来源：市场资讯
（来源：MathInvestment）
做CTA或者中低频量价的同行，大多都回测过趋势跟踪策略：一根均线、一个突破通道，加上波动率目标，就是一整套能跑的系统。但一个很少被正面回答的问题是：趋势跟踪的收益到底从哪里来？ 是因为市场有"惯性"（自相关），还是因为资产有长期方向（漂移）？短周期的趋势系统和长周期的趋势系统，赚的是不是同一种钱？为什么有的参数组合在样本内很好看，扣掉手续费就归零？
最近读到一篇很扎实的研究工作，把这三个问题做成了可以拿笔算出来的解析结果。作者将业界三大类趋势跟踪实现方式统一到一个框架里，推导出了趋势策略期望收益、夏普比率、换手率、甚至偏度的闭合表达式——也就是说，给定一条收益率序列的自相关函数和漂移，不回测就能写出策略的夏普比率。更有说服力的是，这个闭式公式在84个流动性期货合约上的预测值与实际回测夏普的相关系数达到0.99。
一、研究背景：一个3400亿美元的行业，和它的"黑箱"
趋势跟踪是量化行业最古老的策略之一。上世纪80年代Richard Dennis的"海龟交易班"培养出了一批CTA基金经理，到今天，managed futures（管理期货）行业的规模已经达到3400亿美元（2024年底，BarclayHedge数据），此外还有大量通过投行QIS（量化投资策略）渠道配置的资金。学术界对它的研究同样历史悠久：从1983年Lintner首次证明管理期货能改善组合的风险调整收益开始，AQR、Man Group、CFM等大型机构都发表过对自己趋势模型的分析。
但长期以来，趋势跟踪的业绩归因基本是"黑箱式"的：回测一条净值曲线，然后对着行情讲故事——这段赚钱是因为商品趋势，那段亏钱是因为市场震荡。能不能反过来，从收益率的统计性质（自相关、漂移）直接推出策略的表现？此前有一些局部结果：比如CFM的研究者证明过风险调整后的趋势策略收益等于底层资产长期方差与短期方差之差；也有学者在高斯假设下研究EWMA趋势系统的矩。但一个适用于一般平稳过程的、精确的联系策略表现与自相关函数的解析框架，此前是缺失的。
二、三类趋势跟踪系统：European、American与TSMOM
在展开数学之前，先统一术语。作者根据与CTA管理人的交流和行业实践，把趋势跟踪的信号生成方式分成三类：
第一类是European系统（欧式趋势系统）。仓位是连续的，每天根据信号强度线性调整，信号通常由EWMA滤波器（指数加权移动平均）给出。Man Group、CFM等欧洲大型CTA是这一路线的代表。它的特点是合约数量每天浮动，调仓连续、换手较高。
第二类是American系统（美式趋势系统）。源自北美早期的CTA实践，尤其是海龟交易法。仓位是二元的：突破通道上轨就开多、跌破下轨就反手或止损，中间不动。进场有缓冲带（buffer），出场有移动止损（trailing stop），都以ATR（平均真实波幅）为尺度。信号触发时才交易，平时不调仓。
第三类是TSMOM系统（时序动量系统）。学术界的主流设定，源自Moskowitz、Ooi和Pedersen 2012年的经典论文：过去天收益为正则做多、为负则做空，通常月度调仓。
需要强调的是，"European"和"American"只是行业习惯叫法，与期权的欧式/美式行权无关——欧式系统连续调整仓位，美式系统在离散的突破/止损点位交易。
这三种实现看起来差别很大：连续仓位vs二元仓位、EWMA信号vs突破信号、日度调仓vs月度调仓。但这项研究的一个关键实证发现是：在相匹配的回望期（lookback）下，三者的风险调整表现高度相似，两两收益相关性很强，且与SG Trend Index（跟踪全球前十大CTA的指数）的平均相关性约80%。换句话说，它们货币化的是同一个底层的趋势信号，只是"变现效率"（implementation discount）不同。这也是为什么后文的理论分析可以集中精力在European系统上——因为它仓位连续、信号是历史收益的线性函数，最容易得到精确的闭式解，而结论可以通过实证"迁移"到另外两类系统。
三、基本工具：EWMA滤波器与波动率标准化
3.1 EWMA滤波器
EWMA滤波器是趋势系统最常用的信号提取工具。对序列（可以是价格或收益），平滑参数为（）的EWMA滤波器定义为：
平滑参数与回望期span的关系为：
比如span = 250天对应。对序列无关的数据，EWMA滤波器降低方差的效果与窗口长度等于span的简单移动平均相当，即方差缩减到约。
