引言
为什么一个约等于 2.71828 的数字，会被叫作“自然常数”？第一次听到这个名字的人，多半都会疑惑：一个数学常数，凭什么和“自然”扯上关系？本文从这个问题出发，先把 e 放回复利运算和连续变化的过程中，看它如何从“1 加 1/N 的 N 次方”一步步逼近，并最终从一个描述自我变化的微分方程中涌现出来。
由此，问题就不只是“e 从哪里来”，而是“什么才是自然”。自然，本意是“自己的样子”：不受外界左右，由自身状态决定自身变化。以这个标准回看物理世界，匀速直线运动是一种自然，核爆早期能量爆胀、放射性衰变、种群自然增长等过程，也都在不同尺度上呈现同一种微分方程结构。
钱老的《工程控制论》正是以这个微分方程为逻辑起点：先理解自然，再讨论如何控制自然。于是，本文以微分方程为线索，从 e 的自然性出发，走向工程控制论中“自然—自由—控制”的底层逻辑。
e为什么自然？
e 在数学领域里是一个非常重要且传奇的数。今天我们可能讲不到那些传奇的故事，但可以把这个数是从哪来的讲清楚。
最开始接触 e，应该是在高一上学期学习指数和对数的时候。目前应该都还记得它有一个名字，叫自然常数。但我也相信，第一次看到这个名字时，稍微思考一下，大家就会疑惑：为什么这个世界上有一个数字，会跟“自然”扯上联系？。所以今天先来解决这个小小的疑惑：它为什么自然。
一般在解释 e 这个数的时候，会引用经济学中的一个案例，叫做复利运算，也就是存款时的复利运算。假设银行都有利率，比如用年利率来计算利息。你存一块钱，假如年利率是 1.5%，那么一年之后，你会得到一块一毛五。这样不太好算。那我们按100%算，存一块回报两块。
但银行的利率是可以拆分的。比如还房贷时，往往用到的是月利率，而月利率的计算就是年利率除以 12。这意味着利率其实可以拆分。所以可以先做一个很简单的实验：把一块钱存进去，先存半年，这样用到的就是年利率的一半，也就是 50%。把钱取出来之后，你拿到的不是两块，而是一块五。不要着急，现在把这一块五再存进去，再过半年，因为利率是 50%，所以再过半年，你会得到的钱应该是一块五的平方，也就是二块二五。
我相信你应该发现了一件事：这样存钱好像比刚刚多了。你和我应该都会有一个大胆的想法，所以应该把钱分的份数分得更多一点。如果把一年分 4 次，会不会得到比二块二五更多的钱呢？可以试一下。先存 25%，一个季度，存完取出来应该是 1 块 25；再存，应该是 1 块 25 的平方；存 4 次，一年结束后取出来，拿到的钱应该是 1 块 25 的 4 次方。它确实比刚刚多了。那么，如果你是第一次看到这样的运算，一定会有一个想法：如果存的次数足够多，是不是能够获得无穷的财富呢？
这里可以回归到第一次运算。其实 100% 的利率存一年，相当于一块钱乘以 1+1；50% 的利率存两次，相当于一块钱乘以 1+0.5 的平方，也就是 1+1/2 的平方；一块钱存 4 次，相当于 1 乘以 1 加上 1/4 的 4 次方。所以其实是在计算这样一个式子：1 乘以 1 加上 1/N 的 N 次方。当 N 变大的时候，能够看到，虽然说这个数字在不断地变大，但是它变大的速度正在慢慢降低。最终，经过数学家的研究，它会不断地趋近于一个数，这个数约等于 2.71828。这个数就是 e 的一个初始状态。
所以首先你大概知道，在自然界中，或者说在这个世界上，有这么一种东西，它可以通过复利运算得到。然后，我大概知道这个数约等于 2.71828 了。但是我们还是没有解决问题：它哪里自然了呢？随着拆分的次数越来越多，收益虽然还在涨，但是涨得越来越慢。不管你拆成多少份，永远突破不了一个天花板，大概是2.71828。
