新课上线｜贾伊阳：泛函分析（二）早鸟价进行时|定理|正则化|泛函分析|算子|范数|贾伊阳

课程简介

第一期课程，我们建立了泛函分析的基本认知框架：什么是函数空间，什么是希尔伯特空间，如何用对偶空间里的“核方法”去测量函数，从而找到需要的原函数，以及函数测量需要满足哪些技术条件。

第二期，在这个基础上往前走一步：把第一期建立的那些直观，变成可以具体计算、可以写出证明、可以直接用于阅读和写作论文的工具。

这一期不再以介绍概念为主，而是每一讲都从一个具体问题出发。问题来自机器学习里实际出现的情形，训练为什么不收敛、正则化为什么能保证解存在、网络的逆为什么不稳定、生成模型为什么能让分布发生变化，然后回到泛函分析，讲清楚支撑这些问题的那套数学，最后落到一两个可以动手做的小例子上。

每一讲会配两类例子。一类是简单例，帮助把抽象的定义落到具体计算；一类是复杂例，取自近年的论文，看这些工具在真实研究里怎么用。

需要说明的是，这门课的大纲不是固定的。它跟着参与的人走，随着学员的反馈和课堂上的讨论，内容会做相应调整。这也是这门课招募助教团队的原因，想学得深一层的人，可以以助教的身份，参与这一过程。

课程内容

第 1 讲　弱收敛与极小值的存在性。从弱收敛的定义进入变分分析，讨论直接法：当泛函满足反身性、强制性与弱下半连续性时，极小化问题为什么通常有解。用无限维 Tikhonov 问题做例子，并以一篇 2026 年的论文说明神经网络结构本身如何作为一种正则化机制。

第 2 讲　对偶性与鲁棒性。在 Riesz 表示定理的基础上，把对偶性从 Hilbert 空间推广到一般 Banach 空间。核心是一组对偶范数的公式，它直接说明：选择哪一种扰动范数，就对应哪一种对偶梯度范数。应用到 SVM 的对偶问题、ℓ₁ 与 ℓ₂ 鲁棒性的比较、对抗扰动与对偶正则项的关系。

第 3 讲　次梯度、近端算子与算子分裂。介绍次微分、极大单调算子、近端算子与 resolvent，以及 forward-backward 分裂、Douglas–Rachford 等算子分裂方法。从 Lasso 推导 ISTA，并说明一个有意思的事实：ReLU 其实是一个近端算子，神经网络展开可以理解为“学习一个迭代算子”。

第 4 讲　算子稳定性与病态逆问题。把第一期“小奇异值放大噪声”的直觉发展成严格理论：有界逆定理、紧算子的谱结构、无限维紧算子逆通常不连续，以及 Tikhonov 谱滤波。讨论图像去模糊、超分辨与神经算子，说明网络拟合得再好，逆问题仍然可能不稳定。

第 5 讲　半群与连续深度模型。从单个算子转向算子族，介绍强连续半群、生成元、Gronwall 不等式与耗散性，说明 ResNet 如何离散化、如何取连续时间极限，并介绍 Neural CDE 如何处理不规则采样的时间序列。

第 6 讲　隐式层、DEQ 与隐式微分。进入隐式微分：若平衡点由方程定义，反向传播只需解相应的伴随方程。讨论收缩是充分而非必要条件，讨论特征值接近 1 时前向与反向为何同时恶化，以及单调算子如何保证隐式网络存在唯一平衡点。

第 7 讲　概率测度空间与分布距离。把不同的分布距离统一写成积分概率度量，说明 MMD、Wasserstein、KL 与 total variation 为什么看到的是分布的不同侧面，以及它们对应的收敛概念有什么不同。

第 8 讲　扩散与流匹配的泛函分析基础。建立从“点的动力学”到“分布的动力学”的转变，讲授 Fokker–Planck 方程、Langevin 半群、score、正向扩散与反向时间 SDE、probability-flow ODE，以及 flow matching 与连续性方程。

第 9 讲　神经算子与连续注意力。讨论神经算子逼近的到底是离散矩阵，还是函数空间之间的映射。比较 DeepONet、FNO 与 attention 作为积分算子的不同，并讨论为什么“换一个分辨率仍能工作”需要额外的理论。

第 10 讲　Bellman 算子与 Agent 系统。从固定策略的 Bellman 算子出发，扩展到 Markov 算子、Koopman 算子与测度推进的对偶关系、distributional Bellman operator，以及多 agent 情况下 memory、planner、tool 等模块的算子复合与长期误差放大。

面向对象

这门课适合两类人。

一类是从事机器学习、人工智能相关工作的人。你们每天在用的那些模型：正则化、对抗训练、ISTA、Neural ODE、DEQ、Diffusion、FNO、强化学习，背后都站着同一套数学。这门课讲清楚这套数学，学完再看论文里的“紧性”“对偶”“半群”“谱”，就不再是陌生的名词，而是可以拆开、可以计算、可以用到自己的工作里去的工具。

另一类是学数学的人。如果觉得泛函分析是一门由孤立定理构成的基础课，这门课想让你看到它的另一面：这些定理怎样直接解释现代智能系统为什么能收敛、为什么会发散、会在哪里出问题。

建议具备一定的函数、向量与矩阵基础，最好已经接触过第一期的基本框架；如果对机器学习中的常见模型有大致了解，会学得更顺畅。

主讲老师

贾伊阳，东京都市大学讲师，曾任日本女子大学、成蹊大学助理教授，研究方向涵盖计算复杂性、算法及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》《面向应用的泛函分析》课程讲师。她的讲课风格细致入微、逻辑清晰，声音甜美，是集智社区中备受学员喜爱的人气讲师。

贾伊阳老师近期与耶鲁大学数字伦理中心创始主任、信息哲学家Luciano Floridi展开合作，共同运用范畴论等数学工具，系统探讨人工智能的边界与安全性问题。

双方围绕大语言模型的语义基础、AI系统的形式化建模以及智能体的因果推理等方向，合作发表了多篇学术论文，从数学哲学层面为理解AI的能力边界、幻觉来源与可靠性提供了新的分析框架。

贾老师也将在后续课程中介绍这一系列合作成果，欢迎关注。

招募助教团队

这门课设有助教团队，协助课程运转。助教的工作主要有四项：

· 收集课堂反馈，整理学员在学习过程中遇到的困难和疑问；

· 提出课程优化的建议；

· 配合讲师，共同准备下一堂课的内容。