1月25日周日线下开讲：形器有涯，玄理无疆 |《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》第九课|代数|微分|数学

导语

回顾整个课程，我们从欧拉的七桥问题出发，穿越抽象的集合论和公理化密林，一览“连续性”的画卷、徜徉于“连通性”与“紧致性”的世界，开启同伦与同调的代数宝库，最终抵达拓扑的现代应用。这一讲将带你重新回溯与审视拓扑学背后的“思维方式”——从空间几何直觉到抽象理论系统、从局部关系到全局结构、从孤立的对象到结构关系和属性的稠密网络。我们还将勾勒拓扑思想的“概念地图”，介绍之后可深入学习的领域，如点集拓扑、代数拓扑、几何与微分拓扑、量子拓扑与范畴论的进一步统一等，并结合听众背景，讨论未来的探索方向及与系统科学和其他学科的联系。

本期课程将于2026年1月25日下午16:00-18:00北京门头沟集智谷（First青年电影中心）线下进行，同时线上腾讯会议、集智俱乐部视频号、b站同步直播，课程学员线上线下均可参与，且有永久查看课程回放权限，有意线下参会的非课程学员欢迎公开报名参与线下活动（详情见线下参会方式）。

主题：拓扑总结与拓展：从几何直观到系统思维

课程简介

目标：理解拓扑思想在科学方法论中的角色，形成跨学科的结构化认知。

这一讲主要是对整期课程的回望、整合与升维。从欧拉的七桥问题出发，我们沿着“连续性”的主线，穿越集合论与公理化的抽象地带，理解连通性与紧致性所揭示的整体逻辑，进入同伦与同调构成的代数结构世界，并最终看到拓扑思想如何在生命、物理、思维、计算与认知等众多领域中落地生根——这就从直觉观察走入理论系统，再进一步深化直觉；从发现问题上升到方法论，再提出新问题，不断螺旋上升。

本讲将以系统观为核心，对前八讲的内容进行整体重构与深入理解。我们将“空间、连续、洞、不变量”等概念，放入统一的整体框架中：从局部到整体、从对象到关系、从形状到结构稳定性。在此，拓扑思维展现了它的高度抽象却极具迁移力的特性——它帮助我们在复杂系统中识别关键结构和形态，在细节、变化与噪声中把握本质和不变性，或用有限信息理解系统整体行为。

在课程的后半部分，我们将系统勾勒拓扑思想的概念地图与未来展开方向，介绍点集拓扑、代数拓扑、几何与微分拓扑、量子拓扑与范畴论等领域如何在同一思想主线下自然分化又彼此统一。同时，课程将结合不同听众的背景，讨论拓扑思维如何在本质上与系统科学、物理学、生物学、人工智能、思维与认知科学等方向联系起来，帮助大家找到各自的深入路径。

本期课程结束后将以线下圆桌讨论作为重要组成部分。在这一环节中，我们将围绕“拓扑作为系统思维方式”展开开放式交流：拓扑思想如何改变我们理解问题的方式？它在众领域的研究或实践中可能扮演怎样的角色？哪些尚未被充分开垦的领域在召唤拓扑视角的洞见与探索？这一讨论既帮助大家对消化和内化课程的整体内容，也能使思想可以真正开始继续“生长”。

课程大纲

拓扑学方法论回顾：从几何直觉到抽象思维
概念地图：点—集—空间—变形
拓扑学各分支简介
系统科学视角：整体性、联系性与结构稳定性
实例讨论：量子拓扑中的体-边关系如何推广到系统科学
总结与讨论
进阶方向与学术资源推荐

关键词

拓扑、点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑、量子拓扑、思维方式、方法论、数学物理、属性论、系统科学、范畴论、抽象与直观（具象）、科学技术体系、科学统一性、边界、全息、动力学、思维科学、形态发生。

课程信息

课程主题：形器有涯，玄理无疆——总结与拓展：从几何直观到系统思维

课程时间：1月25日（周日）下午16:00-18:00

课程形式：1、本场为线下特别课程：北京门头沟集智谷（First青年电影中心）

2、腾讯会议（会议信息见群内通知）；

3、集智俱乐部视频号/b站同步直播；

4、集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

金威，北京大学基础数学博士，博士后。主要研究方向为拓扑学和数学物理。现从事人工智能的基础理论和算法研发，并致力于数学和系统科学方面的教育/科研和科普活动。《基本粒子：数学、物理学和哲学》一书中文版译者，《返朴》公众号作者。研究兴趣：属性论和属性数学、拓扑学和数学物理、系统科学和复杂网络、中医等。

课程适用对象

理工科领域研究者及高年级学生：适合具备基础数学背景（微积分、线性代数、复变函数、常微分方程）的理工科高年级本科生、研究生及科研人员。尤其适合关注复杂系统、非线性动力学、统计物理、信息科学等方向，或希望将数学思想应用于物理、工程、生命与智能/认知系统的学习者。
喜爱探索和创新学习者：面向对抽象思维、系统建模与跨学科分析有兴趣的学生与研究者。鼓励具备问题意识、善于逻辑推理与思维开放的学习者，通过拓扑学培养结构化与整体化的科学思维。

报名须知