于是接下来进行第二个运算。假设现在有一个培养皿，里面有一种微生物：
第一组微生物的变化是突变式的：一开始数量不变，直到一个小时结束的那一刻，突然变成原来的两倍。也就是说，它在单位时间里的总增长是 100%，但这个增长不能分割，因为前 59 分钟它一点没变。
第二组微生物不一样：它也按每小时 100% 的总增长率增长，但它不是等到一小时结束才翻倍，而是每时每刻都在按当前数量增长。换句话说，这个增长率可以分割：半小时它增长 50%，从 1 变成 1.5；再过半小时，它又在 1.5 的基础上增长 50%，变成 2.25。
仔细想一想，它好像跟刚刚算利息的时候一模一样。如果你认为一个小时是 6 个 10 分钟，那么最终数量应该是 1 加上 1/6 的 6 次方倍；如果你认为一个小时可以被分成 N 份，那最终结果就是 1 加上 1/N 的 N 次方倍。而如果我们真的认为它是时时刻刻都在变化的，那时间应该可以被分成无限份，所以 N 应该趋近于无穷大，最终你会得到的结果是：一个小时之后，这组微生物会变成原来的 2.71828 倍那么多。
在微观领域中，放射性元素会衰变，但衰变也不是经过几十年之后瞬间就衰变了。所有的这些变化都是点点滴滴、时时刻刻在进行变化的。甚至生活中的一些小事，比如你的成绩，一年之后你的成绩发生了变化，但也不是到了一年那一瞬间就变了。你可以具体到每一天，具体到每一秒。每一个时刻，你干的每一件事情，其实都会影响最后的结果。
(1+1/N)的N次方，N越大，结果就越靠近这个数字。这就是人类第一次遇见e。
很长一段时间里，大家以为e仅仅只是利息游戏里算出来的一个奇怪数字。直到后来，人们转头望向真实的大自然，才猛然醒悟：原来e根本不是银行发明的，它本就藏在世间万物的变化里。你看一棵树长高，不是等到某一天瞬间猛窜一截；放射性物质的原子衰变，也不会憋几十年，然后集体一瞬间消失；生物种群繁衍、化学反应进行，全都是一分一秒、时时刻刻，连续不断地在发生。
它不是“到点突变”，而是当下有多大，就按照自己现在的规模继续变化。东西本身越大，变化的速度也就越快，完完全全由自身状态驱动，不受外界强行干预。想象那根会不停变长的杆子。
如果是突变模式：一小时才翻一倍，中间半点变化都没有。但真实世界是连续的，每分每秒都在生长。把时间切得越细碎，就越接近真实。当时间被切到无限细碎的时候，当年银行复利算出来的那个数字2.71828，再一次出现了。原来，复利只是人类用离散算账的方式，偶然撞见了e。
而大自然本身，时时刻刻都在上演这套连续演化：变化率和自身大小成正比。写成方程就是：dy/dt=ky。
这个方程不需要人为附加任何条件，是事物“做自己、由自身驱动”的自然状态。求解之后，e就自然而然从规律里面涌现出来。不管是核反应里面中子疯狂增殖，还是生物种群增长、粒子衰变，全部逃不开这套规律。
也正是因为这个原因，它才叫做自然常数。
所以，看待这个世界的眼光应该是一种连续的眼光。而当我们以连续的眼光看待这个世界的时候，这一刻取决于上一刻，下一刻取决于这一刻。而这种感觉其实就是复利运算，而复利运算算到最后就是 e。所以，如果你以连续的眼光看待这个世界，你会发现 e 其实在生活中处处可见，而 e 本身就是“连续”最好的一个代名词。我曾经在一个地方看到过一位非常厉害的老师说的一句话，叫做：e 就是连续。我非常认同，也把这句话送给大家。
所以现在来看，在这个自然界，在这个世界，还有什么事情能够比连续变化这种丝滑般的感觉更自然不过的呢？所以，把 e 称为自然常数，是一个非常合理且非常完美的描述。
银行复利让人类发现了e；自然界万物连续自我演化，才是e真正的家。
