许埈珥（June Huh）
导读： 与其他有名的数学家相比，许埈珥开始数学研究要晚一些。接受《纽约时报》采访时，他曾说“非常擅长除了数学外的很多其他学科”。
汤涛 史永堂｜撰文
数学文化｜来源
2022年菲尔兹奖授予四位年轻数学家，包括瑞士日内瓦大学/法国高等科学研究所教授雨果·迪米尼–科潘（Hugo Duminil–Copin）、美国普林斯顿大学教授许埈珥（June Huh）、英国牛津大学教授詹姆斯·梅纳德（James Maynard）和瑞士洛桑联邦理工学院教授马林娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）。菲尔兹奖以加拿大数学家约翰·菲尔兹（John Charles Fields）的名字命名，素有“数学诺贝尔奖”之称，每四年评选出2–4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家。
许埈珥现为美国普林斯顿大学的教授，是第一位韩裔菲尔兹奖得主，也是第13位获此殊荣的普林斯顿人。他的获奖理由：
表彰其将霍奇理论的思想引入组合学，关于几何格（geometric lattice）的Dowling-Wilson猜想的证明，关于拟阵的Heron-Rota-Welsh猜想的证明，对洛伦兹多项式的发展，以及对强梅森猜想的证明等。
晚起步的一流数学家
马特·达蒙（Matt Damon）在其电影成名作《心灵捕手》（Good Will Hunting）中饰演出身寒微的问题青年威尔·杭汀，因其出类拔萃的数学天分，受到菲尔兹奖得主、麻省理工学院教授兰博的赏识。兰博想要亲自磨练这颗极其难得的原石。不过威尔却紧闭心门，兰博只好请来大学好友、心理学教授尚恩·麦奎尔帮忙开导，最后威尔和尚恩这两个孤单的灵魂几经碰撞与冲突，彼此都跨越了原本卡住自己人生的难关。
当电影结束时，没有人知道威尔未来会不会也拿到一个菲尔兹奖，或者到哪个高等院校任职。但是他已拨开心中迷雾，走向新征程。不过“菲尔兹奖得主教出另一位菲尔兹奖得主”的剧情，并非只在奥斯卡最佳剧本里成立。2022年菲尔兹奖得主许埈珥也有和威尔类似的际遇，有一位愿意指导与栽培他的菲尔兹奖老师，而且戏里戏外这两位数学天才，都曾在人生的道路上一度感到过迷茫。
与其他有名的数学家相比，许埈珥开始数学研究要晚一些。接受《纽约时报》采访时，他曾说“非常擅长除了数学外的很多其他学科”。
让我们来看看他的主要人生轨迹：小时候很抵触数学，高中时计划成为诗人，大学主修天文和物理，24岁对数学感兴趣，31岁获得数学博士学位，35岁在国际数学家大会上作45分钟报告，39岁获菲尔兹奖。
许埈珥跟电影里的威尔一样拥有惊人的数学天分，不过他跟出身寒微完全沾不上边。许埈珥的父母都是大学教授，母亲教的是俄国文学，父亲是统计学。1983年许埈珥在加州出生，当时他的父母正在美国攻读博士，两年后全家返回韩国。许埈珥自称对于数学并不擅长，父亲也曾试图教他数学，但最后发现儿子朽木不可雕，也就放弃了。
比起数学与学校教育，当时的许埈珥更钟情于阅读与亲近大自然。他自称无法在课堂上吸收任何内容，却能自己读完一整本生物的百科全书，也乐于探索住处附近的山区。中学时期的许埈珥全副心力都用在写诗上，在一个专访中，许埈珥自称“我知道我很聪明，但我没办法用成绩证明这一点，所以就开始写诗”。16岁时还一度辍学写诗与小说，并且计划在上大学前完成描绘大自然与自身经历的杰作。但许埈珥也在专访中笑着说“这显然没有发生”，因此只好重回升学“正轨”。
自诩头脑聪明的许埈珥在2002年进入首尔国立大学攻读本科，他短暂地想成为一名科学记者，后来主修天文学和物理学，一路折腾后他花了6年才本科毕业。
就是这样在来回徘徊中，许埈珥遇到了影响他一生的人，并由此开始了他的数学研究。
在本科的第六年，即大学最后一年时，许埈珥24岁。那一年，著名的日本数学家广中平祐（Hironaka Heisuke）以客座教授的身份来到首尔国立大学。广中平祐当时已经70多岁了，在日本和韩国家喻户晓。他于1970年获得菲尔兹奖，后来写了一本十分畅销的回忆录《创造之门》（The Joy of Learning）。那一代韩国和日本的父母都会把这本书送给自己的孩子，希望自己的下一代能成为伟大的科学家。在首尔国立大学，广中平祐开设了为期一年的代数几何讲座课程。许埈珥也选了这门课，他觉得广中教授有可能成为他记者生涯中的第一个采访对象。