在此基础上定义方差保持滤波器（variance-preserving filter）：乘上一个载荷系数，使得滤波输出的方差与输入相同：
以及多空滤波器（long-short filter，也称双滤波器）：长周期滤波器减去短周期滤波器，并对两腿分别做方差归一化：
其中载荷由两个span共同决定，保证整个滤波器在白噪声输入下方差为1。多空滤波器的好处是信号更对称、对长期漂移的暴露更小，后文会看到它还能大幅降低换手。
图：不同span组合下EWMA多空滤波器对单位脉冲的响应曲线——单滤波器从当期开始指数衰减，多空滤波器则呈现先升后降的"hump"形态，且长span的滤波器记忆更长。这决定了趋势信号对不同时期历史收益的加权方式。
3.2 波动率标准化收益
整个框架的基石不是原始收益，而是波动率标准化收益：
其中是用EWMA滤波器估计的日度收益波动率（滞后一期，保证可预测性）。可以理解为"对该合约做了波动率目标后的收益"。这一步看似简单，却是全文的枢纽：
第一，它让不同波动率的合约（2%的短端利率期货和30%+的商品期货）可以在同一个量纲下比较；第二，时变波动率会"稀释"原始收益的自相关，标准化之后自相关结构被还原出来，公式只需要作用在的矩上，而不需要对原始收益的过程做任何假设；第三，经验上的方差接近1（比如标普500期货上约为0.96），所以它近似一个单位方差的平稳过程——这正是后面所有解析公式所需要的输入形态。
四、European系统的构建与逐日收益
European系统的完整构造分三步：
第一步，计算波动率标准化收益；第二步，用方差保持EWMA滤波器（或多空滤波器）从中提取信号；第三步，仓位与信号成正比、与波动率目标成正比：
其中是年化波动率目标（例如15%），是年化因子。注意这里波动率目标的作用不是风控，而是为了让信号和收益都在标准化的量纲上。
于是系统的日收益有一个极其干净的乘积结构：
第天的策略收益 = 昨天的信号 × 今天的标准化收益（乘以常数）。这个"滞后信号乘以当期收益"的乘积结构是全篇分析的起点：策略收益天然是历史收益的路径依赖函数，而且它是"信号×收益"的协方差型对象——学过因子研究的同行会立刻意识到，它的期望就是信号与收益的协方差，也就是自相关的加权和。
一个有意思的解释是Kelly准则视角。期货收益是超额收益，Merton问题下的Kelly仓位是，第一项正是资产的夏普比率。而EWMA滤波器作用于标准化收益，估计的恰恰是滚动夏普比率。所以European系统的仓位，本质上是一个与span有关的分数Kelly仓位——只不过Kelly假设收益独立，而这里滤波器作用在序列相关的收益上，这正是理论需要处理的地方。
图：European系统在标普500指数期货上的完整运行状态——上排是快/中/慢三档滤波器信号的时序与分布（标准差都接近1）；中排是15%波动率目标下的仓位（平均为正，反映股指长期正漂移，低波动时期仓位会冲到极值）；下排是策略的累计损益与日收益分布。三个档位的信号形态相似但换手差异巨大。
五、核心结果一：累计收益的精确分解
现在来到全文第一个核心定理。作者证明了一个样本路径恒等式：在期内，European系统的累计收益可以精确地写成几项之和（这里是样本均值，是边界项）：
这四项分别是：样本自相关项、样本方差项、样本均值平方项、边界残差。注意这是一个恒等式而不是近似——对任何一条实现出来的收益路径都成立。边界项的量级约为，在长样本下可以忽略。
对恒等式两边取期望，就得到了总体版本的分解。假设的均值为、方差为1、自相关函数为，则年化期望收益为：
其中是标准化收益的年化漂移（可以理解为底层资产的年化夏普比率）。这个公式给出了趋势收益的两大来源，值得逐字拆解：
通道一：自相关通道。第一项是自相关函数以为权的加权和（减去1）。只要加权自相关为正——即收益存在趋势持续性——即使漂移为零，趋势系统期望上也是赚钱的。反过来，如果自相关为负（均值回复市场），趋势系统期望上亏钱。短span的滤波器权重集中在近滞后阶，所以短期自相关的货币化要靠快系统。
通道二：漂移通道。第二项正比于漂移的平方——注意是平方。这意味着只要有足够大的漂移（无论正负），长span的趋势系统都能赚钱：做多一个长期上涨的资产，或者做空一个长期下跌的资产。的形式也与Merton解中最优增长率正比于夏普比率平方相呼应。
