素数看似随机散落在自然数中，但宏观上遵循精确的渐近规律，这个反差正是数论最迷人的地方。素数只能被1和自身整除，2、3、5、7、11一路延伸，问题随之而来。第100万个素数是多少？素数在自然数中占多大比例？相邻素数间隔最大能有多大？孪生素数是否有无穷多对？这些问题的难度从可解到无人能解不等，黎曼猜想更是悬赏100万美元的千禧年难题。
数论分三大支柱：初等数论研究整除、同余、素数、丢番图方程。算术基本定理指出，每个正整数唯一分解为素数乘积。欧几里得证明素数有无穷多个。费马小定理给出a的p减1次方模p余1。费马大定理说n大于2时，x的n次方加y的n次方等于z的n次方无正整数解。
1994年怀尔斯用椭圆曲线和模形式完成证明。哥德巴赫猜想说，每个大于2的偶数都是两个素数之和，至今未解决。孪生素数猜想说有无穷多对相差2的素数，同样未解决。解析数论用微积分和复分析研究数论，核心工具是黎曼函数。素数定理给出(x)约等于x除以Inx。
素数分布看似杂乱，宏观上却遵循精确的渐近规律。代数数论用群环域研究数论，代数数域、理想类群、椭圆曲线是核心对象。朗兰兹纲领试图统一数论、表示论、代数几何。黎曼猜想是数论界的圣杯。黎曼(函数对所有复数s定义)猜想说(s)的所有非平凡零点都位于复平面临界线，Re(s)等于1/2上。如果成立，素数分布将变得完全透明。
素数定理的误差项能被精确控制，已验证前10万亿个零点都在临界线上，但验证不等于证明。1859年黎曼提出猜想，至今无人能证明或证伪。如果被证明，密码学RSA可能被颠覆。数论代数几何表示论全面统一，数论应用广泛。RSA密码、椭圆曲线密码、随机数生成、骚扰算法都依赖数论，银行卡和HTTPS连接都在用RSA加密，安全性基于大整数分解是困难的。高斯说数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。数论教会我们最简单的问题往往有最深刻的答案，素数是最简单的数学对象，分布规律却需要最深刻的数学才能理解。
辨别伪知识有三条实用技巧：
·第一，看到素数分布完全随机这种说法要警惕，宏观上有素数定理约束。
·第二，听到黎曼猜想已被证明的传言，先查克莱数学研究所官网，悬赏状态一目了然。
·第三，遇到用素数规律预测密码的说法直接忽略，密码学依赖的是计算复杂性而非分布规律。
数论从素数到黎曼猜想，简单背后是深渊。
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