女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
许多传统的伊斯兰几何图案都以一个大型中央玫瑰花纹饰为特征，其周围环绕着一圈八个小卫星玫瑰花纹饰。我们提出一种构建此类风格图案的技术，该技术可适用于比历史上所实现的更大的玫瑰花纹饰。我们将这些玫瑰花纹饰之间的区域分解为不同的特征区域，称为基本形状，并展示如何用接近正多边形的多边形填充每个基本形状，从而适用于采用“多边形相接法”进行纹饰构建。
引言
伊斯兰几何图案通常围绕星形和玫瑰花纹饰等旋转对称性元素进行排布。一个常见的设计目标是构建以单个大型玫瑰花纹饰为中心的构图。例如，图1(a)中的设计便是以一个中央24臂玫瑰花纹饰为核心；该玫瑰花纹饰的中心为一颗黑色星形，周围环绕着24片蓝色“花瓣”，每片花瓣上装饰着一个小黄色风筝形。八个16臂玫瑰花纹饰围绕在中心周围。
历史上的图案中包含了多达96个瓣尖的玫瑰花纹饰；卡斯特拉（Castera）[4] 提供了大量各种尺寸玫瑰花纹饰的实例。他还展示了将这些高度对称的星形与玫瑰花纹饰同周围图案相协调所面临的挑战——周围图案通常由源自八芒星的简单得多的形状组成。
图1：（a）一个伊斯兰图案，中央为24臂玫瑰花纹饰，周围环绕八个16臂卫星玫瑰花纹饰，改编自布赖恩·威奇曼（Brian Wichmann）[8]的一幅绘图；（b）此类构图的示意图。
图2：基本形状。
在我们的工作中，我们力求远远超越96个瓣尖的局限，创作出以数百甚至数千个瓣尖的中央玫瑰花纹饰为特色的新图案。更大的玫瑰花纹饰往往会加剧过渡区域中单个纹饰向周围图案衔接时的变形，这为研究如何分散、隐藏或最小化这种变形创造了新的机遇。
此前，我们曾通过在大型玫瑰花纹饰周围增加同心几何环带的方式来规避许多此类问题，得到了在美学上饶有趣味但非传统的成果[1]。在本文中，我们则更严格地遵循传统图案的结构。特别是，我们注意到一个大型中央玫瑰花纹饰几乎总是被一圈八个中等大小的“卫星”玫瑰花纹饰所环绕。图1(a)中的示例即具有这种形式，图1(b)也以示意图方式展示了该结构。由此自然得出，中央玫瑰花纹饰的瓣尖数应为8的倍数。以当前年份为例：因为2024 = 8 × 253，我们或许希望创作一个中央为2024瓣尖玫瑰花纹饰的设计。我们已开发出一种专门针对此类布局的构建技术。这是一种计算机辅助的手动技术，其基础是将中央玫瑰花纹饰与其卫星纹饰之间的间隙区域分解为易于处理的“基本形状”（如图1(b)所示），并开发标准化策略，用接近正多边形的多边形来填充这些形状。之后，便可利用“多边形相接法”[3, 6]对这些多边形进行传统纹饰的装饰。在本文中，我们将介绍该技术，并将其应用于一个192臂中央玫瑰花纹饰搭配112臂卫星玫瑰花纹饰的示例，所有纹饰均置于八角形边框之内。
图案结构解析
在“多边形相接法”中，玫瑰花纹饰是作为纹饰单元应用于一个正多边形内部的。随着玫瑰花纹饰尺寸的增大，其对应的多边形会越来越接近于圆形。因此，我们以一幅抽象示意图作为设计过程的起点：一个圆形周围环绕着一圈八个与之相切的较小圆形。我们将这些圆形置于一个八角形边框内，这样便于向周围任何纹饰进行过渡。该示意图如图1(b)所示。
这种起始布局留下了三种不同形状的间隙区域，需要用多边形填充。每种形状各有一个示例被着色：鸢形（黄色）、埃菲尔形（红色）和钝角形（蓝色）。它们也单独显示在图2的顶行中。每个形状都由三条曲线界定，这些曲线要么是圆弧，要么是直线。我们进一步分解这些形状，如图2左下角所示，得到右下角所示的另外三个“基本形状”：扇形、D形和半扇形。我们将为这些基本形状开发专门的策略，用接近正多边形的多边形进行填充。请注意，这些形状是理想化的可视化表示。尽管扇形和半扇形具有尖点，表示相邻圆之间的切点，但我们的图案将在与玫瑰花纹饰相关的大正多边形之间留出一条由多边形组成的细小通道。
修改后的 [3.6.3.6] 图案
