Tony Phillips教授的数学读报评论2026-5、6|代数|克莱因|多边形|数学

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本期主题：

1 非交换型不可能图形
2 镜面草叶片中的沃罗诺伊图

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作者：Tony Phillips（托尼・菲利普斯，石溪大学教授）2026-7-22

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-7-23

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一、非交换型不可能图形

今年 5 月，《科学美国人》（Scientific American）刊发文章《不可能图形：数学家设计出全新悖论造型》 https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-created-an-impossible-shape-that-shouldnt-exist/ 。文中所说的 “不可能图形” 仅存在于纸面之上：它们看似三维物体的透视素描，但图形各部分无法在逻辑上拼接成一个完整、自洽的立体实物。这一新图形不只是趣味视觉谜题，本身具备严谨的数学内涵。

1954 年，英国物理学家、几何学家罗杰・彭罗斯（Roger Penrose）在欣赏 M.C. 埃舍尔（M. C. Escher）的画作时，接触到这类视觉悖论， https://mindmatters.ai/2023/01/how-surreal-artist-mc-escher-influenced-physicist-roger-penrose/ 由此设计出世界上第一批不可能图形。彭罗斯后续用上同调理论对该现象建立数学表述（本站往期专题专栏曾对此展开讲解 https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2014-10 ）。

不少学者沿用这套研究思路，宾夕法尼亚大学的罗伯特・格里斯特（Robert Ghrist）便是其中之一。最新突破来自 2025 年 7 月一篇预印本论文，由格里斯特与佐伊・库珀班德（Zoe Cooperband）联合撰写 https://arxiv.org/abs/2507.01226 。《科学美国人》重点介绍的这款新图形创新性运用了不可定向曲面理论，正是出自该研究。下文我们将拆解该图形的简化版本，提炼其核心数学逻辑。

这款新图形绘制在克莱因瓶（Klein Bottle）曲面上；克莱因瓶由矩形按箭头标识粘合四条边得到：上下两条边对接成圆柱，左右两条边对接前需要上下翻转，构造逻辑类似莫比乌斯环。

本文配图及衍生示意图作者：托尼・菲利普斯（Tony Phillips），图稿改编自《科学美国人》原版插图。

简化版图形包含三层平面，由阶梯通道相连：一条阶梯连通第一层与第二层，另一条连通第二层与第三层。此时图形尚未产生悖论；当我们把矩形卷曲、扭转成克莱因瓶曲面时，矛盾便会显现。

操作步骤：先将矩形上下卷合形成圆柱；再把右侧圆形边缘上下翻转，与左侧边缘粘合，使两侧边缘的箭头指向统一。

粘合完成后，悖论图形就此生成。遵循上下粘合规则，你可以从第一层径直走到第二层、第三层；但遵循左右扭转粘合规则，你又能从第一层直接踏上第三层的反面，反向通行亦然。这两套行走路径无法统一对应到同一个三维实体中。

莫斯科维茨（Moskowitz）解释，该图形拥有一项特殊性质，与曲面上的闭合路径、路径遍历顺序直接相关。

图中用两种颜色标出两条起点、终点重合的闭合回路：

路径 a（蓝色行人）：从第一层出发，沿阶梯上到第二层，再通过曲面粘合关系直接返回第一层；
路径 b（红色行人）：从第一层出发，连续登上两段阶梯抵达第三层，再直接走到第一层的反面。

将两条路径先后组合行走会出现什么差异？两种组合顺序：先走 a 再走 b、先走 b 再走 a，最终落脚点都是左侧平面的反面，但行人对终点高度的感知截然不同。

先 a 后 b
行人先走完路径 a（步骤 1–4），切换颜色后走完路径 b（步骤 4–9）。全程一共攀爬三段阶梯，自身感知高度比起点上升三层。

先 b 后 a

行人先走完路径 b（步骤 1–6），攀爬两段阶梯，抵达第一层反面；切换颜色后沿路径 a向下走阶梯来到第二层反面，再走完路径 a 剩余路段，回到左侧平面反面的起点。全程上两段阶梯、下一段阶梯，自身感知仅上升一层。

这就是非交换性（non-commutativity）的典型案例：路径序列「a 后接 b」与「b 后接 a」带来完全不同的观测结果。论文作者称，这是人类首个非交换型不可能图形。

