《人类科学技术史-366》拓扑学的发展|几何学|定理|微分|拓扑学

拓扑学的发展

拓扑也是19世纪数学的发展结晶出的一个新的数学分支。拓扑的前称是位置分析，是研究几何图形在被弯曲、拉大、缩小或任意形变下仍然保留的那样一些性质(这种性质也称拓扑性质）。而对"任意形变"应加的限制是，在图形变换过程中，原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点也不能分开，每点附近的点经变换后仍在该点附近。这种变换和它的逆变换都是连续的一一对应，就称为"同胚"。在拓扑学中，一个图形与稳定同胚的图形成为拓扑等价。拓扑学就是研究不同图形的拓扑性质以及拓扑分类等问题。

照20世纪的理解，拓扑分成两个有些分立的部分，即点集拓扑和组合拓扑(或代数拓扑）。前者把几何图形看作点的集合，又把整个集合看作是一个空间；后者把几何图形看作是由较小的构件组成的。在研究那些极广泛的几何结构时，组合拓扑也要用点集拓扑的概念。

法国数学家弗雷歇在1906年发表的博士论文中，把函数作为一个"点"来看，并把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托尔(1845-1918)的点集论和分析学的抽象化联系了起来。弗雷歇在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了纷性距离空间的理论。点集拓扑学是在弗雷歇工作的基础上产生的。希尔伯特空间、巴拿赫空间的引入以及泛函分析的兴起，进一步推动了点集拓扑的形成和发展。

19世纪末，组合拓扑中发展得较为完善的唯一区域是闭曲面理论。最先系统地一般地探讨几何图形组合理论的是彭加勒(1854-1912)，他被公认为是组合拓扑学的奠基人。1895年至1904年间，他发表了一系列有关的论文。彭加勒把点、线段、面等推广为标准构件——单形，把所有图形都分解为单形的组合——复形，并引进了流形、边缘、链、贝蒂数、挠系数、示性数等概念，另在区别复形时，引进了复形的基本群(也称为彭加勒群或第一同伦群）。他的工作对拓扑学的形成和发展起了相当重要的作用。

这位杰出的数学家同时还是一位杰出的物理学家，他数学方面的著作涉及几乎所有的基本领域，物理学方面的工作也涉及到动力学、流体力学、电磁理论、理论物理以及天文学等诸方面。

通过研究函数论问题对拓扑产生兴趣的布鲁温和美国数学家亚历山大(1888-1971）等在拓扑的这一段发展中都作了许多重要工作。20世纪20年代末，人们把群和环等抽象代数结构作为拓扑不变量引入，并引进了同调群、同伦群概念。同调、同伦概念的引进，使拓扑学的内容更加深化。1939年到达美国的波兰数学家爱伦堡(1915-)与斯廷罗德(1910-1971)合作，于1944年将同调论公理化，结束了同调论发展中的混乱局面，推动了拓扑学的进展。

这期间，还严格定义了微分流形的概念，并证明了微分流形的一些有关定理。微分流形是曲线、曲面概念的推广，它们的局部都可以看成是欧几里得空间，通过不同的方式连接起来就可以连成不同的流形。从局部看，它们没有什么不同，但这些元件连接方式的不同，在整体上将差别很大。微分拓扑学就是研究微分流形的拓扑学。40年代后，拓扑学渗透到所有数学领域中，并影响到物理学、化学和生物学。

历史上的"四色问题"，后来才发现它是一个拓扑问题。所谓四色问题可以表述为：给平面或球面上的地图着色，只要四种颜色便足够了，就能使任何两个具有至少一条曲线公共边界的国家都被涂上了不同的颜色。四色问题也称作"地图问题"，是1852年时，伦敦大学的研究生古斯里(1831-1899）提出的。经验使人们觉得这个猜测很有道理，因为还没有一种地图需要四种以上颜色来着色的，但若少于四种颜色，就肯定不够了。但这个貌似平常的常识性问题，在暗示这样一个数学定理：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域，总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。所谓"相邻"区域是指有一整段边界是公共的，两个区域只相遇于一点或有限多个点就不能称其为"相邻"。古斯里的弟弟将这个猜测告诉了他的老师，当时伦敦大学的教授德.摩尔根(1806-1871)，摩尔根未能提出证明。1879年，肯普在《美国数学杂志》上发表了对四色问题的一个"证明"。然而，约十年后，希伍德在伦敦《数学季刊》上指出了肯普推证中的错误，并给出了他的一个证明。但希伍德只能证明：用五种颜色给平面或球面上的地图着色是足够的。许多数学家后来在四色问题上作了工作，虽有一定进展，但均未彻底解决。