从小到大，咱们学了这么多数学，究竟都学了哪些数学，数学都包含哪些分支或模块。我们今天来梳理梳理。

一、中小学阶段 1. 校内课本 （1）小学数学

算术：整数、分数、小数、四则运算、比例、百分数、基础应用题

初等直观几何：平面图形、立体图形，周长/面积/体积（无严格公理证明）

基础统计：图表、平均数

趣味逻辑、简单计数（组合启蒙）

（2）初中数学

代数：整式分式根式；一元/二元方程、一元二次方程；不等式；一次/反比例/二次函数

欧氏平面几何：公理体系，全等、相似、圆，几何证明

统计与概率初步

（3）高中数学

代数：集合、逻辑；指数/对数/三角函数；数列；不等式；复数；向量

解析几何：坐标系+代数方程研究几何（直线、圆、圆锥曲线）

空间欧氏几何：空间点线面、几何体、空间向量

概率统计：古典概型、随机变量、期望、抽样

1. 中学竞赛（奥数四大模块：代数、几何、数论、组合）

代数：多项式、不等式、数列、复数、函数方程

几何：以平面欧氏几何为主（梅涅劳斯、塞瓦、圆幂等拓展定理）；少量立体几何；解析几何一般归入代数

数论：质数合数、整除、同余、不定方程、欧拉/费马小定理

组合：计数原理、容斥原理、组合不等式、图论初步、存在性证明

二、大学本科 1. 通识数学课（工科/经管通用）

高等数学（微积分）：极限、导数、积分、级数、常微分方程初步（重计算，弱化证明）

线性代数：矩阵、行列式、线性方程组、特征值、二次型

概率论与数理统计：随机变量、概率分布、大数定律；参数估计、假设检验

2. 数学专业核心基础（纯数学三大基石：分析、代数、几何）

数学分析：严谨版本微积分，夯实分析证明基础

高等代数：严谨版本线性代数

大学解析几何：空间曲线、二次曲面，衔接高代与微分几何

3. 数学专业必修专业课

常微分方程(ODE)：单自变量微分方程

抽象代数（近世代数）：群、环、域

复变函数：复数域上的微积分（属于分析分支）

4. 本科进阶选修

实变函数（实分析）：测度、勒贝格积分，现代概率论基础

泛函分析：无穷维线性空间，偏微分方程、量子力学基础

点集拓扑：研究连续性，不依赖距离

微分几何：用微积分研究曲线、曲面，曲率

偏微分方程(PDE)：多自变量微分方程

数值分析（计算数学）：数值近似求解方程、积分，计算机数学

初等数论：竞赛数论的严谨系统化版本

5. 计算机专业：离散数学（打包课程，不是一级数学分支）

数理逻辑、集合论、组合数学、图论、代数系统

三、研究生及高阶现代数学（一级大分支） 1. 分析方向 Analysis

数学分析、实分析、复分析、泛函分析、调和分析、偏微分方程PDE

2. 代数方向 Algebra

抽象代数、交换代数、同调代数

3. 几何与拓扑 Geometry & Topology

微分几何、代数几何、低维拓扑

4. 数论 Number Theory

初等数论、解析数论、代数数论（现代数学独立大分支）

5. 组合数学 Combinatorics

极值组合、组合设计、图论、拉姆齐理论

6. 概率与随机过程 Probability

随机过程、鞅理论；常和分析、PDE交叉

7. 应用数学 Applied Math

运筹学、优化理论、计算数学、金融数学、生物数学；博弈论归入运筹

8. 数理逻辑 & 数学基础

集合论、模型论、证明论；研究数学本身的底层逻辑

四、补充辨析（易混概念）

1. 欧氏几何：公理推理，不使用坐标；分为平面欧氏几何、空间欧氏几何；中学竞赛几何就是平面欧氏几何

2. 解析几何：坐标法，用代数计算几何，不属于欧氏几何

3. 离散数学：课程打包名词，不是现代数学一级分支；内部包含组合、图论、数理逻辑

4. 数论：中学竞赛里是单独模块；现代数学是独立大分支，大量借用代数工具

最后借用冯诺依曼的一句话结束吧， 年轻人，在数学里，你无法真正理解事物，你只是慢慢习惯它们。