故事还没有结束。后来钱学森先生写《工程控制论》，翻开书的第二页，写的正是这个代表事物“自然、自由”的微分方程。纯粹自然状态下，系统只顾按照自己的本性演化。可人类想要去改造、调控世界。
于是我们给方程加上外部的干预力量，变成受迫方程。就这样，人类得以跳出事物本身的自然本能，学会去控制它，自动化、工程控制的思想，也由此拉开序幕。
什么是自然？
1954年，钱老出了一部书《工程控制论》。这部书被誉为技术科学的典范。它的逻辑起点就是这两个字：自然。理解了什么是自然，就能理解工程控制论的底层逻辑，完全不需要人为设定任何东西。这就有个问题：什么是自然？
随手抓过来两个小球，一个做匀速直线运动，一个做匀加速直线运动。它们哪个自然？这取决于怎么定义自然。自是自己，然是样子。自然的本意就是自己的样子，Nature 的本意也是自己的样子。按照这个本意，显然 P1 自然。因为匀速直线运动没受外力影响，它的速度如果是10就一直是10，是100就一直是100。它自己是什么样子就一直是什么样子。P2呢，它有个加速度，这个加速度来自外力。P2的样子是由这个外力决定的，是身不由己。
这就有个问题：一个物体是自然状态，就说明它不受外界的任何影响。那这个物体是不是只能像 P1 一样做匀速直线运动呢？当然也可以是静止，但静止可以视为一种特殊的匀速直线运动。难道自然就只有这一种形式吗？如果真是这样，那这个宇宙是不是太可怕了？因为持续稳定的匀速直线运动根本不存在，绝对的静止也不存在。这是否意味着宇宙中的所有事物都是身不由己？难道这就是宿命？所以本期你将解决一个大问题：怎样从物理层打破宿命？在打破宿命的同时，意义就会从自然中涌现。
为了解决这个问题，你重新审视了一下 P1 和 P2。这是两个不同的状态，物体状态通常与什么有关？能量。确切地说是与能量的变化有关。
你随手写下了这个动能公式，因为要分析能量的变化，所以等号两边得对时间求导。这是个常数项，可以提到前面。这里的 V 不是固定值，是一个关于时间的函数。所以 V 方就是一个复合函数，需要用一下链式法则。
令 U 等于 V，也就是这个关于时间的函数。根据链式法则就可以写出这个式子。U 方对 U 求导，结果是 2U。再把这里的两个 U 换成 V，就得到了这个式子。
这个导数刻画的是速度随时间的变化率，也就是加速度；加速度与质量的乘积，就是物体所受的合外力 F。因此，P2 的瞬时能量变化来自这个 F，该式表示的正是合外力 F 的瞬时功率。P2 之所以不自然，根本原因就在这里：它的样子由外力做功所驱动，自己并不能做主。P1 则不同。它做匀速直线运动，外力为 0，确切地说是合外力等于 0，因此没有受到外界影响，这才保持了自然状态。
那么，能不能找到一个自然的 P3？如果它的能量变化像 P2 那样由外力驱动，那就不自然，所以不能有外力；如果能量变化等于 0，那又和 P1 一样了，所以也不能等于 0。假如真的存在这样一个 P3，它的能量变化率应当等于什么呢？无论等于什么，有一点是确定的：这个量必须来自它自身的参数。因为只有由自己决定自己的样子，才称得上自然。问题是，该选自身的哪个参数呢？眼前只有两个候选：T 和 E。T 是时间，并不属于 P3，不是它的参数；于是只剩下 E。能量是 P3 自身的一个状态参数，不属于外界，符合要求；而且除了 E，眼下也没有别的可选。所以，不管看起来是否合理，姑且先让它等于 E 试一下。
盯着这个式子，你很快注意到一个毛病：等式两边的单位对不上。能量用焦耳计量，而另一边却是焦耳每秒，单位不同，怎么能直接相等？不过你先把这点疑问搁在一边，因为更棘手的问题冒了出来：假如这个方程真的成立，它到底在说什么？它说的是能量无时无刻不在增长，而且增长的速度本身也在不断加快；能量越多，增长越快，增长越快，能量又越多，彼此推动，完全摆脱外界约束，像彻底放开了一样。
