如何学会更清晰地思考？|几何学|数学家|爱因斯坦|科学|笛卡尔

作者：姚斌

来源：在苍茫中传灯（ID：chuandeng169）

法国国家科学研究中心研究员戴维·贝西之所以创作《数学觉醒》一书，是因为他期待读者改变看待世界的方式，从而更好地学会清晰地思考。许多人认为，数学只属于天赋异禀的精英，不是谁都可以参与的。然而，贝西反复强调事实并非如此。这与许多伟大的数学家看法一致。对于投身数学的人而言，数学不仅是一种内心体验，而且还是一种感性和精神的追求。

直觉

数学的灵魂所在

许多人对阿尔伯特·爱因斯坦曾说的“我没有什么天赋，只有强烈的好奇心”不以为然，但《数学觉醒》的核心观点就是要认真对待爱因斯坦这句话。爱因斯坦经常谈到直觉在他的发现中多么重要。他郑重其事地说：“我相信直觉与灵感。”数学家很清楚，有两种不同的数学：官方数学与秘密数学。官方数学的逻辑和结构十分严密，是一种基于晦涩符号的深奥语言；而秘密数学，也就是数学知觉，则存在于数学家的大脑中，它由心理表征和抽象感觉组成。

在数学家的头脑里，想法是明亮、简单、强大的。直觉是数学的灵魂所在，如果没有直觉，数学就毫无意义。但我们不能因此认为，如果对数学一无所知，就没有改变的可能了。我们对数学对象的直觉不是与生俱来的，也不是一成不变的。只要遵循正确的方法，我们就能建立这种直觉，让它不断发展壮大。数学家深知，真正的课题是理解书本中的数学，并能够看到它、感受它。

我们可能不知道，在所有伟大的科学革命和最困难的数学理论的背后，都是直接在发挥作用，这些直觉总是与我们的直觉一样简单。爱因斯坦脑海里的一部“动画片”使他提出了相对论，这部动画片并不比让我们看到一条直线与圆相交于三个点的图更复杂。当爱因斯坦说他相信直觉时，他指的并不是一种与我们截然不同的、与生俱来的特殊直觉。如果他真的这么想的，他就不会说自己“没有特别天赋”。爱因斯坦讨论的是普通的直觉，即人人都有的直觉。人们通常认为它不够成熟，学校也教我们不要相信它。爱因斯坦说的直觉是我们想象事物的能力。如果我们学会利用简单而单纯的想象力，有可能也让我们成为非常擅长数学的人。

伟大的想法总是直观而简单的，甚至简单的不可思议。我们也只能理解显而易见的东西。如果某些东西并不显而易见，那是因为它们还没有被真正理解。这是一条关于人类认知的普遍见解：我们的科学是由人类发明的，从更深层次来讲，人类都是由相同的物质组成的。一些人本来只是试图理解一些东西，却在这个过程中做出了伟大的发现。他们寻找正确的道路、正确的心理图像和正确的观察方式，直到事物变得显而易见。

这种方法适用于所有智力创造领域，尤其是数学领域。数学知识并不基于实验数据，无需积累百科全书式的知识。特别是，数学书里除了显而易见的证明，貌似什么也没有。矛盾之处在于，要使一件事显而易见，必须首先构建心理表征。一旦构建好，就可以轻松地看到这些心理图像。没有人天生就拥有现成的图像，也没有人立即就能构建这些图像。构建这些图像花费的时间比我们想象的要更长。对每个人来说，它都由迟疑、试错、迷路和重启组成。这个过程将持续我们一生。无论我们是否研究数学，我们对世界的看法和心理图像都在不断演变。

数学家的传说就是从这里开始的。这不是成为超人的神奇秘诀，而是帮助我们构建更好的心理图像的简单原则。这里的关键在于，我们能否重新构建自己的世界观的方式。也许我们自认为数学很差，但其实我们已经理解的数学概念在99%的人类历史中是只有天才才能理解的。我们已经构建出清晰、有力的心理图像，并每天都在使用它们。纳西姆·塔勒布最认可的三位大师之一格尔德·吉仁泽早已将直觉发展成为科学。吉仁泽指出，在不确定性的世界里，我们需要借助睿智的经验法则和直觉，才能做出明智的决策。