还有一个更漂亮的频域解读。由Herglotz定理，任何平稳过程的自相关函数都是某个谱测度的傅里叶系数，于是自相关生成函数可以写成：
被积函数是以为集中度参数的Poisson核。也就是说，趋势系统的期望收益是对收益率谱的一次"Poisson核读数"：span决定核的带宽，短span读取整个谱，长span只读取零频附近的谱质量。趋势alpha本质上就是低频处的超额谱质量。这个表述把"趋势"这个模糊概念变成了谱分析里的精确对象，也自然解释了为什么长记忆（long memory）过程对趋势系统格外有利——长记忆正是谱在零频附近发散的性质。
六、核心结果二：夏普比率的闭合形式
期望收益无法单独用来比较不同span——因为策略的风险也随span变化。第二个核心结果是日收益的方差（进而夏普比率）的闭式解。
技术上，日收益是"滞后滤波器值×当期标准化收益"的乘积，两者都是历史收益的线性组合，其乘积的方差可以通过Isserlis定理（高斯变量乘积的矩公式）的推广形式解析展开。为此需要假设是一个因果线性过程（Wold分解）：，新息独立同分布、超额峰度为。
定义两个自相关载荷（是中心化自相关生成函数）：
刻画信号与当期收益的协方差（收益项），刻画信号的方差（风险项）。则年化夏普比率为：
其中是峰度载荷——新息的超额峰度只通过这一项进入公式，且它会降低夏普的绝对值。这个公式有几个值得注意的性质：它与波动率目标无关、与滤波器载荷无关，策略设计被完全压缩成span的一元选择——给定收益过程的自相关函数和峰度，公式直接告诉你哪个span最优。
再叠加交易成本。定义波动率标准化换手，在独立高斯假设下，单滤波器的年化信号换手有闭式解：
即换手与成反比——慢系统的换手天然更低。设每单位换手的比例成本为，净夏普比率为：
成本拖累同样与波动率目标无关，只取决于成本水平、span和过程的自相关结构。这组公式把"毛夏普—换手—成本—净夏普"的整条链都闭式化了。
七、三个数据生成过程下的案例推演
理论公式长什么样，套到具体过程上才有感觉。作者依次考察了白噪声、AR-1和ARFIMA三个过程，每个都用1000条50年路径的Monte Carlo仿真验证解析结果（解析值全部落在MC的95%置信区间内）。
7.1 白噪声：趋势系统赚不到"震荡市"的钱
若收益是带漂移的白噪声，在零滞后之外全为0，自相关通道完全关闭，期望收益只剩漂移项：
两条规则值得记住：第一，零漂移的纯噪声市场上，任何span的趋势系统期望收益都是零（扣成本必亏）；第二，夏普比率随增长，在一年span附近约等于底层资产夏普比率的平方——一个夏普0.5的资产，一年期趋势系统大约给出0.25的夏普。漂移alpha是"慢钱"。
图：白噪声过程下趋势系统的期望年收益、毛夏普与净夏普随漂移和span的变化——零漂移曲线恒为零（净夏普为负，纯粹是成本拖累，从1周span的-0.34收窄到2年span的-0.04），漂移越大、span越长，夏普越高。
7.2 AR-1：短期自相关的"刀刃"性质
AR-1过程的自相关是几何衰减。时市场发散（趋势市），时市场均值回复。代入自相关生成函数，，期望收益为：
零漂移下，时收益为正、时为负，且span越短自相关贡献越大——短期自相关是"快钱"。夏普比率有精确闭式（零漂移、）：
但净夏普揭示了一个刀刃性质（knife-edge）：毛夏普和成本拖累都以的速度衰减，两者相除后，盈亏平衡成本几乎与span无关：
对，盈亏平衡成本在1周到2年的全部span上只在37bp到41bp之间变动——恰好贴着现实交易成本（40-60bp）的下沿。这意味着短记忆自相关alpha在扣除摩擦后基本不可收割。这也定量地回应了一个理论问题：统计测度下的收益可预测性与无套利并不矛盾——可预测性存在，但小到无法覆盖摩擦。而当成本接近盈亏平衡点时，最优span发散、可达净夏普趋零：对一个勉强盈利的短期alpha，最优应对是用越来越慢的filter去交易它。
7.3 ARFIMA：长记忆才是真正的"慢趋势"来源
ARFIMA（分数阶积分滑动平均过程）同时携带短期均值回复和长期记忆，其自相关的长滞后尾部以幂律缓慢衰减（时为正）。一个漂亮的副产品是纯分数过程的自相关生成函数有超几何函数形式的闭式解：。
取（对应一阶自相关，正是实证中84个期货合约的典型水平）的数值结果显示：长记忆本身就足以让趋势系统盈利，即使叠加短期均值回复（），只要span超过一个月，系统仍然盈利。这与直觉一致——快系统被短期反转打脸，慢系统却能读到零频附近的长记忆谱质量。