在本工作中，我们使用阿基米德镶嵌 [3.6.3.6] 的修改版本来填充基本形状，如图3(a)所示。在该镶嵌中，每个顶点都由交替的等边三角形和正六边形环绕。这种镶嵌具有三个方向的断层线，因此能够自然地适应图案结构中直线或平缓弯曲的边界。我们通过在镶嵌中引入缺陷来转移这些断层线。具体而言，我们将六边形替换为五边或更多边的多边形，将三角形替换为正方形，如图3(b)中的示例所示。
图3：（a）[3.6.3.6] 镶嵌图案；（b）当单个瓷砖被其他近正多边形替换时产生的一些修改后的瓷砖拼块。
图4：使用7-5对修改[3.6.3.6]镶嵌图案。（a，b）一对7-5组合会在两个断层线方向上产生分支，（c）从而在第三个方向上延长六边形行。（d）一系列7-5对可以将一组瓷砖弯曲成一个环形。
图5：（a）一块楔形修改[3.6.3.6]拼块，带有（b）用于形成平滑末端的封盖。
这些修改后的[3.6.3.6]镶嵌图案具有很强的适应性。例如，图4展示了当两个相邻的六边形被一个七边形和一个五边形替换时（我们将这种配置称为“7-5对”），周围镶嵌图案的表现。在两个断层线方向上，7-5对将一行六边形一分为二，如图4(a,b)所示；这一变化导致第三个方向上每行的大多边形数量增加，如图4(c)所示。7-5对还会给图案引入轻微的弯曲；一系列这样的对可用于构建一个环形（图4(d)）。这些拼块中的多边形并非完全规则，但已通过算法松弛过程进行了优化，使其尽可能规则。
扇形和半扇形基本形状要求我们用小块瓷砖填充楔形区域。图5(a)展示了如何通过逐步插入7-5对来实现这种扩展。这些基本形状将以一条大致垂直的边界曲线收尾，该曲线与[3.6.3.6]镶嵌图案中的断层线方向不相容。不过，我们可以使用一排交替的五边形和七边形，如图5(b)所示，来封闭该楔形区域。
图6：（a）玫瑰花纹饰的间距；（b）正多边形的内切圆半径。
图7：当两个大正多边形的边数分别为8的偶数倍（a）或奇数倍（b）时，填充它们之间的空间。
一个192瓣尖的玫瑰花纹饰
在本节中，我们将使用上文介绍的技术，用修改后的[3.6.3.6]镶嵌图案填充基本形状，从而构建出一个基于中央8×24=192臂玫瑰花纹饰的完整图案示例。
如图6(a)所示，该玫瑰花纹饰将内接于一个以A为中心的正192边形中。192是8的偶数倍；因为我们希望直线AC穿过正192边形一条边的中点，因此直线AB也必须穿过另一条这样的中点，进而我们希望A和B处的多边形彼此相对，边与边相对。于是，我们可以使用图7(a)所示的配置之一来分隔这两个多边形（而图7(b)则用于处理8的奇数倍情况）。
在本例中，我们选择用一个正六边形来分隔A和B处的多边形；这个六边形对应于基本形状在此汇合形成的尖点。设R为多边形A的内切圆半径，如图6(b)所示。假设我们的正多边形边长为单位长度，则可推得R = cot(π/192)/2，约为30.555。设r为B处正多边形的内切圆半径。利用正六边形的高度为√3这一事实，通过基础三角学可知，sin(π/8) = (r + √3/2)/(30.555 + √3 + r)，由此可得r约为18.612。若玫瑰花纹饰B有n个臂，则tan(π/n) = 0.5/18.612，最接近的整数解为n=117。但为了构建我们的图案，我们希望n为8的偶数倍，因此建议将玫瑰花纹饰B及其对称副本的臂数“取整”为112臂。
图8：（a）鸢形间隙的间距；（b）填入三角形后；（c）填充尖点。
在图6(a)中，∠ABC覆盖了一个圆的3/16，这意味着B处的多边形在与A和C处多边形的相邻切点之间将有112的3/16，即21条边。因此，间隙中的鸢形将有一条由24条边构成的曲线和两条由21条边构成的曲线，如图8(a)所示。我们用两个六边形和一对三角形来分隔鸢形的尖点。然后，我们开始在交替的边上放置等边三角形，以此将鸢形进一步划分为更小的多边形，如图8(b)所示。
我们继续填充鸢形区域，从尖点开始向内推进，如图8(c)所示。我们使用第一作者编写的交互式绘图软件[2]手动放置多边形。我们根据对应三角形顶点之间的距离来决定每一步使用何种多边形。一般情况下，我们无法放置正多边形，但该软件使用松弛过程来均匀分布误差，通常能产生可接受的结果，使不规则性不那么明显。