可要“放开”，总得有底气。底气从哪里来？如果 P3 真按这个微分方程所规定的规律走，那么它迅速累积的能量只能有一个来源：不能是外界供给，否则就不自然；只能从它自身内部找。P3 自身有什么？从宏观层面看，无非是质量。
爱因斯坦在1905年给出了质能方程，E 等于 MC 方，M 确实蕴含着巨大的能量。通过刚才对自然状态的求索，竟然暗示了爱因斯坦质能方程的存在。物理学就是这么奇妙。
要考察质能方程和前面那个微分方程的关系，可以先对 E=MC² 关于时间求导。这里 M 不再固定，而是随燃料消耗而变化的量；C 是常量，所以 C² 可以提到导数外面。这样得到的一个表达式里并不出现 E，单看它还看不出与前面的方程有什么联系。于是利用 E=MC² 做代换：在导数项旁配出 M 与 1/M 这一对因子，把 MC² 整体换成 E，再将剩下的部分记为 k 并代回。此时再看新得到的式子，它与前面的微分方程在形式上已经相同。
这个式子就是 k 等于一的情况。而且这个 k 是有单位的。这一部分的单位是每克，这一部分是克每秒。所以 k 的单位就是每秒。上面这个式子 k 等于 1 每秒。现在这里有了 1 每秒，整体就是焦每秒。另一边也是焦每秒，两边的量纲一致，前面说的量纲问题不存在。由质能方程变换来的这个式子，居然和前面凭空构造出来的这个式子是相同的。为什么会这样？因为质能方程描述的是物质本身所具有的能量，与外界无关。前面构造的这个式子，在构造时也去掉了外界的因素，所以它们都是自己的样子，是自然让它们走到了一起。
这个微分方程所对应的物理现象就是核爆。确切地说是核爆最初瞬发超临界的早期能量的爆胀阶段。核反应一旦进入瞬发超临界状态就不可逆了。目前还做不到从外界主动施加某种力量进行控制，只能通过事先设计好的负反馈机制进行限制。
所以反应堆一旦进入瞬发超临界状态就危险了。比如1986年苏联切尔诺贝利核事故，就是反应堆意外进入瞬发超临界状态发生的。1961年美国的 SL-1 核事故也是这么发生的。不过知道这个事故的人要少很多。瞬发超临界状态持续的时间很短，是微秒级的。
能用这个方程描述的能量爆胀过程是瞬发超临界的早期，所以持续的时间更短，也就几十到几百纳秒。但就是在这个极短的时间内，它活出了自己的样子。它所释放的能量，不管有多惊人，都是它自己的，来源于它自己的质量。在这个短暂的过程中，它没受外界影响，所以它是自然的。
不过，有没有发现这里有个问题？这个方程其实是唯象的。也就是说，这个方程只描述了一个能量快速爆胀的现象，并不能解释为什么能量可以这样爆胀。质能方程能解释吗？也解释不了，因为质能方程只是在说质量蕴含了巨大的能量，但怎么把这个能量撬出来呢？质能方程给不了答案。
从1905年爱因斯坦给出质能方程的那一刻起，人们就开始琢磨怎么把能量从质量里撬出来，但一直没有头绪。直到1932年，第一个关键人出现了：查德威克。英国物理学家，他发现了中子。其实在一年前，约里奥-居里，法国物理学家，他们是居里夫人的女儿和女婿，已经实质上发现了中子。他们在实验中观察到一种被认为是伽马射线的、穿透力极强的辐射，表现出来的性质与伽马射线并不相同。
可惜，他们还是把这种辐射称为高能伽马射线，并在1932年1月18日发表了相关实验结果。查德威克看到他们的论文后，极其敏锐地注意到了问题，而且大概是感觉到约里奥-居里夫妇的这个误判用不了多久就会被发现，所以查德威克马上开始夜以继日地做实验。用了不到10天就完成了中子基本性质的测定，在2月17日向 Nature 提交了论文。约里奥-居里的那篇论文是1月18日发表的。前后相差了不到一个月，这是什么效率？查德威克为了发论文抢第一也是拼了。就这样他成了发现中子的第一人。三年后，也就是1935年，查德威克因此获得了诺贝尔物理学奖。
