协和医院神经外科住院医师金山木近日发表预印本论文，借助AI证明了困扰数学界22年的克鲁瓦猜想。
在AI的辅助下，越来越多“外行”，正不断突破曾经只属于顶尖专家的高墙。
撰文 | 郭雪梅
白天写病历、跟手术，晚上让AI自主推演数学定理 ， 这并非 科幻 情节 ，而是一位神经外科住院医师的真实日常。
近日，美国康奈尔大学数学系 副 教授Alex Townsend 将一篇拟刊发于SIAM News的文章公开在其个人网站上。文章介绍，北京协和医院神经外科的住院医师金山木（Shanmu Jin）使用GPT-5.6 Sol（ChatGPT Work模式）证明了困扰数学界22年的克鲁瓦（Crouzeix）猜想。
经Townsend、华盛顿大学数学家Anne Greenbaum，以及猜想提出者Michel Crouzeix本人逐一核验，三方一致确认：推导严谨，逻辑成立。
一名未接受系统数学训练的临床医生，借助大语言模型攻克了纯数学领域的顶级难题。这不仅震动了数学界，或许也为医生、医学生指明了新的发展方向。
Alex Townsend 文章截图
利用AI攻克数学难题
据Townsend在SIAM News发表的文章中回忆，今年 7月30日， 他像往常一样 使用ChatGPT 5.6尝试推导克鲁瓦猜想 。 在此之前，该模型要么给出漏洞百出的证明，要么在关键引理处卡壳。
但这一次， AI 推送了一篇三天前上线的预印本论文 。 论文 标题为 The Numerical Range Is a 2-Spectral Set ，作者栏写着：Shanmu Jin。
Townsend与本文另一位作者、华盛顿大学数学家Anne Greenbaum起初 满是疑惑，这是因为这个猜想已悬置二十余年，学界积累了海量研究却始终未能突破。
两人花了数小时逐行细读，最终确认论证逻辑成立。随后，猜想提出者Michel Crouzeix也独立完成了核验。三人一致认为金山木的论文推导成立。需要说明的是，该论文目前仍是预印本，尚未通过正式同行评审。
公开资料显示，SIAM News是美国工业与应用数学学会（SIAM）旗下的权威新闻期刊，SIAM则是全球应用数学领域最具影响力的学术组织之一。该文两位作者Townsend与Greenbaum均是行业内知名数学家。
其中，Townsend是康奈尔大学数学系副教授，拥有牛津大学博士学位，曾获Leslie Fox Prize、NSF CAREER奖及Simons Fellowship等荣誉；Greenbaum则是华盛顿大学波音应用数学讲席教授、SIAM Fellow，数值线性代数领域的权威学者。
Alex Townsend 个人网站页 面
克鲁瓦猜想 是什么，难在何处？2004年，法国数学家Michel Crouzeix正式提出这一猜想：对任意复方阵A与多项式p，矩阵多项式的谱范数满足‖p(A)‖₂≤ 2 max_{z∈W(A)} |p(z)|。
简单来说，它试图用复平面上一个凸集（数值域）上的函数最大值，来控制矩阵函数的大小。这一不等式是连接复平面逼近理论与矩阵函数分析、GMRES迭代法、Krylov子空间方法的关键桥梁，在数值计算和工程应用中具有极高价值。
多年来， 学界 一直在尝试 攻关 该问题。 2007年，Crouzeix证明常数11.08可使不等式成立；2017年，Crouzeix与Palencia将常数优化至1+√2≈2.414；同年，美国数学研究所（AIM）还专门举办为期一周的专题研讨会集中攻关 ， 但猜想始终未被完整证明。
而 金山木 论文中 的核心定理，诞生于GPT-5.6 Sol（ChatGPT Work模式 ） 下一段约16小时、全程无人工干预的自主推演流程。