一开始，广中平祐的课上有100多个学生，其中包括不少数学专业的学生，但几周以后，来上课的人就屈指可数了。许埈珥猜测，其他学生退课可能是觉得广中平祐的课很难理解，而他之所以能坚持下来是因为自己并不指望能从这门课中学到什么。
广中平祐没有像其他老师一样，在代数几何的课堂上专注介绍代数方程与其相关性质，而是专注于介绍他自己对奇点（singularity）的思考。许埈珥说，广中老师基本上都在讲“他昨天想到的东西”，像是某个非常特别的问题，以及不一定正确的证明，“数学专业的学生退选是因为他们听不懂，我当然也听不懂，但我们之间对于‘听懂’的标准不一样。”
并不指望在这门课学到特定数学知识的许埈珥说，广中平祐的课不像其他数学老师那样经过“优化”，那样流畅地把理论证明出来。他在课堂上目睹老师如何思考问题，他喜欢这种悬念、喜欢尝试一些没人真正知道该怎么解答的问题，喜欢不知道该怎么做带来的自由，也喜欢把不可能变成可能的惊喜。许埈珥表示，经过好几个世纪的完善，“大学里谈论数学的方式”与“面对原始的数学问题”截然不同。在广中平祐的课堂上，他才第一次现场看到别人如何“做数学”，原生态的。
广中平祐和许埈珥夫妇
许埈珥还利用午餐时间与广中平祐亲近，两人的话题最后总会回到数学上。数学底子不好的许埈珥自称“尽量避免暴露自己的无知，试图假装听懂老师在说什么”。有趣的是，广中平祐表示从未意识到这个学生缺乏正规训练，而且对他留下了深刻印象。
广中平祐后来在首尔多待了两年，并且担任了许埈珥的硕士指导教师，这段时间许埈珥也在数学研究所遇见了自己的妻子金乃英（Nayoung Kim，音译）。这两年里，广中平祐有时会返回日本，许埈珥也随同老师前往京都，就住在老师家里。广中平祐回忆，两人在京都与首尔都经常一同散步或用餐，“我们彼此欣赏，所以也聊了很多数学以外的话题”。
2009年，在广中平祐的敦促下，许埈珥申请了十几所美国的研究生院。不是数学专业出身，上过的研究生水平的课程很少且成绩平平，使他的申请之路极不顺利。尽管有其硕士导师、菲尔兹奖得主广中平祐的力荐，但大多数学校的招生委员会均不为所动。除了伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校，其他学校都拒绝了他，于是他在2009年秋季进入了伊利诺伊大学就读。两年后他做出了一些很好的研究成果后，才成功地转学到他心仪的密歇根大学安娜堡分校。
之后的十年间，许埈珥的数学研究不断取得重大突破。他于2014年获博士学位，此后在普林斯顿高等研究院从事研究工作，2017年起任客座教授，2019年到2020年间任斯坦福大学教授，2021年起任普林斯顿大学教授。2022年，他获得了菲尔兹奖，也获得了麦克阿瑟“天才”奖。
相较于他在少年时期厌恶抵触数学、甚至高中一度辍学写诗的迷茫过去，许埈珥的人生转折确实比电影《心灵捕手》里拖地擦黑板的叛逆威尔还要传奇。知名科普作者万精油老师2010年曾经写过一篇文章，介绍了《心灵捕手》和他对这部电影的感想，此文被收集到最近即将出版的《数学文化》刊文章的选集中[1]。万老师受过严格的数学训练，在名校读的数学本科和研究生，他指出：“现代数学发展到今天，各种概念与理论都包含很深的思想，已经不可能仅凭一点感觉就走到第一线。也许有人会说，难道不可以突然冒出来一个天才，抛弃一切现有观念，凭感觉创造出一套他自己的体系来解决现有问题吗？我说不可能。不管什么体系，要解决现有问题，至少要看懂是什么问题。现代数学上的绝大多数前沿问题，单单是看懂题目就需要许多专业训练，而不可能凭感觉得到。”
大学没有学数学，仅读过数学硕士学位，在刚进入博士学习后就能解决职业数学家长期攻克不了的难题，许埈珥的传奇可以说是部分地颠覆了万精油老师上面的论断。当然了，许埈珥主攻的组合数学领域不需要太多的数学工具，不像“现代数学上的绝大多数前沿问题”，比如微分几何、微分方程、拓扑、概率等，需要读懂几大本基础理论书才可以慢慢上路，这也缩短了他的准备时间。
看得见摸得着的数学
许埈珥是从组合学和代数几何开始他的数学研究的，他认为“组合学是数学中我的眼睛可以看到的那一部分，所有的研究对象都是有形的、可触摸的——你几乎可以看到它们、摸到它们”。