非交换性属于代数概念。想要从数学层面解释两种行走顺序带来的差异，我们需要引入曲面的代数结构 ——基本群（fundamental group） https://people.math.harvard.edu/~landesman/assets/fundamental-group.pdf。

基本群相关说明

定义：取曲面上所有闭合回路，将能通过连续形变互相转化的回路归为同一类；拓扑学中将这类等价类称为同伦类（homotopy classes），所有同伦类构成的集合即为该曲面的基本群。
群运算规则：为集合定义二元运算（类似数字加法），对任意两个同伦类 α、β，定义乘积 αβ。取 α 类中一条回路 a、β 类中一条回路 b，αβ 对应「先走 a、再走 b」这条复合回路的同伦类。
交换群：若对任意两个元素 α、β 都满足 αβ=βα，则称该群为交换群。

等价曲线示意

① 球面：任意闭合曲线都能连续收缩为一个点；

② 环面：路径 a 后接 b 可连续形变等价于 b 后接 a；

③ 克莱因瓶：路径 a 后接 b 等价于 b 后接 a 的逆路径 a⁻¹。

配图作者：托尼・菲利普斯

各类曲面的基本群实例

如上图所示：

球面：所有曲线均可缩为一点，基本群仅含单位元 ε，称为平凡群；
环面：由回路 a、b 对应的同伦类 α、β 生成。由于「a 后 b」与「b 后 a」可互相形变，满足 αβ=βα，因此环面基本群是交换群；
克莱因瓶：生成元同样为 α、β，但复合规则变为「a 后 b 等价于 b 后 a⁻¹」，即 αβ=βα⁻¹，该群不满足交换律。

格里斯特设计的这款不可能图形之所以具备非交换特性，根源正是克莱因瓶基本群的非交换性。

另一方面，关系式 βα=α⁻¹β 意味着：「b 后接 a」与「a⁻¹ 后接 b」两条路径会给行人带来完全相同的高度感知，实际推演结果也印证了这一点。

走「b 后接 a⁻¹」路线的行人：先走完路径 b（步骤 1–6，第 6 步切换颜色、反向行进），再沿反面逆向走完路径 a（步骤 6–9），途中会从第二层向上走到第一层。和「先 a 后 b」的行人一样，此人感知高度上升三层。

背后的数学本质是什么？想要完整理解，我们需要引入和克莱因瓶基本群密切相关的代数结构 ——无限二面体群（infinite dihedral group）D∞。D∞是正 n 边形对称群序列取极限得到的群，和有限正多边形对称群一致，拥有两个生成元：

r：向右旋转一格；
f：以基准点为中心翻转。

无限二面体群 D∞的生成元 r、f 满足两条核心关系：

f²=e（e 为单位元）：连续翻转两次，图形复原到初始状态；
rf = fr⁻¹：先右旋转、再翻转，等价于先翻转、再左旋转。

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举例：1→2→-2 与 1→-1→-2 两条路径效果完全相同。

前文提到的克莱因瓶基本群也满足 rf=fr⁻¹，两类结构的相似性可以严格对应：将 α 映射为 r、β 映射为 f，就能构造克莱因瓶基本群到 D∞的群同态映射（homomorphism），该映射保持群的乘法运算。格里斯特与库珀班德提出的不可能图形，其数学意义就是定义了另一组不同的同态映射 h，连接这两个群。

映射 h 的作用逻辑：假设行人初始处于 0 层，我们将行人感知到的楼层对应无限多边形顶点：…,-2,-1,0,1,2,…。

向上一层对应右旋转一格；走到曲面反面对应以 0 点翻转（原本上升三层，翻转后感知为下降三层）。

任取克莱因瓶上一条闭合回路的同伦类 γ，选出代表回路 g，让行人沿 g 走完一圈，记录全程感知到的楼层变化，该变化对应 D∞中的一个元素，记为 h (γ)。由此可得：h (α)=r（上升一层），h (β)=r²f（上升两层并抵达反面）。

由于 h 是同态映射，满足 h (αβ)=h (α) h (β)=r³f，h (βα)=h (β) h (α)=r²fr=rf，二者结果不等。克莱因瓶基本群的非交换性，最终转化为行人行走感知上的非交换差异。

