向量
作者：结构化AI创作笔记
我们第一次接触向量，通常是从二维开始的。
一个二维向量，可以写成两个数。
比如，一个向量的第一个坐标是三，第二个坐标是五。
通常我们把它写成“三，五”。
但今天换一个角度。
不要急着把向量理解成“一个箭头”。
也不要急着把它理解成“一排数字”。
我们可以把它理解成一个非常简单的函数。
这个视角一旦建立起来，从二维、三维、n维，一直到无穷维和函数空间，就可以用同一种语言理解。
一、先从二维开始
假设有一个二维向量 x。
它有两个坐标。
我们可以说：
x 在位置一上的值是三。
x 在位置二上的值是五。
也就是：
x 的第一个坐标等于三。
x 的第二个坐标等于五。
现在换一种说法：
给 x 一个输入“一”，它输出“三”。
给 x 一个输入“二”，它输出“五”。
这么一看，x 是不是很像一个函数？
它的输入只有两个可能：
一和二。
它的输出是实数。
所以，一个二维向量，可以理解成：
从集合“一、二”到实数集合的一个函数。
这句话非常重要。
因为它让“坐标”有了新的含义。
所谓坐标，本质上就是：
给定一个位置，告诉你这个位置上的值是多少。
二、三维只是多了一个位置
如果是三维向量，道理完全一样。
现在 x 有三个位置：
位置一。
位置二。
位置三。
于是有三个值：
x 在位置一的值。
x 在位置二的值。
x 在位置三的值。
因此，一个三维向量，可以看成从集合“一、二、三”到实数集合的函数。
二维和三维并没有本质区别。
区别只是：
二维有两个坐标位置。
三维有三个坐标位置。
三、n维也没有发生本质变化
到了 n 维，我们有：
位置一，位置二，一直到位置 n。
一个 n 维向量 x，就是给每一个位置指定一个实数。
所以可以说：
x 是一个从“一到 n 这些指标”到实数的函数。
这时候，我们就得到了一个很统一的理解：
向量的维数，可以看成它有多少个坐标位置。
二维，有两个位置。
三维，有三个位置。
n维，有 n 个位置。
到这里，其实还只是有限维线性代数。
真正有意思的事情发生在下一步。
四、如果坐标永远写不完呢
假设坐标不再只有一到 n。
而是：
一，二，三，四，五……
一直继续下去。
那么一个向量就变成：
位置一有一个数。
位置二有一个数。
位置三有一个数。
如此一直下去。
这是什么？
其实就是一个数列。
例如：
一，二分之一，三分之一，四分之一……
我们平时把它叫作一个数列。
但从刚才的角度看，它也可以被看成一个拥有可数无穷多个坐标的向量。
因此：
有限维向量和无穷数列之间，并没有想象中那么巨大的概念鸿沟。
有限维向量，是有限多个坐标。
数列，是可数无穷多个坐标。
五、再大胆一步：坐标不一定用整数编号
这是最关键的一步。
以前我们的坐标位置是：
一，二，三……
但谁规定坐标一定要用自然数编号？
完全可以换一种指标。
比如，用零到一之间的每一个实数作为坐标位置。
于是，不再问：
x 在位置一是多少？
x 在位置二是多少？
而是问：
x 在位置 t 是多少？
这里的 t，可以是零到一之间的任意实数。
于是，我们得到了：
对于每一个 t，x 都给出一个实数值。
熟悉微积分的人看到这里，应该会发现：
这不就是一个函数吗？
没错。
这时候，一个“向量”已经可以表现为一个函数。
六、函数为什么能被当成向量
假设有两个函数 f 和 g。
我们可以把它们相加。
在每一个位置 t 上，把 f 的值和 g 的值相加。
这样得到一个新的函数。
我们也可以拿一个实数，比如二，去乘函数 f。
意思就是把 f 在每个位置上的值都乘以二。
因此，函数也能够进行类似普通向量的加法和数乘。
这就是函数空间能够成为向量空间的基础。
所以到了泛函分析里，我们经常不再把函数只看成“一个输入对应一个输出的规则”。
我们还可以把整个函数，当成空间里的一个点，或者一个向量。
这一步非常重要。
在线性代数里，一个点可能是：
三个坐标组成的向量。
而到了函数空间里，一个点本身可能就是：
一整个函数。
七、真正统一的东西是“指标”
现在回头看，就非常整齐了。
二维向量：
用两个位置编号。
三维向量：
用三个位置编号。
n维向量：
用 n 个位置编号。
可数无穷序列：
用自然数编号。
函数：
可以用一个实数区间中的点来编号。
所以真正统一它们的，并不是“箭头”。
而是这样一个思想：
有一个指标集合。
对于每一个指标，我们指定一个值。
换句话说：
向量可以被理解成“坐标指标到数值”的一个映射。
指标集合发生变化，我们看到的对象也跟着变化。
指标只有两个，我们看到二维向量。
指标有 n 个，我们看到 n 维向量。
指标是自然数，我们看到数列。
指标是一个实数区间，我们看到函数。
这条线一旦打通，很多原本分散的概念就连接起来了。
八、但这里必须避免一个误区
需要特别说明：
“函数有不可数多个输入位置”，不能简单等同于“这个函数空间的线性维数就是不可数多个”。
这是两个不同的问题。
一个函数可以由它在许多输入点上的取值来描述。
但一个向量空间真正的“维数”，严格来说要讨论它的基。
在无限维空间里，还会涉及不同类型的基，例如哈梅尔基；在希尔伯特空间中，还会讨论正交基等概念。
因此，把函数理解成“拥有很多坐标位置的对象”，是一个非常有用的直觉。
但不能未经证明，就把“输入点的数量”直接宣布为这个函数空间的线性维数。
数学里，好的直觉负责带我们找到方向。
严格定义负责防止我们走错路。
两者都需要。
九、为什么这个视角值得掌握
因为它把很多课程连接到了一起。
在线性代数里，我们研究有限维向量。
在数列和级数里，我们开始接触可数无穷的信息。
在函数论和分析里，我们研究整个函数。
到了泛函分析，我们进一步把函数本身当成向量，研究由函数组成的空间。
于是你会逐渐发现：
二维、三维、n维、数列、函数空间，并不是几个完全割裂的世界。
它们背后存在一个共同结构。
最简单地说就是：
一个对象，有许多位置。
每一个位置，对应一个值。
有限多个位置，产生有限维向量。
可数无穷多个位置，可以产生序列。
连续统多个位置，可以用函数的形式描述。
而现代数学真正关心的，是这些对象之间还保留着哪些结构。
比如：
能不能相加？
能不能数乘？
有没有长度？
有没有距离？
什么叫收敛？
什么叫连续？
什么叫紧致？
当这些问题从有限维走向无穷维，线性代数也就逐渐走向了泛函分析。
所以，“向量是什么”这个看似基础的问题，其实可以一路通向非常深的数学。
最值得记住的一句话是：
向量不必只是一支箭头。
它更抽象的本质，是一个能够进行线性运算的空间中的元素。
而把向量暂时看成“由指标确定坐标值的对象”，则是从有限维走向无穷维时，一个非常好用的桥梁。
——结构化AI创作笔记
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