图9：继续填充鸢形区域。
当我们从尖点向内添加多边形时，通常可以通过目视判断下一步适合放置什么。在图9(a)中，间隙距离已经增大到足以使跨接该间隙的单个多边形过度变形。因此，我们放置了一对五边形。它们之间的夹角对于等边三角形来说过大，所以我们改用正方形。在图9(b)中我们继续填充。对于足够大的鸢形，我们会到达一个点，此时未填充的空间类似于一个较小的倒置鸢形，然后我们可以递归地填充它（图9(c)）。
如图10(a)所示，我们可以用一个鸢形填充埃菲尔形的大部分区域，余下一个月牙形（D形）和两个钝角形。我们通常用七边形填充钝角形，如图10(b)的右臂所示。埃菲尔形内部的钝角形比外部的小。它还多了一条弯曲的边，但该边的曲率很小，在填充该角时可以将其视为直线。对于更大的玫瑰花纹饰，我们只需在离开钝角形的尖点后让半扇形更快地扩展即可。为了填充靠近八角形边框顶点的钝角形，我们像之前一样开始，在交替的边上添加三角形。我们在角上放一个七边形，两侧各放一个五边形。这种配置如图11(a)所示，同时还有一个用六边形填充尖点附近区域的尝试。这些六边形被拉伸得过于严重，我们通过用沙漏形的三角形配置连接尖点来解决这个问题，如图11(b)所示。该配置将三角形的位置切换到包围形状边界上的另一组多边形边，这也使得我们能够插入一个变形较小的七边形，并完成图11(c)中的填充。
图10：为了填充埃菲尔形，（a）我们首先填充其中包含的鸢形，（b）然后填充其两臂中的两个钝角形。
图11：填充外侧钝角形。
月牙形（D形）是一种特殊的基本形状，因为它没有尖点；相反，它的角为60°。图12(a)显示了一个小的月牙形。在我们192臂玫瑰花纹饰图案中的月牙形（图12(b)）开始时非常浅，并保持较低的高度。因此，我们从一个7-5对开始，过渡到一行半，最后到两行六边形。我们可以通过进一步延伸中心部分来增加其宽度。图11(c)和图12(b)都展示了我们如何在需要时添加三角形作为填充物。
图12：（a）一个相对较小的月牙形（D形），（b）在我们192臂玫瑰花纹饰中使用的月牙形。
图13：从[3.6.3.6]过渡到[4.8.8]——两种边类型及角部处理。
最后，我们必须将八角形外框嵌入一个由更小瓷砖构成的区域中。与我们之前的工作[1]类似，我们创建了一个过渡区域，该区域从修改后的[3.6.3.6]镶嵌图案过渡到由八边形和正方形构成的[4.8.8]阿基米德镶嵌图案（图13）。我们根据[3.6.3.6]镶嵌图案的断层线是平行于[4.8.8]镶嵌图案中正方形的边，还是与其成45°角，来使用两种不同类型的过渡。在大的八角形外框的角部，我们必须协调这两种相对方位。这些角部可以呈现不同的形式，具体取决于[3.6.3.6]镶嵌图案在该处是三角形还是六边形，以及它们与八边形的交汇方式。图14左侧以灰色阴影显示了一个示例，该图展示了完整的组装。基本形状以及两种过渡类型均以不同颜色阴影表示。在右侧，我们应用多边形相接法为所有多边形生成纹饰，并在大正多边形中放置玫瑰花纹饰。设计的其余部分通过对称性完成，完整的图纸包含在补充材料中。
图14：最终设计。我们组装各个基本形状，（a）用较小的多边形填充，然后（b）使用多边形相接法为每个瓷砖生成纹饰。
请注意，在八角形外框与周围[4.8.8]镶嵌图案之间的[3.6.3.6]瓷砖条带中，我们偶尔使用了7-5对。包含这些配对有助于更轻松地保持所有瓷砖的边长一致。
如果我们将完整设计打印在一张信纸大小的纸上，单个瓷砖通常太小，难以看清。我们鼓励读者放大补充材料中包含的完整设计部分，以查看精细细节。还有几种备选设计，具有不同角度的玫瑰花纹饰，以及一些带有星形的设计。我们还包含了一个带有2024臂玫瑰花纹饰的设计；在那种情况下，目前尚不清楚任何打印版本是否足够大，足以让人欣赏到完整的设计。
结论