补充：对任意整数 n，方程组 hₙ(α)=r、hₙ(β)=rⁿf 同样能定义一组从克莱因瓶基本群到 D∞的同态映射。课后习题：对每一个整数 n，在克莱因瓶上构造一款不可能图形，使其对应映射 hₙ，与本文图形对应 h=h₂的逻辑一致。

二、镜面草叶片中的沃罗诺伊图

植物叶脉存在多种排布形态，但主流数学模型仅能描述开放式分支叶脉（如下图前三种样式）。《科学博客》https://scienceblog.com/your-houseplant-has-been-solving-an-ancient-geometry-problem-all-along/ 刊发文章《你的室内绿植，一直在破解一道古老几何难题》，介绍了改写这一现状的全新研究。

下图展示叶片叶脉系统的几种典型构型；

图源：维基百科《叶片形态》细节图，遵循 CC BY-SA 3.0 开源协议使用。

该研究于 5 月 12 日发表在《自然・通讯》（Nature Communications） https://www.nature.com/articles/s41467-026-71768-3 ，研究对象为镜面草（学名：Pilea peperomioides）。作者发现，这种植物的叶脉结构可以用纯几何结构沃罗诺伊图（Voronoi diagram）高度近似，并给出了对应的生物学机理解释。

沃罗诺伊图（Voronoi diagrams基础定义

平面内给定一组点集 P={p₁,p₂,…,pₙ}，即可生成沃罗诺伊图：平面被分割为 n 个多边形区域（胞腔 c₁~cₙ），每个胞腔 cᵢ覆盖所有到 pᵢ距离近于集合内其他任意点的区域。

示意图：平面内 10 个生成点及其对应沃罗诺伊图（边界处的胞腔向外无限延伸）；胞腔 cᵢ与 cⱼ的公共边，是两点 pᵢ、pⱼ连线（虚线）的垂直平分线。

配图作者：托尼・菲利普斯。

镜面草叶片中生成沃罗诺伊图的基准点，是一类名为排水器（hydathodes）的分泌小孔。

左图：镜面草叶片实拍，黄色圆点标注排水器，白色线条勾勒叶脉；

右图：以排水器为生成点绘制的沃罗诺伊图（黄色），叠加真实叶脉对照。

图源：《自然・通讯》17:4111 论文图 1d–1e https://www.nature.com/articles/s41467-026-71768-3 ，小幅编辑，遵循 CC BY-NC-ND 4.0 协议使用。

这套相对抽象的几何结构，为何会出现在植物组织里？研究团队将成因归于植物激素生长素（auxin）—— 生长素是诱导叶脉分化的核心物质，排水器节点正是生长素的分泌源头。

当植物组织与生长素的反馈作用较强时，会形成传统开放式分支叶脉；而镜面草的生长素反馈作用微弱：单个排水器分泌的生长素会和周边排水器的生长素相互作用，最终形成分隔空间的脉络通道，也就是沃罗诺伊胞腔。作者通过数值模拟复现了这一发育过程。

计算机模拟生长素塑造脉络的三帧编号图：“高浓度生长素扩散波会在各分泌源中间的等分脊线处相遇，最终形成沃罗诺伊图。”

图源：《自然・通讯》17:4111 论文图 4E1–E3，小幅编辑，遵循 CC BY-NC-ND 4.0 协议使用。

这张由生长素浓度分布计算得出的模拟图，可与纯几何方式生成的沃罗诺伊图相互对照。

补充示意：同步扩张、相互碰撞的圆形区域，边界交汇后自动生成沃罗诺伊图。

配图作者：托尼・菲利普斯。

参考资料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-may-june-2026/

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-created-an-impossible-shape-that-shouldnt-exist/

https://mindmatters.ai/2023/01/how-surreal-artist-mc-escher-influenced-physicist-roger-penrose/

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2014-10

https://arxiv.org/abs/2507.01226

https://people.math.harvard.edu/~landesman/assets/fundamental-group.pdf

https://scienceblog.com/your-houseplant-has-been-solving-an-ancient-geometry-problem-all-along/

https://www.nature.com/articles/s41467-026-71768-3

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