我是老周，教了十几年高中数学。
先讲个事。
去年开学第一周，一个学生找我，说三角函数公式背到崩溃。
我问他：你背了多少条？
他说：诱导公式二十多条，和差角六条，倍角半角一堆，积化和差和差化积又八条。加起来四十多条。
我问：正负号记得住吗？
他说：记不住。每次用都靠猜。
我说：你别背了。你画一个单位圆。
他愣了：一个圆？
我说：一个圆，推完所有公式。
今天我把这四十条公式的推导过程，一次讲清楚。不是让你背，是让你画。
先说明：以下为高中数学知识整理，纯知识科普。
一、单位圆是什么
单位圆，就是半径为1的圆。
圆心在原点，半径等于1。
圆上任意一点P，坐标是(x，y)。
那么，cos等于x，sin等于y。
这就是三角函数的定义。
不是背出来的，是从单位圆上“看”出来的。
你看到单位圆上的点，横坐标就是cos，纵坐标就是sin。
比如30度角的点，坐标是(√3/2，1/2)。所以cos30°=√3/2，sin30°=1/2。
数据：单位圆定义法最早由欧拉在《无穷分析引论》中系统提出。它把三角函数从直角三角形推广到任意角，是现代三角函数的基石。
二、第一组：同角关系
从单位圆上，直接得到。
点P在单位圆上，坐标(x，y)。x²+y²=1。
所以sin²α+cos²α=1。
这是第一条。
tanα=sinα/cosα。因为tan是对边比邻边，在单位圆上就是y/x。
所以tanα=sinα/cosα。
数据：同角三角函数基本关系式共三条。sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα，1+tan²α=1/cos²α。
三、第二组：诱导公式
诱导公式二十多条，不用背。画单位圆。
核心口诀：奇变偶不变，符号看象限。
怎么从单位圆看？
你把角α的终边，旋转180度，得到α+180°。坐标从(x，y)变成(-x，-y)。所以sin(α+180°)=-sinα，cos(α+180°)=-cosα。
旋转90度，得到α+90°。坐标从(x，y)变成(-y，x)。所以sin(α+90°)=cosα，cos(α+90°)=-sinα。
旋转-α，得到关于x轴对称的点。坐标从(x，y)变成(x，-y)。所以sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα。
旋转180°-α，坐标变成(-x，y)。所以sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα。
所有诱导公式，都是旋转单位圆上的点。
案例：我有个学生，诱导公式总错。我让他每道题先画单位圆，标出旋转后的点。画了十道题，不错了。
数据：诱导公式共20多条。用单位圆理解，可以在一节课内全部推导出来，不用背。
四、第三组：和差角公式
和差角公式，是三角函数的重头戏。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
怎么推？
在单位圆上画两个角，α和β。
用两点间距离公式，或者向量点积，可以推出来。
推导过程只用单位圆和坐标，不用背公式。
cos(α+β)推导：设α和β的终边与单位圆交于A、B两点。A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)。将B旋转-α，得到B'(cos(β-α)，sin(β-α))。计算AB和A'B'的距离，相等，展开得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
sin(α+β)用诱导公式：sin(α+β)=cos(90°-α-β)=cos[(90°-α)-β]，然后套cos差角公式。
数据：和差角公式共6条。sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)。全部可从单位圆和诱导公式推出。
五、第四组：倍角公式
倍角公式，就是和差角公式里，令β=α。
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
tan2α=2tanα/(1-tan²α)
不用背。你把和差角公式里的β换成α，就出来了。
案例：我有个学生，倍角公式总记混。我让他先写和差角，再把β换成α。写了三遍，记住了。
数据：倍角公式共3条。全部由和差角公式推导而来。
六、第五组：半角公式
半角公式，由倍角公式反推。
cos2α=1-2sin²α，所以sin²α=(1-cos2α)/2。
cos2α=2cos²α-1，所以cos²α=(1+cos2α)/2。
把α换成α/2，得到半角公式。
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]
正负号看α/2在哪个象限。
数据：半角公式共3条。正负号由半角所在象限决定。
七、第六组：积化和差
积化和差，由和差角公式加减得到。
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
把上面四个式子，反过来写，就是积化和差。
数据：积化和差公式共4条。由和差角公式加减得到。
八、第七组：和差化积
和差化积，由积化和差反推。
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
把积化和差里的α+β和α-β，换成新的变量，就得到和差化积。
数据：和差化积公式共4条。由积化和差公式换元得到。
九、第八组：万能公式
万能公式，用tan(α/2)表示所有三角函数。
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
由半角公式和同角关系推导。
数据：万能公式共3条。由半角公式推导。
十、独立风险分析：单位圆不是万能，乱用会错
现在你知道单位圆推公式了。
但我要说一个别人不敢说的观点：单位圆不是万能，乱用会错。
市面上讲三角函数，十个有九个在说“画单位圆就行”。
这是最大的误导。
单位圆是基础。但有些公式，单位圆推起来很麻烦。比如积化和差，用和差角公式加减更直接。
风险一：象限判断错，正负号全错。
单位圆上的点，在第几象限，坐标正负不同。你象限搞错，符号就错。
风险二：角度制和弧度制混用。
单位圆上，角度和弧度要统一。你写sin(π/6)和sin(30°)，数值一样，但公式推导时不能混。
风险三：只画圆不练代数变形。
单位圆帮你理解，但考试要写过程。你只会画圆，不会写推导步骤，大题照样丢分。
我的观点：单位圆是地图，代数变形是走路。
你先用单位圆理解公式来源。再用代数变形练熟推导过程。
数据：三角函数学习中，单位圆理解和代数推导缺一不可。只画圆不练推导，考试大题容易丢分。
十一、案例：用单位圆推公式，三个月从60到90
我有个学生，三角函数58分。
我让他别背公式了。先画单位圆。
每天画十个角，标坐标，推诱导公式。推了一周，诱导公式全通了。
再推和差角。用两点间距离公式推。推了三天，和差角通了。
倍角、半角、积化和差、和差化积，全部从和差角推。
三个月后，他考了90分。
不是他变聪明了。是他有了源头。
十二、案例：只背公式，考试翻车
另一个学生，公式背得滚瓜烂熟。
但考试题目变了一下，他就懵了。比如sin(α+β)推cos(α+β)，他记混了。
我让他画单位圆。他画了，发现cos(α+β)和sin(α+β)就差一个符号。他理解了。
不是公式难。是他没搞懂源头。
十三、40个公式速查表
同角关系： sin²+cos²=1，tan=sin/cos，1+tan²=1/cos²。
诱导公式： 奇变偶不变，符号看象限。
和差角： sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)。
倍角： sin2α，cos2α，tan2α。
半角： sin(α/2)，cos(α/2)，tan(α/2)。
积化和差： 4条。
和差化积： 4条。
万能公式： 3条。
数据：以上公式共40条左右。全部从单位圆和和差角公式推导而来。
十四、结尾：一张单位圆，推完40个公式
三角函数公式，不是40个互不相干的知识点。
它们都从单位圆来。
单位圆上，横坐标是cos，纵坐标是sin。
诱导公式是旋转。和差角是两点距离。倍角是令β=α。半角是反推。积化和差是和差角加减。和差化积是换元。
一张单位圆，推完40个公式。
但记住：单位圆是地图，代数变形是走路。两个一起练，三角函数才真通。
你学三角函数的时候，是死背公式还是画单位圆？评论区聊聊。
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