里德猜想
2009年，许埈珥只身来到美国，开始了自己的研究生生活。他开始全身心地投入到数学的研究中，很快就崭露头角。在伊利诺伊读研究生一年左右，许埈珥证明了图论中长达40年的里德猜想，这一猜想由英国数学家里德（Ronald Read）于1968年提出。
数学中有一个分类叫组合数学，组合数学里面有一个分支叫图论，其研究的是图（graph）这种点和线段粘在一起的“组合”。图论起源于欧拉在1736年解决七桥问题上做的工作。最简单的情形是，考虑图1（）或（）中的图形，数学家们感兴趣的是：给定一些颜色，一共有多少种不同的方法为图形的顶点染色，可以使得任意一条边两端的两个顶点不能有相同的颜色？
我们考虑图1（）的三角形，那么第一个顶点可以用种颜色中的任一种来染色，而第二个顶点可以用剩余的种颜色中的任一种来染，第三个顶点可以用剩余的种颜色中的任一种来染。这样，总共的染色方案的数目为。
图1
在图1（）中，有五个顶点，可以知道染色方案的数目为：。
上面这两个关于顶点数的多项式也被称为图的色多项式，是美国数学家伯克霍夫（George Birkhoff）在研究四色猜想的过程中于1912年引入的。每个图都有唯一的色多项式。
图1中的两个图都是“完全图”，在图论中，完全图是一个简单的无向图，其中每一对不同的顶点都只有一条边相连。不同于完全图，非完全图存在着某些节点之间没有边直接相连。下面我们来看一个稍微复杂点的例子——四边形，这是一个非完全图，对角点没有连线。读者尝试一下就可以知道，这个问题貌似没有那么容易了。
事实上，关于图的色多项式有一个非常有用的递推关系式。给定图和它的任一边（两个端点分别为和），的色多项式等于（去掉边得到的图）的色多项式减去（收缩边得到的图）的色多项式，这里收缩边指的是在中将的两个端点和粘合为一个顶点并去掉所产生的自环和平行边得到的图，如图2所示（收缩图中的边）。
图2
这个递推关系式的证明是非常容易的，在染色中，中和两个顶点的颜色可以相同也可以不同，所以使得和同色的的染色方案的数目与的染色方案的数目相等，同样的，和不同色的的染色方案的数目与的染色方案的数目相等。有这个递推公式之后，我们就可以计算任意图的色多项式了。于是，我们就可以得到四边形的色多项式（如图3所示）为：
图3
数学家们通过大量计算发现，图的色多项式有很多有趣的性质。1968年，数学家里德通过观察，给出了下面这个猜想。
里德猜想：假设色多项式具有下面的表达式：
则这些系数有如下两个规律：
（1）单峰性：数列{}总是先递增，达到某个最大值后就一直递减；
（2）对数凹性：数列{}中任意三个连续的数字总是满足，左右两个数字的乘积小于中间数字的平方，即。
以图1()的色多项式为例：
这个数列是1，10，35，50，24，很容易验证它满足单峰性。并且，，，。也就是说，对数凹性也是正确的。事实上，单峰性和对数凹性是组合数学研究中的基本课题之一。
许埈珥刚到伊利诺伊时并不知道里德猜想。大多数一年级的研究生在上课考试上花费的时间要多于在自己研究上的时间，但在结束了跟随广中平祐的三年学徒生活之后，许埈珥有了自己要研究的想法。
在到达美国中西部后度过的第一个冬季，许埈珥发展了将奇点理论（这是他跟广中平祐学习的重点）应用于图的技术。在此过程中，许埈珥发现当他从图中构造出一个奇点时，他就可以用奇点理论来证明原来这个图的很多性质——例如，解释为什么一个图的色多项式的系数会遵循对数凹性质。
许埈珥感觉对数凹性质很有趣，于是他去查阅图论的文献，想看看是否有其他人在这方面有研究成果。结果他发现这方面不仅是空白，还是图论中一个著名的猜想，叫里德猜想。于是，他想到了从广中平祐那里学到的奇点理论。
2011年，许埈珥借助代数几何中的奇点理论，证明了里德猜想。这篇文章于2012年在著名数学期刊《美国数学会会刊》上发表[2]。在许埈珥将其对里德猜想的证明发布到网络上后，密歇根大学立刻邀请他前来报告。在密歇根任教的米尔洽·穆斯塔策（Mircea Mustaţă）表示，这次报告一下子就切中要点，许埈珥的证明非常优美和清晰，这对一个刚开始念数学博士的人来说并不常见。当时在密歇根大学从事博士后研究的杰西·卡斯（Jesse Kass），成为密歇根大学邀请许埈珥所作报告的现场听众之一。他说当时系里资深的老师鼓励他去听这场演讲，因为这样“30年后你就可以告诉你的孙子，你在许埈珥成名之前就听过他报告了”。