明证性

唯一可靠的真理标准

数学是人类精确描述那种无法具体展示的事物的唯一有效的工具。在数学书中，最重要的部分既不是定理也不是证明，而是定义。当勒内·笛卡尔提出从零开始重建科学和哲学的构想时，他的思路很容易理解。他发现，哪怕是最伟大的学者，在最基本的问题上也无法达成一致。很多时候，他们的所谓知识只不过是“建立在泥沙之上”。相反，数学则建立在坚实的岩石之上。这正是数学吸引笛卡尔的地方。

在笛卡尔之前，没有人想到可以用方程来描述几何图形。在1637年作为《谈谈方法》的附录出版的《几何学》中，他在曾被认为完全独立的两个数学分支——代数和几何之间架起了一座桥梁。如今，即便是小学生都对现代笛卡尔坐标系了如指掌：根据横坐标和纵坐标在平面上确定一个点。这一概念起源于笛卡尔的发现。我们真的很难想象，在笛卡尔之前没有人看到笛卡尔坐标，就像没有人能看到圆形和正方形一样荒唐。

《谈谈方法》从开篇开始，信息就极为明确：笛卡尔自称并没有什么特殊天赋。笛卡尔认为，他之所以能以一种与众不同的方式看待事物，是因为他偶然地发现一种特别的方法：“凭着这种方法，我觉得有办法使我的知识逐步增长，一步一步提高到我的平庸才智和短暂生命所能允许达到的最高水平。”

笛卡尔伟大的创新之处在于，他将直觉和主观性置于认知过程的核心。他不信任已有的知识和书本中所写的内容。他对权威人士的话语保持怀疑态度。他更喜欢自己从头开始，在脑海中重新构建一切。笛卡尔对此毫不隐瞒，他的方法正是数学家的方法。对于笛卡尔来说，真理是一个生死攸关的问题。他完美地体现了数学心理学独特而强大的一面：他与真理水乳交融。他总是如饥似渴的要求学会分清真假，以便在行动中心明眼亮，一辈子满怀信心地前进。他看不起那些表面的真理。他感兴趣的是那些真实的真理，即那些不会在一夜之间改变的真理，那些让自己更强大、更自信，并帮助我们在生活中做出正确选择的真理。

对于笛卡尔来说，唯一可靠的真理标准就是“明证性”，即通过有意识且系统化的澄清、表述和解释所构建的明证性，旨在使事物变得完全清晰，直至一目了然。对于笛卡尔而言，数学理解的体验是唯一能真正让我们理解“理解”是什么的途径。数学是一种心灵的觉醒，它教我们认识正确的身体感觉，引导我们走上知识之路。如果没有亲身经历过这种清晰、透彻的真理形式，我们就不可能理解“清晰”和“分明”这两个词的词义，也不可能理解笛卡尔想要告诉我们什么。

笛卡尔要求我们不仅要对别人的说法进行怀疑，更要对自己的确信感进行怀疑。这是他的方法的核心，也是其中最难模仿的地方。数学为我们提供了一些可以深信不疑的真理的例子。它们不仅仅是像2+2=4这样的表面真理，还包括一些非常有趣且乍一看并不明显的深刻整理。然而，只有通过无情的怀疑，澄清并明确每一个细节，直到一切都变得清澈透明，最终才能产生确凿无疑的明证。怀疑是一种澄清思维的技巧，用于创造而非摧毁。

笛卡尔拒绝那种“为怀疑而怀疑，永远摆出犹疑不决架势”的怀疑论。如我们所见，他的目标恰恰相反：他想“一辈子满怀信心地前进”。他对待怀疑的方法与他对直觉的偏好紧密相连：他将直觉定义为“纯净而专注的心灵构想，这种构想容易而独特，使我们不至于对自己所领悟的事物产生任何怀疑”。因此，怀疑对应于直觉的盲区。要真正怀疑一件事，光说怀疑还不够，还必须真心实意地认为这件事可能不是真的。为此，我们必须在头脑中构建出一幅图像，表明存在可疑之处。他要求邀请我们全身心投入认知发展，“应该充分利用悟性、想象、感觉和记忆所提供的一切助力（……）用于清楚地直观单纯命题。”

