本届世界杯葡萄牙对克罗地亚的32强淘汰赛，补时最后阶段，克罗地亚由近距离破门，看似把比分扳成2:2。但VAR随后介入，争议点并不在射门本身，而是被一路追溯到此前皮球穿过禁区的瞬间，马塔诺维奇接触到足球，触球瞬间马里奥·帕沙利奇越位，因此克罗地亚绝平球最终被判定进球无效。
那一下触碰肉眼几乎难以确认，慢动作回放也很难给出稳定答案，却被球内传感器捕捉到。于是，传球时刻被重新计算，帕沙利奇被判处在越位位置，克罗地亚的绝平进球无效。
足球内置芯片的检测画面。图片来源：FIFA
球场上的“看见”由此变得微妙起来。一个镜头记录球的轨迹，一个镜头捕捉球员的站位，而一颗球内部的传感器，甚至记录下了肉眼看不见的触碰。技术把判定带回更早、更细微的一刻。
从这样一个被反复放大的瞬间开始，我们其实已经进入了几何的练习：怎样从二维画面理解三维动作？怎样从有限视角逼近完整现场？怎样确认一个人、一颗球、一条越位线在同一瞬间的空间关系？
再往前一步，也许就是四维空间。《我们在四维空间可以做什么》中说：“如果你先掌握了三维图形，那么四维图形就不会那么难以想象。”
球场看上去只是一块矩形，但只要22名球员开始奔跑、争抢、遮挡，事情就不再像几何课本里的图形那么清楚。一个角度看得到的动作，换到另一个角度可能被人挡住；一次争议判罚，在慢镜头里反复播放，也未必能让所有人达成一致。
于是，“怎样看清一场比赛”就从转播技术问题，悄悄变成了一道数学题。它关心的不只是摄像机，而是空间怎样被覆盖，视线怎样被阻隔，有限的观察点怎样尽可能接近完整的现场。
我们以为自己看见了全部，其实只是看见了某个维度、某个角度、某个投影。足球场上的VAR争议，和四维空间里的投影想象，隔得并不远。
2010 世界杯时荷兰和西班牙两个球队的传球数据网。图片来源：《我们在四维空间可以做什么》
这正是数学最迷人的地方。它先从生活里拎出一个小小的不确定：警卫站在哪里才能看完整座美术馆？地图最少需要几种颜色才能区分相邻区域？一个三维立方体的影子，能不能帮助我们想象四维空间？
站在此处，我们能看见什么？换一个角度、换一种维度之后，那些被遮住的部分，又会不会显露出来？
以下文章转载自「环球科学」
图片来源：Pixabay
撰文｜马农·比绍夫（Manon Bischoff）
编辑｜黛西·尤哈斯（Daisy Yuhas） clefable
审校｜不周
可以想象，在今年夏天的世界杯期间，观众席一定会出现这样叫喊声：“这判罚太糟了！”“这根本不是犯规！”“对方应该被判点球！”
幸好，人们可以通过视频回放进一步验证，甚至是推翻裁判的判罚。当然，这项技术也可能在球迷中引发了激烈争论。不过我感兴趣的是视频证据和视频助理裁判背后的数学。
不久前，一位亲近的同事询问了我一个看似无伤大雅的问题：如果想要尽可能准确地覆盖一整块比赛场地，最少需要多少台摄像机？它们最好放在哪里，才能确保每个动作都被拍下来？事实证明，这个问题不好回答。
从美术馆到足球场
在数学中，这类问题中更为人熟知的是“美术馆问题”。1973年，数学家瓦茨拉夫·赫瓦塔尔（Václav Chvátal）给同事维克托·克利（Victor Klee）出了一道有趣的几何题。克利也予以回应，提出要保护一座美术馆，最少需要多少名警卫？
这是一个经典的优化问题（在给定约束条件下，从所有可行解中寻找最佳解的数学问题），答案取决于美术馆的形状。对于一个墙上挂着画的矩形房间，如果没有柱子或人挡住视线，理论上一名警卫就够了。警卫站在一个角落，就能轻松查看整个区域。
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如果空间形状更复杂，答案就没这么简单了。1975年，赫瓦塔尔发表了一篇论文，证明在一个有n个角的房间里，所需的最少警卫数至多为n/3，如果结果不是整数，就向下取整。
想要直观理解这个证明，可以想象将这个房间划分成若干三角形。每个三角形的端点都对应于原区域的顶点，即房间的一个角。一名警卫可以完整巡视一个给定的三角形。
现在，想象取三种颜色，比如红、蓝、绿，给每个三角形的顶点着色，使得任意相邻顶点的颜色都不同。只要在某一种特定颜色对应的每个点上都放置一名警卫，比如所有蓝色点，就能监视整片区域。由于这个区域的n个顶点最多可以用三种颜色着色，所需警卫至多为n/3。