）时快span最优（净夏普0.68，随span递减）；纯长记忆时净夏普呈驼峰形，在1-3个月span处取内点最大值0.19；短期均值回复叠加长记忆时，净夏普要到3-6个月的慢span才转正。一张图展示了成本调整后span选择的三种 regime。
三个过程合起来，给出了span选择的基本权衡：漂移贡献随span增长，短期自相关贡献随衰减。短filter收割短期自相关，长filter收割漂移与长记忆。对兼具多种特征的真实过程，夏普公式把span选择变成了过程参数的显式函数。
八、实证：84个期货合约上的全面检验
理论再漂亮，也要过市场这一关。实证部分使用84个高流动性期货合约，覆盖股指、国债、短端利率、外汇、能源、金属、农产品七大类，最长样本追溯到1959年；交易成本按资产类别和年代分档设定（例如1992年前的商品单边58bp，2003年后降至10bp）。波动率估计用33天EWMA，滤波器span从5天到520天。
8.1 三类系统确实在复制同一个alpha
在相匹配的参数下（European和American取长/短span = 250/20，TSMOM取10×10日），三套系统在2000-2026年的表现与SG Trend Index几乎无法区分：年化夏普分别为0.47、0.50、0.55，指数本身0.47，Ledoit-Wolf检验无法拒绝任何一对夏普相等的假设。三系统与指数的平均相关性约80%，European与American之间高达95%。差异主要在微观结构：American系统只在突破/止损时交易，换手和成本比连续调仓的另外两家低约50%。作者的实务建议也由此而来：无论用哪种框架，引入一些离散化规则都是划算的。
图：三套系统与SG Trend Index的全面对比——累计对数收益、回撤、相关性、年度收益热力图、滚动换手与滚动成本。注意60/40组合表现最差的16%季度（粉色背景）中，趋势系统多数时候能赚钱，这就是它对股债组合的对冲价值；同时American系统的换手和成本曲线明显低于另外两套。
8.2 闭式公式预测实现夏普：相关0.99
这是最硬核的检验。对每个合约，用全样本估计的自相关函数（至780阶）和样本漂移，代入夏普闭式公式，预测该合约在各个span下的毛夏普，再与真实回测对比：
European系统：合并相关系数0.99，回归斜率0.96——公式几乎一比一复现了实现夏普；
TSMOM系统：相关0.89，斜率0.73，接近高斯符号函数的理论基准（Bussgang定理）——sign变换带来的"变现折扣"是可解析预测的；
American系统：一个月以上span的相关0.92，斜率0.61——止损和缓冲带造成的折扣更大，但慢span下收敛到预测值。
图：84个合约×多个span下，闭式公式预测的夏普（横轴）与回测实现的夏普（纵轴）的散点对比——European系统的点几乎贴在对角线上，TSMOM和American系统则系统性地落在对角线下方，这个"斜率差"就是非线性实现方式相对线性信号的变现折扣。
8.3 归因：趋势alpha主要是自相关现象
把预测值拆成"仅自相关通道"和"加上漂移通道"两部分，按span看中位数：自相关通道贡献的夏普从5天span的0.55降到2年span的0.33，漂移通道最多再加0.08且随span增大。也就是说，流动性期货上的趋势收益，首要来源是收益的自相关（趋势持续性），漂移是随span增长的次要来源——趋势alpha的构成从短span的"自相关"逐渐迁移到长span的"漂移"。另一个值得警惕的发现：全市场的一阶自相关从1990年代的约0.04下降到2010年后的约0.01——趋势策略的整体环境在变"薄"，但由于自相关结构变化缓慢，用滚动窗口估计自相关函数、再做条件化的span选择是可行的。
图：按span分解的预测夏普中位数——蓝色线是仅自相关通道的预测，橙色线加上漂移通道，黑色线是回测实现值。三套系统的实现值与预测线的"折扣形态"各不相同：TSMOM全程平行低一档（sign变换折扣），American在慢span收敛（止损在快span拖累更大）。
九、一个 bonus：趋势收益的偏度为何为正