专注

“字里行间的想法”

威廉·瑟斯顿（1946-2012）是现代最有魅力的数学价值。他在几何学领域的研究工作极具深度和独创性，他称得上20世纪最伟大的几何学家之一，但他的故事远不止于此，他那独特的思想、开放的精神，以及无奇的好奇心，我们很难用寥寥几句来概括。

1994年，瑟斯顿在《美国数学学会通报》上发表了一篇长达20页的文章，题目为《论数学的证明与进展》。他从自己的内心活动出发，描述了自己作为数学家的动机，以及他在工作中的心理过程。瑟斯顿特别提到，在阅读自己熟悉的领域中的研究论文时，他其实没有真正的阅读。他更喜欢专注于“字里行间的想法”。一旦有了清晰的想法，形式和技术细节就突然显得无用且多余了：“我经常觉得，与弄清楚作者到底写了什么相比，自己写出来要容易得多。”这就像一台新的烤面包机。如果你已经知道烤面包机是什么，那么说明书就没什么用了。

在数学世界中，“烤面包机”是一些零部件，我们必须在脑海中把它们组装起来。差老师照本宣科，让学生背诵组装烤面包机的198个步骤，以为这样就大功告成了，而好老师会竭尽全力解释烤面包机是什么。差老师之所以没有把人类的理解至于数学的中心位置，是因为他们自己也没有得到正确的教导。也许他们无法在自己的脑海里看到一台烤面包机的形象。或者，情况恰恰相反，你能在脑海中清晰地看到烤面包机，但有时会忘记了不是每个人都能以同样的方式看到它。正如瑟斯顿所说的，一些人所拥有的清晰的心理图像，对另一些人来说却非常可怕。

对于瑟斯顿和大多数数学家来说，数学位于语言的上游，是一种感官与身体的体验。瑟斯顿指出，当一个重要的新定理刚刚被证明时，该领域的两名专家通常可以在私下交谈中用“几分钟”解释清楚。但在一群专家面前演讲时，解释相同的结果至少需要“一小时”。如果以书面形式发表这一成果，则需要一篇长达“15到20页”的论文。即使同样是专家，也需要“几小时甚至几天”才能理解。

数学并不是什么可以通过触摸传递的魔法，但某种程度上有点儿像。我们想理解一个数学概念，最快的方法是与真正理解他的人进行开放讨论。理解某事的“寓意”，意味着能够凭直觉向自己解释这件事，并说得出它为什么正确：这就是故事的寓意所在。如果数学只是逻辑问题，那这样的事情就不存在了。逻辑推理推不出任何“寓意”。所谓寓意解释往往含糊其词，模棱两可。

数学是一个过程，需要以足够的毅力和决心凝视那片混乱和困惑的迷雾，最终突破迷雾，到达更加清晰的境界。我们可以在脑海中将数学对象想象成“手中的小物件”，或者“与人体相当的结构”，甚至是“我们被包围其中，可以在其中移动的结构”。从逻辑上讲，这些结构理应没有区别。但瑟斯顿声称大小至关重要：“一般来讲，使用的图像更大，我们的思考就更高效。”

数学的产物是清晰和理解，而不是定理本身。这个世界上的清晰和理解并不多。从数学中获得的真正满足是向他人学习并与他人分享。瑟斯顿将数学定义为一种人类合作项目，旨在理解和分享，而不是追求永恒真理。如果没有人类的理解，定理就没有任何价值。谁先证明的那个结果并不重要，重要的是我们赋予这些结果的意义。真正的数学是鲜活的，它存在于我们每个人心中。瑟斯顿的定义看似无关痛痒，却从根本上质疑了数学两千多年来的呈现形式。

技巧的核心

寻找纯粹的好奇心

亚历山大·格罗滕迪克不仅仅是一位伟大的数学家。他于2014年去世，但在他去世的很早之前，他就已经成了传奇。格罗藤迪克是历史上极为罕见的数学家之一，他的贡献不仅在于深刻的结果或壮观的理论，他发明了一种理解数学的方法，这种方法新颖而丰富，似乎改变了数学的本质。正因为如此，他通常被视为20世纪最伟大的数学家。