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这套推理提供了一个解，但未必是最优解。对于任意形状的房间，要确定最少需要多少名警卫，以及他们分别应当站在哪里，是一个公认的复杂问题。有时即使借助计算机，也会在求解时逼近极限。专家把这类问题称为非确定性多项式完全问题，即NP完全问题。
有22个球员的比赛场地
足球场的结构相当简单：一个矩形。只要视角至少达到90度，在角落放一台摄像机应该就能覆盖整块场地。
但是拍一块空场地没有任何意义。足球比赛时，场上最多有22名球员在不断移动、争抢球权，他们之间还会不断相互遮挡，这些都会让拍摄任务变得更加复杂。
我们可以先从一个静态问题入手，假设这22名球员在球场上静止不动。从数学上来看，这种情形类似于美术馆警卫问题，只不过会有22个区域是警卫或摄像机看不到的“盲区”
2009年，在伊利诺伊理工学院（Illinois Institute of Technology）任职的数学家赫曼舒·考尔（Hemanshu Kaul）和赵英珠（YoungJu Jo）证明，在这种情况下，需要10名警卫或10台摄像机就足够了。他们证明时，并没有把区域划分成三角形，而是划分成多边形；再根据这些多边形确定了一个由点和线构成的网络，并确定给网络中的点着色的最佳方式。
不过，考尔和赵的答案只是一个可行解，未必是最优解。也许更少的警卫也可以。
现实只会更复杂
我们还需要考虑更现实和复杂的情况：22个球员全都在移动。另外，考虑时还需要注意，足球比赛中有很多情况是三维的，不只有球员的脚和脚在地面上的运动。此外，摄像机的能力也有限，它们无法像数学家在美术馆警卫问题中所设想的那样，覆盖360度的视野。
所有这些因素都让问题变得十分复杂：对于这类任务，目前只能借助计算机辅助分析。虽然这种方法可以针对某些特殊情形，制定一个近似结果。但针对于“想要完美监测每场比赛，至少需要y台摄像机放在球场上的特定位置”，这种方法并不能提供一个普适的明确结论。
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不过，在拍摄足球比赛时，我们还能加入另一种辅助因素：模拟和过往经验。这类比赛已经被拍摄和转播了数十年来，这些历史可以帮助组织者确定了每台摄像机的最佳位置。
在上一届卡塔尔世界杯上，共有42台摄像机对准了球场上的22名球员，其中包括8台超慢动作摄像机和4台极慢动作摄像机。遗憾的是，国际足联（FIFA）并没有明确说明为什么使用这么多摄像机。这个数量看起来很大，但大概是为了确保尽可能全面覆盖整个球场。考虑到国际足联的财力，大概也不需要费力去找使用摄像机最少的答案。
不过，摄像机的摆放位置颇有启发性。大多数摄像机都布置在两个球门附近和中线一带，那些最激动人心的场面很可能最常发生在这些地方。
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另外，许多规模较小的俱乐部和组织面临的并不是寻找最佳拍摄机位的问题，而是一些完全不同的挑战。为了保证视频证据可靠，他们需要对这些设备必须进行精确校准和安装，而这并非易事。
如果你在观看今年的世界杯时，如果碰巧听到情绪激动、怒气冲冲的观众抱怨视频证据，不妨试着跟他们讲讲这项任务背后的数学复杂性，帮助他们冷静下来。
https://www.scientificamerican.com/article/world-cup-camera-coverage-poses-a-moving-math-puzzle/
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［澳］马特·帕克 / 著
李轩/ 译
2020.7，后浪科学
不少人常常觉得数学有时会违背我们的直觉，但本书的作者认为，数学的非凡之处在于，通过数学逻辑推理工具，我们能够处理超过大脑认知能力的事物，掌握越来越多的抽象概念。在本书中，作者用幽默风趣的语言以学校教授的数学基础（数字、几何）为起点，逐章介绍二维图形、三维图形，最后构建四维图形，带领读者理解四维空间中的奇特图形和数学理论。此外，本书还介绍了素数的奥秘、纽结论、图论、优化算法、条形码和苹果手机屏幕背后涉及的数学原理以及大小不同的无穷，这些理论最终又巧妙地与四维空间联系到一起，超乎想象。本书通过各种数字游戏、谜题、魔术和图形操作，介绍蕴藏其中的趣味数学原理，使原本看起来令人望而生畏的理论变得简单易懂，让读者在阅读中享受数学的乐趣。
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