嗨，我是萌芽。
聊完前几期的内容，今天咱们继续把目光投向1-6年级的小学数学学习攻略。
这阵子我也在连载，想围绕期末考试这个关键节点，帮大家好好做个小学的总复习，也让大家对小学升初中孩子需要做的准备有所概念。
大家都知道，小学数学散落在书本里的知识点挺多，归纳起来其实就是四大块：数与代数、图形几何、统计概率，还有综合实践。
教材的编写逻辑是把它们分散在不同年级，像“撒芝麻”一样慢慢学。但小升初的逻辑完全不同，它更像是一场“纵向深挖”的挑战。
所以，我决定把这一系列拆解开来，每篇文章只攻克一个主题，由浅入深地带大家把知识点串成线。毕竟，只有看清了全景，心里才不会慌。
今天咱们先来啃最硬的一块骨头：数与运算。别看它基础，这可是整个小学数学体系里的“定海神针”。
接下来的内容，我会带大家站在新课标的视角，把这块知识点系统地过一遍，看看小升初到底在考什么、怎么考。
建议大家收藏起来，哪怕平时没时间细看，在孩子参加各种大考前，拿出来对照着查缺补漏，也会非常有帮助。
话不多说，咱们直接进入正题吧。
小升初系列·语文篇回顾：
期末复习·数学篇回顾：
1
数和数的运算，究竟在考啥？
很多家长带孩子复习时，一上来就猛刷题，但翻开新课标你会发现，国家对孩子数学能力的培养，早已从算出得数升级到了“理解数理”。▼
在小学阶段，“数与代数”其实就抓两个关键主题：数与运算、数量关系。 它们像螺旋上升的阶梯，在不同年级有着不同的使命。▼
第一学段（1-2年级）：种下“数感”的种子
这个阶段，通过感知数字的实际应用，来深入建立数感。。
数与运算：让孩子在生活情境中认识万以内的数，理解数位的意义。 更重要的是，要让孩子通过摸得着、看得见的例子，去探索加减法的算理（为什么这么算）。
数量关系：开始尝试用数学解决简单的生活问题，形成初步的应用意识。
第二学段（3-4年级）：从“感性”跨向“理性”
孩子开始接触大数、小数和分数，逻辑思维开始起飞。
数与运算：认识万以上的数，掌握十进制计数法。 此时，运算律（如交换律、分配律）成了主角，孩子要学会用字母来表达这些规律。
数量关系：孩子要开始理解生活中的“通用模型”了，比如我们常说的：总量=分量+分量，或者路程=速度×时间。 掌握了这些，孩子看世界题目的眼光就不一样了。
第三学段（5-6年级）：为初中打下“逻辑”底座
这是小升初的关键期，要求孩子对数有更本质的理解。
数与运算：深入研究倍数、因数、质数和合数。 关键点在于：要理解运算的一致性，无论整数、小数还是分数，背后的逻辑其实是通着的。
数量关系：引入了等式的性质和字母表示数。 这就是代数思维的萌芽。同时，孩子要学会估算，在解决实际问题时，能选出最合适的方法，而不能只是硬算。
在各地公开可查的小升初试卷里，这个板块的考核要求会更高一些。
比如这是广州去年的某卷，我们会发现，数和数的运算板块，占比是真的多。下面标黄的部分，都属于这个板块，几乎占了整张卷面一半的题量了。
那么，在考试中，这个板块究竟考些什么呢？我把它分为三种类别。
第一类，基础题，专查计算基本功和定律的直接应用，这部分是必须牢牢握在手中的基础分。
比如下面这类的计算题，几乎每张卷子都有。
第二类，中档题，考察的是孩子能否灵活运用知识、建立数学模型的能力，比如计算水电费或比较购物折扣，有一定难度。
比如下面这种结合生活常见的题目：
第三类，压轴难题，约占两成，形式可能是新颖的定义新运算或需要抽丝剥茧的数字谜，目的在于选拔那些逻辑清晰、善于逆向思考的孩子。
了解了怎么考之后，接下来我们就带着考点来重新梳理一下“数和数的运算”的知识内容。
2
先来系统认识一下“数的运算”
整个小学“数的运算”体系，是一个层层递进、逻辑严密的构建过程。
第一阶段：整数。
我们学习最纯粹的运算意义和基本规则。
比如，加法就是合并，先乘除后加减，为后面的复杂运算打下地基。
第二阶段：小数、分数。
我们学习数的扩展。
当测量和分配出现“不够整”的情况时，小数和分数诞生了。它们的运算规则与整数一脉相承。
第三阶段：定律、应用。
我们学习工具的优化和综合使用。运算定律是捷径，大大提高计算效率。
应用题考察的是孩子的建模能力，看是否能从简单的数字计算中迁移到现实生活的应用。
总结一下，小学阶段数的运算板块，其学习顺序的逻辑是：了解概念 → 掌握运算规则 → 扩展计算（整数到分数、小数） → 简便计算，提高效率 → 综合应用。
我整理成一张思维导图，可以更直观地呈现整体的学习路径：
3
“数和数的运算”知识点梳理
先来过一遍“数”的知识。
什么是小数？
什么是自然数？
什么是数位？
什么是计数单位？
什么是分数？
这些是关于计算的概念知识，不用刻意背下来，知道是什么、能读懂题目中的解题关键就可以了。
比如下面这道题，考的就是数位。
接下来，我们要进入“数的运算”板块。
理解整数运算，打好地基
这是所有运算的起点，必须理解透彻。
1、加法：合并的起点
把两部分合并成一个整体，是所有运算的源头。
苏教版
2、减法：加法的逆向思维
从整体中去掉一部分，或者比较两个数的相差。
苏教版