罗塔猜想
在许埈珥完成报告后，那些曾拒绝他申请的密歇根教授立刻邀请他转校，于是许埈珥2011年转往密歇根大学，并开始处理另一个更为宏大的数学难题：“罗塔猜想”（Rota's Conjecture）。他的博士导师就是前面提到的穆斯塔策，不过穆斯塔策教授直言，许埈珥有自己的研究课题，完全不需要导师的学术指导。
事实上，里德猜想是罗塔猜想的一个特殊情形，罗塔猜想研究的是比图更广的一个数学结构——拟阵（matroid）。拟阵可以看作是矩阵和图的推广，是由美国著名几何拓扑学家惠特尼（Hassler Whitney）引入的，在几何、拓扑学、组合优化、网络理论和编码等理论上都有很多应用。与图的色多项式相对应，从拟阵出发定义了一个“特征多项式”。罗塔猜想可以表述为：任意拟阵的特征多项式的系数总是对数凹的。
这是著名组合数学家罗塔（Gian-Carlo Rota）在1970年提出的。罗塔是一位意裔美籍数学家及哲学家，他培养的弟子里面包括南开大学的陈永川院士。罗塔也是一位超级优秀的教师，他的名言“一个好老师不是教事实，而是教热情、教开放、教价值”[3]。这个观点是他教学风格的真实写照，也与许埈珥体验到的广中平祐的教学效果非常一致。
罗塔（1932−1999，油画，数学家金芳蓉创作于 2008 年）
罗塔猜想的陈述如此简单，但是证明却极其困难。一开始，许埈珥打算把他用来证明里德猜想的奇点理论方法直接用到罗塔猜想上，但他很快发现对于更抽象的拟阵，这个方法不奏效了。这次失败，让他开始重新思考认识拟阵背后隐藏的数学结构。
许埈珥在罗塔猜想上的工作，正好涉及到与另外一个深刻且优美的数学领域——霍奇理论（Hodge Theory）的联系。霍奇理论是20世纪30年代由苏格兰数学家威廉·霍奇（William Hodge）发展起来的，研究对象是代数簇的上同调环。
从表面上看，霍奇理论与图或拟阵之间的关系似乎远到不能再远了。霍奇理论中的上同调环是由包含无穷概念的光滑函数产生的。相比之下，像图和拟阵这样的组合对象则是纯粹离散的——它们是点和线段的组合。要问霍奇理论在拟阵的背景下有什么意义，有点儿像问如何求一个球体的平方根，这个问题似乎就没有任何意义。
从研究对象上看，霍奇理论似乎没法用来研究图或者更一般的拟阵这些离散的对象。但是霍奇理论提出后的60多年来，数学家们已经在其他的框架下找到了很多类似的霍奇类型结构，这其中包括组合框架下的情形。
“有一种感觉是，这些结构只要存在，就是基本的。它们可以解释关于数学结构的一些事实，而这些事实很难用其他任何方法解释。”许埈珥说。
在这些新近发现了霍奇型结构的背景中，有一部分是与组合数学相关的，这促使许埈珥开始思考：这些来自霍奇理论的关系是否能用来解释这些对数凹模式？
最终，许埈珥与俄亥俄州立大学的数学家卡茨（Eric Katz）、以色列耶路撒冷希伯来大学的阿迪普拉西托（Karim Adiprasito）一起借助霍奇理论完成了罗塔猜想的完整证明。
阿迪普拉西托最初想成为一名厨师。在进入组合数学之前，他在印度各地背包旅行。阿迪普拉西托高中时很喜欢数学，但后来放弃了，因为他觉得“数学对我来说不够有创造性”。卡茨则对独立摇滚乐队有着狂烈的热爱和深入细致的了解，这些都是他早年作为大学电台DJ（音乐节目主持人）时培养的。
早在2011年，卡茨就开始关注许埈珥证明里德猜想的工作。那时，许埈珥对证明罗塔猜想还没有任何头绪。卡茨仔细阅读了许埈珥关于里德猜想的证明，他发现如果在论证中去掉特定的一步，就可以用那篇论文的方法给出罗塔猜想在部分情形下的证明。于是他跟许埈珥联系，在短短几个月时间里，两人合写了一篇文章[4]，解释了一小类被称为“可实现的”拟阵的对数凹性。
然而，那篇论文并没有解决罗塔猜想中最难的部分——证明“不可实现的”拟阵的对数凹性，而拟阵大多数都是不可实现的。20世纪50年代出现的霍奇理论最初被定义在“代数簇的上同调环”上。如果你想证明霍奇型结构解释了我们在拟阵中观察到的现象，你就需要找到一种方法来解释如何从拟阵中提取出类似于上同调环这样的对象。对于可实现的拟阵，有非常直接的方法能做到这一点，这也是为什么许埈珥和卡茨能很快证明可实现拟阵的罗塔猜想。但对于不可实现的拟阵，并没有明显的方法可以将上同调环实例化——它们就好比一种语言，这种语言中根本没有词语来表达这个概念。