与常规提问不同， 他 使用了一套高度定制化的提示词 ， 比如 限制模型访问公网与外部资料，推演全程 无 人为介入；提示词要求模型并行生成多条完全独立的证明思路，启动大量子智能体分别搭建证明框架，同时禁止所有智能体过早趋同 于 同一种思路；每一套候选证明都要经过对抗式校验，仅依靠反例筛除不成立的推导路径 等。
这套提示词改编自OpenAI用于攻克双圈覆盖猜想的模板 。 目前， 金山木已将提示词完整开源，同步上传多版迭代手稿、Lean形式化验证代码、全部公理校验资料，供全球同行复现、检验推导过程。
Townsend在文章中特别提到，金山木所有相关数学研究，都是在繁重的神经外科临床工作间隙完成的。
就在首版预印本发布仅8天后， 数学家 Emiel Lorist与Felix Schwenninger发布了另一套独立证明 ， 全文仅5页， 他们 依靠经典双层积分表示结合2 -膨胀扰动引理完成证明 ， 论证路径与金山木完全不同 。 两人表示，他们 同样借助ChatGPT 5.6梳理、探索证明思路。
Townsend 在 文章 中写道， 金山木看到这份独立成果后十分欣喜，认为两套截然不同的证明能够互为补充，短时间内两种完整解法相继出现，这令他倍感振奋。
AI正帮助人类攻克医学难题
公开资料显示， 金山木拥有多重专业背景 ， 2024年取得医学博士学位 。 在数学背景方面， 他 在校阶段仅修读理工科通用基础数学课程，全部高阶矩阵分析等相关知识均为自学。
他在邮件中告诉Townsend， 自己 踏入矩阵分析领域的契机，源于经颅超声相关临床研究。自学该方向时，他接触到克鲁瓦猜想，并被其极简的 命题 表述、数值域自带的几何直观深深吸引。
即便此次完成了如此突破性的工作，金山木在往来通信中仍十分谦逊，坦言能找到核心证明思路，运气占了很大一部分。
Townsend与Greenbaum在文章中感慨，一名无系统数学训练背景的临床医师，借助大语言模型 证明了 悬置二十余年的重大猜想， 这在 数年前完全难以想象。他们预判，未来非 专业 数学研究者依托人工智能 取得 重大突破的案例会持续增多。
事实上， 金山木的故事并非孤例。AI正在帮助不同领域的 “ 外行 ” 攻克曾经只有顶尖专家才能触及的难题。
在医学与生命科学领域，这种跨界突破已不鲜见。2021年，DeepMind的AlphaFold2解决了困扰生物学界50年的蛋白质折叠问题，而它的核心开发者John Jumper并非生物学家，而是一名理论化学博士 ，最终改写了整个结构生物学的研究范式。
甚至连患者家属也在借助AI跨越专业鸿沟。
2023年，美国一名男孩因反复疼痛辗转17位医生仍未确诊，他的母亲 作为 一名非医学专业人士，将病历输入ChatGPT，AI提出了“脊髓栓系综合征”的诊断，这是此前没有任何医生提及过的病因。最终，一名神经外科医生确认了该诊断并实施了手术。
与此同时 ，临床医生借助AI突破专业边界的案例 也层出不穷 。
越来越多的内科医生自学Python和机器学习，从海量病历数据中挖掘新的诊疗规律；放射科医生与计算机科学家合作，让AI读片精度超越人类专家；病理科医生借助深度学习算法，从组织切片中发现肉眼无法识别的早期癌变信号。
对于医生与医学生而言，这背后或许有更深层的启示。未来的医学突破，很可能不再只来自实验室里的生物学家，也可能来自一位懂矩阵分析的神经外科医生、一位会写代码的病理科住院医 师 。
当AI承担了最繁重的推演与计算，人类的核心竞争力或许正在从 “ 知识的记忆者 ” 转向 “ 问题的提出者 ” 和 “ 方向的判断者 ” 。
参考资料：
[1] https://alextownsend.net/essays/SIAMNews_CrouzeixConjecture.pdf
[2]https://alextownsend.net/essays/
来源：医学界
校对：蔡 菜
运营：莉 莉
责编：汪 航
值班：郭雪梅
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