与其他许多装饰传统一样，伊斯兰几何图案的发展有时被归因于“虚空恐惧”（horror vacui），即对空白的、未经装饰的表面的厌恶（贡布里希更偏爱用更乐观的“无限之爱”［amor infiniti］一词［5］）。当然，这些图案满足了我们对无限之爱的追求，它们连接着一份至今仍令我们着迷的遗产，并激励我们去探索同样风格的新构成。
本文所展示的工作，是基于修改后的［3.6.3.6］镶嵌图案，用多边形填充了玫瑰花纹饰之间的间隙区域。其他体系也是可能的；例如，基于［4.8.8］镶嵌图案的填充方法也值得探索，可使用如图15所示的装置来构建楔形排列的瓷砖。更有雄心的设想是，我们或许可以构想一种通用的程序，能够自动填充间隙区域。例如，可以在一个区域内构建带约束的德劳内三角剖分［7］，并通过对其三角形进行分组来提取大型多边形。
图15：扩展[4.8.8]的两种方式。这些方式类似于[3.6.3.6]中的7-5对。
除了使用八角形边框之外，将中央玫瑰花纹饰及其卫星纹饰放置在八芒星和“萨夫特”（safts）骨架内也值得探索，正如卡斯特拉（Castera）所提出的将大型玫瑰花纹饰融入图案的技术[4]那样。另一种此类框架将使整个构图更容易嵌入更大范围的“泽利吉”（zellij）风格瓷砖区域中。
参考文献
[1] J. Berglund and C. S. Kaplan “Beyond the Great 96.” Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 1–3, 2021, pp. 31–38. http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-31.html.
[2] J. Berglund. Tracer. 2024. http://johndberglund.github.io/traceGit/.
[3] J. Bonner. Islamic Geometric Patterns. Springer, 2017.
[4] J. M. Castera. Arabesques: Decorative Art in Morocco. ACR Edition, 2009.
[5] E. H. Gombrich. The Sense of Order: A Study in the Psychology of Decorative Art, Second Edition. Phaidon, 1984.
[6] E. H. Hankin. “The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art.” Memoirs of the Archaeological Survey of India, no. 15, 1925, pp. 1-22
[7] J. R. Shewchuk. “Triangle: Engineering a 2D quality mesh generator and Delaunay triangulator.” In Workshop on applied computational geometry, pp.203–222. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.
[8] B. Wichmann. Hotel Lamrani, Fez. 2024. https://tilingsearch.mit.edu/HTML/data196/N3.html.
[9] John Berglund and Craig S. Kaplan. Large Islamic Rosettes in an Octagonal Frame
最后照例放些跟张大少有关的图书链接。
青山 不改，绿水长流，在下告退。
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