四年时间里，许埈珥和卡茨一直试图在不可实现拟阵的情形下定义霍奇结构，但都失败了。在此期间，他们确定了霍奇理论的一个特殊方面——霍奇指标定理（Hodge Index Theorem）本身就足以解释对数凹性，但这里存在一个问题：他们无法证明霍奇指标定理对拟阵也成立。
这时，阿迪普拉西托进入了他们的视野。2015年，他来到普林斯顿高等研究院访问许埈珥。阿迪普拉西托意识到，虽然只用霍奇指标定理就可以解释对数凹性，但要对拟阵证明霍奇指标定理，则要尝试证明（包括霍奇指标定理在内的）更多来自霍奇理论的想法——这三位合作者将其统称为“凯勒包”（Kähler Package）。
2015年11月，三人在arXiv上发布了他们的工作。从那时起，这项工作就传遍了整个数学界。他们的工作为霍奇理论提供了一个完全来自组合学的视角；反过来，霍奇理论又为解决组合学中的未解问题提供了一种全新的方法。
2018年，罗塔猜想的证明在数学顶级期刊《数学年刊》上发表[5]。这项成就让许埈珥获得普林斯顿高等研究院的新职位，也使他成为菲尔兹奖得主的热门候选人。2017年春天，普林斯顿高等研究院给许埈珥提供了一个长期的研究员职位。在他之前，这一职位只授予过三位年轻的数学家，其中两人，即弗拉基米尔•沃埃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）和吴宝珠后来获得了菲尔兹奖。
道林-威尔逊猜想
人们很早以前就知道这样一个结论：给定平面点集合，如果中的所有点不在一条线上，那么平面上包含中至少两个点的线的数目至少为，即集合中点的个数。
图4展示了的情况，分别是6条线和4条线。很容易验证上面的结论是正确的。
图4
这一结果对射影平面也是正确的。事实上，著名数学家埃尔德什（Paul Erdős）在1948年就证明了如下结论：射影平面上任一有限点集确定了至少条线，除非中的所有点共线。进一步地，Motzkin猜想的如下推广得到了学者们的关注和研究：射影平面上任一有限点集E确定了至少个超平面，除非中的所有点共线。
在这些工作的基础上，数学家道林（Thomas Dowling）和威尔逊（Richard Wilson）在上世纪七十年代提出了拟阵版本的更一般的猜想：考虑个点的集合展成的一个维空间，令这个维空间下面的维子空间的个数为,则当时不等式成立。
2017年，许埈珥与王博潼利用代数几何的知识证明了在可表示的拟阵情形下，道林-威尔逊猜想成立。[6]
王博潼是2002年国际奥数金牌满分获得者，2006年毕业于北京大学，2012年获得美国普渡大学博士学位，在念书的路上，和著名数学家张益唐走的是一条路。他现在是美国威斯康星大学副教授。
2020年，许埈珥、王博潼与合作者用洛伦兹多项式理论，证明了这一猜想在所有的拟阵情形下都是成立的。[7]
梅森猜想
说到梅森猜想，人们很容易联想到素数，联想到三四百年前的法国神父数学家梅森（Marin Mersenne）。但我们这里说的梅森（John H. Mason）却是一个现代数学家，他于上个世纪七十年代提出了一个组合数学的重要猜想。
令表示向量空间中个向量的集合，对任意，令表示中元线性无关子集的数目。例如，如果表示二元数域上的三维向量空间中所有的7个非零向量的集合，这7个向量可以用图5来表示，因此我们有
图5
梅森猜想：对任意和任意正整数，下面的对数凹不等式成立：
类似的猜想也被推广到拟阵上[8]。
2013年，在可表示的拟阵情形下，Lenz证明了梅森猜想。在更广泛的情形下，许埈珥与合作者用洛伦兹多项式完整地证明了这一猜想[9]。
数学研究风格
纵观许埈珥的研究工作，我们可以看到，他的研究建立了数学不同领域之间的桥梁，比如组合学和代数几何学。诚如许埈珥所言：“找到这个正式的桥梁是非常令人满意的，一旦你拥有了这个桥梁，你就可以用一种非常自然的、容易的方式来处理这些被认为是非常有技巧、非常困难的问题。”他的博士导师穆斯塔策曾说过：许埈珥是一个具有惊人直觉的数学家，他能够看到数学不同领域之间的完美关联，具有很强的技巧能力去探索这些关联以证明主要的定理。
许埈珥的数学风格表现为善于找问题、慢思考，而深厚的人文修养也让他对数学研究的感悟与众不同。
