
取 ，定义 则 ，并且 在 处不连续。
复合函数可以不连续
取 , 在 处连续，但是 在 处不连续。
复合函数可以连续
取 , 则 所以复合函数连续。
问题（5）：内函数与外函数都不连续
已知 在 处不连续， 在 处也不连续。
结论： 在 处 的 连 续 性 不 能 确 定
取 ，定义 则 ，且 在 处不连续。
复合函数可以连续
定义 或 在 处不连续。但是由于 只取 和 ，所以 因此复合函数连续。
复合函数可以不连续
定义 则 在 处不连续，并且 所以复合函数在 处不连续。
注:对于商函数，还必须保证 在 的某个邻域内不为零。
2. 复合函数
核心结论
复合函数连续性定理说明： 在 处 连 续 在 处 连 续 能够推出 在 处 连 续
但这是充分条件，并不是一般意义下的必要条件。
当其中一个函数不连续，或者两个函数都不连续时，不能简单断定复合函数一定不连续。此时需要分析：
当 时， 实际取到或趋近哪些值；
在这些值上的表现；
是否把 的不同跳跃值映射为同一个值；
复合后不连续性是否被抵消。
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