CTA常被营销为"做多波动率""具有正偏度""危机alpha"。这项研究给了正偏度一个结构性解释：日收益是"滞后信号×当期收益"的乘积，日累计收益因此加载在标准化收益的实现自协方差上，是对"实现趋势"的凸 payoff。在白噪声下作者推导了日收益偏度的闭式解：时为零，时处处为正（尽管期望收益为零），呈驼峰形、峰值约在滤波器span的一半附近，且与载荷和波动率目标无关。仿真显示AR-1、长记忆过程的偏度曲线都收敛到同一条白噪声闭式曲线——正偏度主要是滤波器设计的结构性质，而不是数据生成过程的性质。这解释了为什么各种参数、各种市场下的趋势系统，季度尺度上都呈现类似的正偏形态。
的解析曲线与Monte Carlo验证（峰值在span的一半附近）；中图显示三种过程下偏度收敛到同一闭式曲线；右图是84个真实期货合约的经验偏度（中位数与四分位带），与白噪声闭式解高度吻合。
十、对量化研究员的几点启示
第一，业绩归因可以公式化。以后看一条CTA净值，可以先问两个输入：底层的自相关函数长什么样？漂移有多大？前者决定快系统能赚多少，后者决定慢系统能赚多少。归因从"讲故事"变成"算加权自相关"。
第二，短周期趋势alpha要谨慎对待。AR-1型短期自相关的盈亏平衡成本几乎不随span变化，且贴着现实成本的下沿。如果你的信号来自短记忆自相关，成本假设差10bp，结论可能反转。
第三，span选择是显式的优化问题，不是网格搜索的玄学。漂移项随span涨、自相关项随跌、成本项随跌，三者的合力决定了内点最优还是角点最优。实证中1-3个月span在长记忆标的上呈驼峰最优，正是这个权衡的体现。
第四，实现方式的"变现折扣"是可量化的。sign变换（TSMOM）约打8折，突破止损（American）约打6折但省一半换手。线性连续信号是alpha的"满血形态"，离散化省成本、非线性损效率，取舍可以算清楚。
第五，多空滤波器和慢系统的组合在成本上更友好：单个250天滤波器的信号换手约393%/年，而多空滤波器LS(250,20)只有88%/年——两条腿对当期新息的载荷相同，在信号增量中精确抵消。
第六，正偏度不需要"市场恐慌"来解释。它是"信号×收益"乘积结构的内在性质，峰值出现在span一半左右的聚合期。评估CTA产品的偏度特征时，应该先问它的span分布。
结语
这项研究把趋势跟踪这个"老策略"的第一性原理补全了：期望收益是滤波器加权的自相关加上漂移平方，夏普比率有闭式解，换手、成本、净夏普、偏度全部解析可达，而且在84个合约上经受住了0.99相关的实证检验。对从业者来说，它提供的不是又一个信号，而是一套"给定市场统计性质、解析设计趋势系统"的工程语言——在趋势环境持续变"薄"（一阶自相关从0.04降到0.01）的今天，这种语言比任何单个参数组合都更有价值。
参考文献
Sepp, A., & Lucic, V. (2026). The Science and Practice of Trend-Following Systems. arXiv preprint arXiv:2607.19497.
Moskowitz, T. J., Ooi, Y. H., & Pedersen, L. H. (2012). Time series momentum. Journal of Financial Economics, 104(2), 228-250.
Hurst, B., Ooi, Y. H., & Pedersen, L. H. (2013). Demystifying managed futures. Journal of Investment Management, 11(3), 42-58.
Dao, T. L., Nguyen, T. T. N., Deremble, C., Lemperiere, Y., Bouchaud, J. P., & Potters, M. (2017). Tail protection for long investors: Trend convexity at work. Journal of Investment Strategies, 7(1), 61-84.
Martin, R. (2023). The term structure of the skew of momentum trading. Risk, May 2023.
Carver, R. (2023). Advanced Futures Trading Strategies. Harriman House.
热门跟贴