格罗滕迪克用了15年时间探索代数几何，写作是他的方法的核心。他甚至说“研究数学最重要的就是写作”。然而，格罗滕迪克并不觉得自己比别人更有天赋，他的非凡创造力并非来源于此。他给出了一种完全不同的解释：“研究人员的创造力和想象力的质量，取决于他倾听事物之声时注意力的质量。”这就如同爱因斯坦所说的那句话“我没有特别的天赋，只有强烈的好奇心”。

格罗滕迪克承认，如果无法在脑海中构建出正确的图像，他就完全无法阅读任何数学的书，哪怕是最简单的书。他的非凡著作《收获与播种》手稿长期以来一直没有出版，秘密地流传了35年之久，直到2021年才在法国正式出版。这部非凡的著作就像长篇独白，庞杂、冗长、艰涩，时而精彩绝伦，时而含混不清，其中穿插着大量隐喻和寓言，页脚散布着各种注释和参考，就连这些注释和参考也有自己的注释和参考。然而，人们一致认为，《收获与播种》是有史以来关于数学体验最伦无与伦比的见证。

在《收获与播种》开头，格罗滕迪克就对读者说道：“我想与你心中那个懂得独处的孩子对话，而不是其他人。”他的非凡创造力源自他与“内心”的孩子保持亲近：“在我内心，出于一些我还没探究过的原因，某种天真得以存留下来。”他将此描述为“孤独的天赋”，即一种让自己“独自倾听万物，并全神贯注与孩童游戏”的能力。

格罗滕迪克发明了自己独特的冥想技巧。这种技巧的核心在于寻找纯粹的好奇心，不在乎他人对自己的评判，我们可以称之为“孩童的姿态”。所有数学家都会发展出类似的技巧，但他们很少意识到这一点，也很少能把它解释清楚。而格罗滕迪克为我们提供了一份使用“说明书”。

格罗滕迪克建议，我们应该像两岁的孩子一样。当他想理解某件事时，就会像孩子一样毫不犹豫地勇往直前，不会等到理解之后才开始行动。问题通常以陈述的形式出现——实际上是一种试探性的陈述。但格罗滕迪克对他的陈述半信半疑。特别是在研究初期，陈述常常是彻头彻尾的错误，但还是要先提出来，才能确信它是错误的。无论是探索数学还是探索自我，在任何一项发展工作中，发现错误都是一个至关重要的时刻，更是一个充满创造性的时刻。在这个时刻，我们对探究的事情突然有了新的认识。“害怕犯错和害怕真理是一回事。害怕犯错的人无法发现任何新东西。当我们害怕犯错时，我们心中的错误就会像巨石一样难以撼动。”

格罗滕迪克谈到了“我们心中的错误”与逻辑无关。这种错误不是计算错误，也不是推理错误。他所说的错误是直觉错误，是视觉错误：我们对事物构建的图像并不正确。只有逐渐改变表征事物的方式，使其更清晰、更准确、更接近现实，我们才能实现对数学的理解。我们惊人的学习和发明能力源于不断更新图像和感觉关联网络的无意识行为。从字面和比喻的意义上讲，这一网络构成了我们思想的真实结构。我们所有重大学习成果都与这种心理可塑性有关。

结语

几个世纪以来，数学在科技发展中一直扮演着举足轻重的角色。数学对于科技极为有用。它所发生的作用令人惊异，而且每天还在继续发挥更大的作用。将数学视为一种重塑思维、拓展人类感知的技巧，这种观点是相当新颖的。学习数学是一种纯粹的想象活动。我们通过思想的力量让数学进入头脑，某个神秘元素的凝聚力使数学紧密结合在一起，在某种程度上，这种神秘元素就是数学真理。

贝西说他很幸运地借鉴笛卡尔、瑟斯顿和格罗滕迪克的叙述。他们的故事彼此之间非常相似，就好像从三个不同的角度讲述同一个故事。这些故事与他的亲身经历非常契合，让他得以将自己的个人经历融入更古老、更强大、文献记录更丰富的传统之中。他认为，富有创造力的数学家并非生物学上与众不同，他们只是找到了解锁人类大脑隐藏的强大模式的方法却不自知。