中公教育供稿 在近几年的重庆公务员考试行测考题中，容斥问题的出题量逐步呈现上升趋势，可以预见，今后一段时间内，容斥问题仍然是必考题型之一。然而，很多考生一直没有找到快速处理此类问题的方法。接下来，中公教育专家就同大家一起来探讨一下如何迅速准确地解决容斥问题。
所谓容斥问题，简单来说就是利用集合的思想来处理的问题，通常的处理方法是借助文氏图来解决。然而，对于大多数考生而言，两个集合尚无问题，一旦上升到三个及其以上的集合，问题就出现了，基础不好的考生就很难在短时间内把图形弄清楚了。因此，我们对此作一个高度的总结，把常见题型概括为固定公式，以后遇到此类问题，直接套公式就行了。
- 一．两个集合
公式一：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，两个集合都选的有n人，选择集合A或集合B的有x人，则：
x=a1+a2-n
例一：运动会上共有50人，依次编号1-50，编号为4的倍数的参加跳远，编号为6的倍数的参加跳高。问参加跳远或跳高的一共多少人？
解析：易得参加跳远共有12人，参加跳高共有8人。由于4和6的最小公倍数为12，所以既参加跳远有参加跳高的人员为12的倍数，共有4人。因此由公式一，参加跳远或跳高的一共
12+8-4=16（人）
公式二：设选择集合A或集合B的有x人，既不选择A又不选择B的有y人，总人数有s人，则：
s=x+y
例二：某班共有30人，其中有22人喜欢美术课，25人喜欢体育课，两种课程都喜欢的有18人。问两种课程都不喜欢的有几人？
解析：由公式一，喜欢美术课或者体育课的有
22+25-18=29（人）
又共有30人，所以由公式二，两种课程都不喜欢的有
30-29=1（人）
- 二．三个集合
公式三：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，选择集合A3的有a3人，只选了两门的有m人，三门都选的有n人，至少选一门的有x人，一门都不选的有y人，共有s人，则：
- x=a1+a2+a3-m-2n
- s=x+y
例三：某考察团成员母语均为中文，其中有1人只会说母语，有10人会说英语，有6人会说法语，有4人会说西班牙语，有5人会说上述三种外语中的两种，有2人上述三种外语都会说。问该考察团共有多少人？
解析：由公式三①，至少会一种外语的有
10+6+4-5-2×2=11（人）
又一种外语都不会的只有1人，再由公式三②，该考察团共有
11+1=12（人）
公式四：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，选择集合A3的有a3人，既选A又选B的有b1人，既选A又选C的有b2人，既选B又选C的有b3人，三门都选的有n人，至少选一门的有x人，一门都不选的有y人，共有s人，则：
- x=a1+a2+a3-b1-b2-b3+n
- s=x+y
例四：对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？
解析：因为共有39种，三种维生素都不含的有7种，由公式四②，至少含一种维生素的有
39-7=32（种）
设三种维生素都含的有n种，则由公式四①
32=17+18+15-7-6-9+n
易得，n=4。所以，三种维生素都含的有4种。
三：极值问题
公式五：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，……，选集合An的有an人，共有s人，则这n个集合都选的
- 至多有：min{a1,a2,……,an}(人)
- 至少有：a1+a2+……+an-(n-1)a0(人)
例五：某工厂一季度有80%人全勤，二季度有85%人全勤，三季度有90%人全勤，四季度有95%人全勤。问：全年全勤的人（1）至多占全厂人数的百分之几？（2）至少占全厂人数的百分之几？
解析：
（1）由公式五①，至多占
min{80%,85%,90%,95%}=80%
（2）注意到是4个集合，即n=4，由公式五②，至少占
80%+85%+90%+95%-(4-1) ×100%=50%
（中公教育研究与辅导专家 彭宇煦）
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