有了中子之后，意大利物理学家费米出场了。他在1934年实质性地制造了原子核裂变。他用中子轰击铀，观察到了多种新的放射性产物。可惜他当时没有意识到那是裂变。他的推测是铀吸收中子后变成了原子序数更大的超铀元素。他的这个结论在当时得到了普遍支持。
四年后，时间来到1938年，又一个关键人物出现了：哈恩，德国化学家，他非常执着，坚持要把中子轰击铀的产物分离得足够干净，确定到底是什么元素。这项工作是和他的合作伙伴斯特拉斯曼，同样是一位德国化学家，共同完成的。经过反复实验，他们确定产物中有钡。钡是56号元素，铀是92号元素。这说明铀原子核在受到中子轰击时可能裂开了。哈恩因此在1944年获得了诺贝尔化学奖。遗憾的是斯特拉斯曼没能一起获奖。这被认为是诺贝尔奖历史上的一次重大错误。不管怎样，这次发现足以说明求证思维的重要性。前面说的约里奥-居里把中子当成了高能伽马射线，费米把裂变产物当成了超铀元素。虽然他们都是顶级的物理学家，但忽视了求证同样会犯错误。新的发现总是艰难的。
虽然哈恩和斯特拉斯曼已经确定了产物里有钡，但他俩很困惑，因为当时人们认为原子核是一个整体，可以吸收或者释放中子变成同位素。但没有任何理论支持原子核会裂开。现在产物里发现了钡，这哥们是从哪来的？所以他俩困惑，甚至有些不安。于是哈恩把这个结果告诉了他的另一个合作伙伴迈特纳。一位奥地利物理学家，她本来是在德国和哈恩一起工作的，但她当时不在德国，因为受到迫害，流亡到了瑞典。收到哈恩的信后，迈特纳认为这就是原子核裂开了。
至于怎么解释这个现象，她想到了一个人：玻尔，丹麦物理学家。之前的文章多次提到过玻尔，因为量子力学是绕不开这个人物的。就是他的弟弟把挂谷问题告诉了贝西科维奇，才成就了后来的挂谷猜想。
玻尔在1936年提出了一个液滴模型，他认为原子核更像是一个液滴。如果是液滴，那分裂就容易理解了。但玻尔是在解决别的问题时构建的这个模型，他当时根本就没去想分不分裂的问题。迈特纳想起了这个模型，认为用液滴可以解释哈恩的实验结果。
多少有点巧合的是，她有个外甥叫弗里希，也是奥地利物理学家。弗里希刚好在玻尔研究所工作，玻尔是他的老板，所以他对液滴模型很熟悉。当时刚好是圣诞节，弗里希去姨妈那串门，迈特纳就把哈恩的实验结果告诉了弗里希。于是两人合作，用液滴模型的理念解释了哈恩的实验结果。
1939年1月，他们联合发表了一篇论文。今天我们所熟知的裂变这个词，最早用于核物理，就出自这篇论文。这一段在整篇论文中很关键。不过这里有个问题：可能分裂成两个大小大致相等的核。现在已经知道核裂变是以非对称模式为主，所以这里说大小大致相等是不对的。可见不管是多牛的人，在做推测时都是有可能犯错的。所以还是得求证。可以说求证是不分对象的，对任何人任何事都很关键。
这篇论文给出的另一个很重要的信息是，他们应获得总计约200兆电子伏特的动能。这一能量来自质量亏损，来自质量亏损。爱因斯坦的质能方程终于可以落地了，从此人类终于知道了怎么从质量里撬出能量，找到了打开核能大门的钥匙。这篇论文可以说是核物理学的出生证明。据说弗里希在圣诞节假期结束后回到玻尔研究所，把他和姨妈的研究结果告诉了玻尔。玻尔听完，一拍脑袋，懊恼地说：我们真是些蠢货，为什么之前没想到呢？然而面对未知，谁又不是蠢货呢？正是因为有了这些先行者，才让后人显得不是那么蠢罢了。
跟着这些人的脚步走下去，就可以得到这样一个方程。这是核反应堆最核心的点堆动力学方程中的中子密度变化率方程。这个方程看起来有点复杂，其实也只是看起来复杂而已。这三项分别对应的是瞬发中子项、缓发中子项和外中子项。因为现在关注的是瞬发超临界过程，所以后面这两项可以忽略。只剩下一项，这看着就简单多了。这里的 N 是中子密度，是一个关于时间的函数。这个系数看着还是有点复杂。