虽然他从恩师广中平祐那里没有学到太多的数学知识，但是广中思考问题的方式、对不清楚问题的思考方法，对许埈珥有潜移默化的影响。他选择攻克的问题，很多数学家都试过多次而不果，说明传统的方法不行，那么学再多的传统基础知识也无济于事。而他认为对于原始问题的思考，另辟蹊径，往往更加重要。
从某种意义上讲，懂得不多，使他思想没有束缚，没有那些大人物做过或者说过什么就不敢越雷池一步的顾忌，即不需要受制于数学界的传统观点。
关于做研究，许埈珥喜欢“边散步边讨论”的模式，一边走一边讨论，最终在一块黑板或其他地方停下来。有同事评价他“慢”，可以说这是他的一种独特的思考方式，散步的时候，是漫游；说话慢、用词严谨、投入，把每个问题思考得全面透彻。他在做数学时也是如此谨慎地进行。
当许埈珥的合作者王博潼第一次看到他的慢劲时，感到很震惊。“我的数学竞赛经验告诉我，作为一个数学家，你必须要聪明，你必须要快，但许埈珥却恰恰相反。如果你和他就一些微积分问题交谈五分钟，你会认为他不会通过研究生资格考试。他太慢了。”事实上，许埈珥确实不擅长考试，他在密歇根大学的博士资格考试考得一塌糊涂，最后还要系主任特别准许，才保住了他继续读博的资格。
王博潼认为他们在已经理解的简单问题上浪费了很多时间。但后来他意识到，即使是看似简单的概念，许埈珥也在以更深入的方式学习——而且恰恰是以后被证明有用的方式。
许埈珥的“慢”，几乎是他的一种独特思考方式，在各方面皆是如此。2013年，他决定学习烹饪。作为一个完全的初学者，他花了6个月每天制作同一道菜（某种意大利面），直到将它做到至臻至美——迄今为止，他也只会做这一道菜。
这种“慢”还体现在，他很喜欢在大段时间中进行完全式的沉浸——具体来说，是每天三四个小时慢慢“浸入”某件事情。或是一道数学题，或是给学生备课。
这种在慢生活中培养出的惊人专注力，强大到“连自己都没法自主地抽离”，一扎进去，便像陷入到深度睡眠般的思考状态中。在某个问题上逗留时，许埈珥喜欢“没有指导原则、没有明确定义的目标，”对他来说，“数学好像是自己发生的。”
这种安静，这种慢节奏，可能是做好数学研究的一个重要特色。在知识碎片化的时代，人们似乎越来越依赖于快节奏、快思考。与快思考相反，慢思考是主动的、自发的，因为慢思考需要集中注意力，并进行有意识的思考。而后两者对于原创性研究者非常重要。
和很多职业数学家不同的是，许埈珥花过很多时间在文学和艺术上。他自己也觉得，艺术家与数学家有着很大的共通性：“两者都好像是你在抓住已经存在的东西，而不是你在脑海中创造某些东西。”他是个数学家，同时也是一个广泛阅读的艺术爱好者，这两重身份对他而言无法分割。
之所以对代数几何感兴趣，据说也正是因为他在这个领域看到了一种介于理性与感性之间的美——数学让他看到了在自我之外寻找美的能力，“你不会考虑你渺小的自我，而是试图抓住外部客观和真实的东西。”
数学人才培养上的启示
通过许埈珥的故事，有两点值得我们思考。第一点就是关于如何培养孩子的数学能力和兴趣。
和很多父母一样，身为大学统计学教授的许明浩很希望自己的儿子成为学霸。许明浩介绍了儿子上初中时的一段插曲，那时候，许明浩雄心勃勃地试图用奥数的标准来培养儿子，心想统计学家亲自上阵一定没问题，但事实却使他备受打击。
他发现儿子尽可能地避免接触数学。父亲给他一本习题集，许埈珥却对解题毫无兴趣，直接把后面的答案抄上去了事。父亲发现后立马撕掉答案，让他无从抄起。但这无济于事：许埈珥跑到当地一家书店，找到那本习题册后接着抄答案。气疯了的老爸几乎就放弃了。
可是十年后，24岁的许埈珥遇到广中平祐后，他的数学兴趣被激发了，之后一发不可收拾地开始了主动学习。
值得一提的是，许埈珥后来的不少师友对他的评价都是“很成熟，脚踏实地”，“他几乎不需要任何监督或指导，与大多数研究生不同，他已经有了一个计划和如何实现它的想法。”
对许埈珥来说，“成熟”的理由其实很简单：父亲逼着他去学数学的时候，他没感觉到其中的乐趣；而现在，他是自己发自内心地认同这门学科——虽然同样是学数学，前后却是天壤之别。
许明浩后来解释，虽然曾经对儿子没有按部就班达到父母的期望感到失望，但“或许正是许埈珥的这种自主性，成了他的一大优势所在。”
因此，他还反思道：“提前学习是不对的。必须为孩子们创造环境，以确保他们的自主性。”
