泛函分析的诞生
泛函分析数学分支是在19世纪的经典分析和数学的其他分支，如变分法、微分方程、积分方程、集合论等发展、研究的基础上，于20世纪初产生，在20年代至30年代间形成的。
泛函分析是研究无限维抽象空间及其分析的学科，可看成是无限维空间上的微积分学。无限维空间是欧几里得空间的推广。研究具有无限多个自由度的力学系统的连续介质力学，就要用无限维空间的点来表示系统的状态。
泛函分析的思想最早出现在贝努利和欧勒所研究的最速降线问题中。人们认为变分法和积分方程是泛函分析的两个源头。
如果说微积分是研究以数x为自变元的函数f(x)，那么变分法则是研究以函数y为自变元的函数J［y］。函数y也可被视为"点"。20世纪初，阿达玛在从事变分法研究时，首先将这种函数的函数J［y］称为"泛函"，即最先提出了泛函数的概念。他的《变分法教程》为泛函分析奠定了一定基础。
这一时期，在研究阿贝尔积分方程以及沃尔泰拉型积分方程的基础上，瑞典数学家弗雷德霍姆(1866-1927)对积分方程理论又作了更深入的研究。1904年至1906年，德国数学家希尔伯特在积分方程理论的研究方面完成了6篇论文，获得了比弗雷德霍姆更富实质性的结果。他利用正交展开将积分方程求解问题化为无限阶线性方程组的求解问题，并引入无限维欧几里得空间，给出了这种空间的一些重要概念。他们的工作为泛函分析的建立作了重要的准备。
也在这一时期，法国数学家弗瑞歇(1878-1973)利用当时集合论的成果，把函数组成的无限集合作为研究对象，第一次提出了函数空间的概念，奠定了抽象空间理论的基础。1906年，他把欧氏空间的距离概念抽象化，定义了度量空间，并利用柯西收敛准则提出完备化思想。后来，在弗瑞歇工作的基础上便有了"希尔伯特空间"的理论。弗瑞歇的研究指出，泛函可以进行代数运算，也可以进行分析运算，这就产生了泛函分析。
1922年至1923年，波兰数学家巴拿赫(1892-1945)提出了范围更广的一类函数空间——巴拿赫空间的理论。1932年，巴拿赫在《线性算子论》一书中统一了当时泛函分析的众多成果，成为泛函分析的第一本经典著作。
之后，泛函分析被结合到许多数学、物理具体问题的研究中，物理问题如流体力学中的刘维尔-斯托克斯方程，气体动力学方程和玻尔兹曼方程等的研究，还有量子力学方面。量子力学诞生过程中出现了海森堡矩阵力学和薛定谔的波动力学两种形式，前者用平方可积序列空间，后者用平方可积函数空间来描述状态，后来证明，两个空间都是希尔伯特空间，而且彼此等价。
冯.诺依曼为了给量子力学提供严格的数学基础，于1929年至1932年，正式引入了抽象希尔伯特空间的概念。鉴于物理学中可观察量以及奇异积分方程、微分方程中出现的重要算子都是无界的，他引入了新的算子概念，给出了无界自共轭算子、酉算子及正常算子的谱分解，发现了对称算子和自共轭算子的区别，证明了量子力学体系的数学描述本质上只有一种。冯.诺依曼系统的、奠基性的工作对量子力学和泛函分析都是重要的。
运用泛函分析的理论和方法于数学、物理问题的研究，又进一步推动了泛函分析的发展。理论物理学对泛函分析的产生和发展所起的作用，正如微积分的产生和发展过程中，经典力学所起的作用一样。物理和数学的这种相互促进的关系，是现代物理学也是现代数学发展的一个特点。
巴拿赫的《线性算子理论》的出版和冯.诺依曼谱理论的出现，标志着泛函分析已成为数学的一门独立的分支学科。
在后来的发展中，通过不断地从其他学科所提供的素材中提取自己的研究对象，并不断充实自己的研究手段，泛函分析又逐渐形成了许多分支，如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等。同时，它也推动了其他学科的发展。在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中，泛函分析都有重要的应用。它的观点和方法还渗入不少工程技术学科中。
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