Lamb 是中子代时间，ρ 是反应性，β 是缓发中子总份额。如果 ρ 大于 β，就会进入瞬发超临界状态。在瞬发超临界的早期，这个系数可以视为常数。既然是个常数，那干脆用 K 把它替换掉。这个 K 是由自身状态决定，所以是一个状态参数。对照之前的能量变化率方程，它们俩在形式上一模一样。这里的中子密度变化率是由中子密度决定的。也就是说，它自己的样子是由自己决定的。所以这是一个自然过程。正是因为中子存在这样的自然过程，才会产生上面这个能量爆胀的现象。所以这个形式的微分方程很关键，它代表了自然。
最开始说的匀速直线运动也是自然。它的能量变化率是 0。从纯数学的角度看，就是 K 等于 0 的情况。K 是状态参数，如果 K 等于 0，意味着什么？意味着自己不想释放自己的内在能量，也就是躺平了。然而现实中其实想躺平也躺不平，因为物理学不允许，就像匀速直线运动。宇宙中并不存在持久稳定的匀速直线运动，因为来自外界的任何微小的力都能造成干扰。所以匀速直线运动只存在于人们的想象之中。
躺平也一样，不去调用自己内在的力量去对抗外界的影响，就会受制于人。受制于人就做不了自己。所以在现实中，但凡想躺平的人，最终都会以躺不平而收场。既想躺平，又想做真正的自己，也只存在于想象之中。这不是鸡汤，而是物理学把躺平的大门关上。要做真正的自己，就只能像核爆一样，调用自身内在的能量去对抗外界的干扰。所以这个微分方程就是这个世界的一段底层代码。不管是生命体还是非生命体，要打破宿命，摆脱命运的安排，都得靠这个方程。
放射性衰变几乎不受外界影响，是这个方程。基本粒子衰变是这个方程。激发态原子的自发辐射是这个方程。量子隧穿导致的阿尔法衰变是这个方程。恒温一级化学反应也是这个方程，种群自然增长还是这个方程。
在生物学领域，这个方程也叫马尔萨斯方程，它源自马尔萨斯的这个观点。马尔萨斯方程的历史渊源，用这句话解析了动态思想和静态思想的区别。还没看的话可以翻出来看一看。这句话里，“在不受抑制时”这个条件很关键。如果受抑制，就是外界环境在干涉种群，就不自然了。所以在不受抑制时，才符合这个方程，才是种群最自然的状态。所有这些过程都一样，都没有外部驱动或制约，都是自我驱动的，它们都是自然。所以说这个微分方程就代表了自然。对这个方程求解，就可以得到一个指数型函数。e 就这样出现了，是从这个代表了自然的微分方程中涌现出来的，不需要人为设定任何东西。所以 e 被称为自然常数，名副其实，当之无愧。
结语
e 之所以“自然”，不在于它有一个神秘的名字，而在于它来自最本源的连续变化：这一刻取决于上一刻，下一刻取决于这一刻。复利运算是人类发现 e 的一条路径，而微分方程才是 e 的逻辑起点。
更进一步，这个代表自然的微分方程并不只属于数学：它出现在放射性衰变、基本粒子衰变、自发辐射、化学反应和种群增长中，也出现在钱老《工程控制论》的开篇。
自然，是自己的样子；自由，是按自己的意愿行事、不受外界影响。
二者在微分方程中相通。控制，则是在理解自然过程之后，从外界施加预设规则，对自然过程进行干预；自动化正由此而来。钱老在受限环境中写下“Free”这个词，使这个方程不只是技术科学的起点，也带有一种打破命运羁绊的意味：躺平就会受制于人，调用自身内在的能量去追求自然，才能做自己。
从自然到工程控制论，微分方程是一条线索：它让我们看见自然如何涌现，也让我们理解人类如何从认识自然走向控制自然。
—THE END—
编辑：fanye
来源：费油的时光机
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