实际上，过早、过量的超负荷学习，极易消耗人才的终生成长。数学界流传着一个关于大数学家柯西的故事，据说在孩童时期，父亲的数学家好友拉格朗日便发现了柯西惊人的数学天赋，但好友却告诫老爸，在柯西完成基本教育之前不要让他攻读数学著作。
天才数学家的成长故事虽显得小众，但这里想说明的是，兴趣是需要保护的，应适度为学生的智力发展留白。拔苗助长，很可能损害长大后的创新动力和能力。
第二点感触是教师的力量，名师的影响力。
相比其他学科来说，数学，特别是基础数学，一般来说年轻非常重要。这就是为什么很多学科的最高奖项，比如诺贝尔奖、图灵奖，获奖者大都是年过半百或年长的人，而菲尔兹奖规定获奖者不能超过40岁。诚如作家凯文·哈特尼特所说：“许埈珥在相当晚的时候才开始学习数学，并在之后取得如今的成就，就好比他18岁拿起网球拍，20岁就赢得温布尔登网球公开赛一样，属于几乎不可能发生的事。这是一条从天而降的职业途径，在今天的数学界简直根本不会发生——即使是为了有个地方待着，以让自己能做出新的发现，通常也需要经历数年的专业训练。然而，如果认为许埈珥的突破是他克服了自己非科班出身的劣势而取得的，那就大错特错了。在许多方面，他的这些突破是其独特经历的产物，是他在大学最后一年偶遇一位传奇数学家的直接结果。这位传奇数学家在某种程度上看出了许埈珥身上连他自己都未曾察觉的天赋。”
小时候，许埈珥的数学考试成绩糟糕，因此他坚信自己不擅长数学这门科目，并视数学为“把一个逻辑上必要的陈述叠加在另一个陈述上”的无趣追求。可广中教授在课堂上施展的魔力，深深吸引了许埈珥，也因此改变了他的人生。
广中平祐的成长史也有相似经历，据说在读研究生时他曾被老师评价为智力不足。还有一点就是他不写论文。为此，广中有自己的见解：“大学毕业后，开始进入大学研究院的研究生课程，周围的许多人就开始发表论文。我也和大家一样，不满足于以前的理论学习，但却不知道写点什么。这有几种原因，其中之一就是：我对大学的一个老前辈的观点在某种程度上持赞成意见。他常常这样说：‘你们为什么尽写一些没有用的论文，每年拼命地写，到头来不都被遗忘了吗？说得好一点，最多十年就不会有人再提到了。这种论文只会缩小图书馆的收藏空间，没有任何其它意义。如果说写这种论文是徒劳的话，那么读这种论文更是徒劳的。’我认为他说的是正确的。现在每年发表的论文数量十分惊人，大部分都成了一文不值的废纸。我没能拿起笔来写论文的另一个原因是，我被过去发表的汗牛充栋的论文压倒了。一般来说，论文是考虑成熟后才发表。而且，过去被称作大数学家的人们，都是接二连三地发表一些无可非议的成熟之作，使人读了这些论文，就油然觉得：‘我还有什么资格再写呢？因为与他们相比，写出来也是毫无价值的。’例如立志想当一名吉他演奏家的人，假定他在学习过程中有幸听到名吉他演奏家的演奏，他对演奏的美妙的声韵会入迷，并深深地被感动。等他醒悟过来后，就会觉得自己要登台演奏吉他简直是非分之想。这是因为演奏家的技艺，已经到了炉火纯青的地步，而他自己却认为不管自己今后怎么费力也远远达不到这个水平。我没有写论文的理由之一与此十分相似。可是，如果一个人不写论文，不创造自己的理论，是永远打不开通往数学家之路的。到底应不应该写呢？这个问题一直使我沉浸在苦恼之中。”
苦恼之际，一个传奇人物的出现改变了他的命运，这个人叫格罗登迪克（Alexander Grothendieck），是现代代数几何的奠基者，被誉为是20世纪最伟大的数学家之一。
广中平祐到哈佛大学留学的第二年，即1958年，学校邀请到了格罗登迪克来讲学，作了为期一年的学术报告。广中是为数不多的、自始至终地参加了格罗登迪克这一年学术报告的听众。这期间广中一方面听报告，另一方面也和格罗登迪克探讨学术上的一些问题，格罗登迪克对广中的数学修养很欣赏。
格罗登迪克（1928−2014）
不断的交往中，他们结下了很深的友情。有一天，老师对学生说：“我访问结束后，跟我一起到法国的研究所去访问一段时间怎么样？”于是广中决定去法国访问六个月。
当年底，广中来到了向往已久的法国高等科学研究所，他是这个研究所的第一个外来人员。在半年的时间里，他一边工作，一边向格罗登迪克请教。时间虽然很短，但他在这里却学到了很多重要的东西。“我从格罗登迪克那里，认识到了数学的本质的多样性，深深受到他的影响。同时，格罗登迪克对待数学这门学问的态度也给了我宝贵的启示。他在数学上的专心简直有点像下赌注般的执念，而且持久性也是令人吃惊的。”
1966年，格罗登迪克获得菲尔兹奖，表彰他在代数几何体系、泛函分析中的核空间张量积方面的杰出贡献。在四年后的1970年，广中平祐也获得菲尔兹奖，表彰他解决了任意维数的代数簇的奇点解消问题，广中采用的主要工具之一就是格罗登迪克发展的代数学理论。
访客带领学生学数学，继而成为朋友，把自己的绝招教给学生，并唤起学生对数学的热情，这是格罗登迪克-广中平祐-许埈珥这三位菲尔兹奖得主间连续上演的美丽故事。
也许可以进一步延伸一下，最近我们很多学校在请名师、请大师，希望这些大师们能像广中平祐、格罗登迪克一样，积极参与教学和人才培养。如果这些大师沉下心来教书带徒弟，那将是学子们的一个幸事。学术界之外的过分喧闹，需要适可而止。
致谢：本文写作参考了凯文•哈特尼特的“少有人走的数学巅峰之路”，选摘自《素数的阴谋》，托马斯•林编著，2020，中信出版集团出版。
作者简介：
汤涛，《数学文化》联合主编，中国科学院院士，广州南方学院校长，北师香港浸会大学讲席教授。
史永堂，博士，南开大学组合数学中心教授，主要研究方向为图论与组合最优化。
本文刊载于《数学文化》2022年第13卷第4期，公众号版在2026年8月21日发布于《数学文化》，原标题为“2022菲尔兹奖得主许埈珥”，《赛先生》获授权转载。
注解： [1] 万精油：“作家笔下的数学与数学家”，《数学文化》第一辑，广东人民出版社，2022。 [2] June Huh, Milnor numbers of projective hypersurfaces and the chromatic polynomial of graphs, Journal of the American Mathematical Society 25(2012), 907–927. [3] A good teacher does not teach facts, he or she teaches enthusiasm, open-mindedness and values. [4] June Huh and Eric Katz, Log-concavity of characteristic polynomials and the Bergman fan of matroids, Mathematische Annalen 354(2012), 1103–1116. [5] Karim Adiprasito, June Huh, and Eric Katz, Hodge theory for combinatorial geometries, Annals of Mathematics 188(2018), 381–452. [6] June Huh and Botong Wang, Enumeration of points, lines, planes, etc., Acta Mathematica 218(2017), 297–317. [7] Tom Braden, June Huh, Jacob P. Matherne, Nicholas Proudfoot, Botong Wang, Singular Hodge theory for combinatorial geometries, arXiv:2010.06088. [8] John Mason, Matroids: unimodal conjectures and Motzkin’s theorem, In: Combinatorics (Proceedings of the Conference on Combinatorial Mathematics, Mathematics Institute, 1972), Oxford, 207–220. [9] Petter Brändén and June Huh, Lorentzian polynomials, Annals of Mathematics 192(2020), 821–891.
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