减法是加法的逆运算，它还可以这样表示：和 - 加数 = 另一个加数。
加减法是小学一、二年级的学习重点，如果没有掌握好的话，会直接影响后续的数学运算，所以，一定要花点功夫和时间，把计算能力提起来。
3、乘法：加法的效率升级
当加数都相同时，加法效率低，乘法就是它的简便算法。
乘法是求多个相同加数和的简便运算。
人教版
4、除法：乘法的逆向拆分
除法是乘法的逆运算。积 ÷ 因数 = 另一个因数。
这再次强化了逆运算关系，并解决了分配和平均这一大类实际问题。
乘除法是二、三、四年级的学习重点，二年级需要掌握的是表内乘除法，等到了四年级，就要开始学习简便运算，难度再上一等级，所以，每一个年级都是掉队不得的。
小结一下，整数四则运算建立了三个核心逻辑：
加减互逆、乘除互逆的逆向思维。
乘法是特殊加法的简化。
运算的基本顺序规则（先乘除后加减，有括号先算括号内）。
小数和分数的运算
当问题超出整数范围，比如测量身高、分配蛋糕，数字不能让我们整除时，这时候就要引入小数和分数了。
数字变复杂容易让孩子生畏，但好消息是核心逻辑和运算规则完全不变。
1、小数运算：整数的“十进制平移”
小数点是定位器。计算时，只要把小数点对齐（本质是相同数位对齐），加减乘除的规则和整数一模一样。
比如，1.23 + 4.5，将4.5看作4.50，就是123个0.01加450个0.01，整数加法规则直接适用。
2、分数运算：关键在于“统一单位”
分数单位（如1/2, 1/3）就像不同的语言，运算前必须先统一语言（通分），然后对分子进行整数运算。
其运算逻辑依然不变：
分数加减法：就是统一单位后，对分数单位的个数（分子）进行整数加减。
分数乘除法：乘法是“分子、分母分别进行整数乘除；除法是乘以其倒数，最终仍化归为整数运算。
学习小数和分数运算，不是学习新规则，而是学习如何将它们翻译成我们已经熟悉的整数运算。通分、小数点对齐，都是翻译的步骤，理解了这一点，剩下的就很好计算了。
运算定律，让计算更快更准
这是四五年级的重点学习内容，是一定要掌握好的部分，理解运算定律，就能看透复杂算式的本质。
1、交换律和结合律
加法交换律：a + b = b + a （两个数相加，交换位置，和不变）
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) （三个数相加，先把前两个相加，或者先把后两个相加，和不变）
乘法交换律与结合律同理。
定律的核心在于凑整。通过重新排队和分组，让计算瞬间变简单。
比如：
37 + 86 + 63 → 用加法交换律变成 (37 + 63) + 86 = 100 + 86 = 186
4 × 17 × 25 → 用乘法交换律、结合律变成 (4 × 25) × 17 = 100 × 17 = 1700
用好它们的关键是 “眼光” ，做题前先扫一眼，看看有没有能凑成整十、整百、整千的数字，看到这类数字就要注意了：25和4，125和8，37和63。
2、乘法分配律
(a + b) × c = a × c + b × c
或 a × (b + c) = a × b + a × c
化“乘法与加法的混合运算”为更简单的两步乘法加法。
乘法分配律在实际计算中可以演变出三种用法：
正用（拆括号）： (100 + 2) × 45 = 100×45 + 2×45 = 4500 + 90 = 4590
逆用（提公因数）： 36 × 72 + 36 × 28 = 36 × (72 + 28) = 36 × 100 = 3600 （这是高频考点！）
变形用（拆数）： 103 × 25 = (100 + 3) × 25 = 2500 + 75 = 2575
3、减法性质与除法性质
减法的性质：a - b - c = a - (b + c)
连续减去两个数，等于减去这两个数的和。注意有时能凑整，让算式变得更简单，比如：
128 - 37 - 63 = 128 - (37 + 63) = 128 - 100 = 28
除法的性质（类似）：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
如：3600 ÷ 25 ÷ 4 = 3600 ÷ (25 × 4) = 3600 ÷ 100 = 36
只有减法、除法才有此性质，加法和乘法没有！a ÷ (b + c) ≠ a÷b + a÷c，这是分配律的典型错误。
综合与应用
一些基础的应用题，只需要用连乘/连除/加减混合就可以解决，这类题需要孩子从题目中找到对应的数量关系（不难找），接着用基础的加减乘除运算规则即可解决。
比如这样的：
学校有4个年级，每个年级3个班，每班有40人。全校共有多少人？
应用题板块较难的部分是复杂的模型，这类题目有特定的结构和解题规律，孩子刚接触时可能不会做，但只要了解了题目的建模规律后，之后的题目就能举一反三了。
这类题包括和差倍问题、行程问题、鸡兔同笼问题、工程问题等等。下面我列举几个和大家看看。
1、和差倍问题
这类题目通常直接或间接告诉你两个数的“和”、“差”以及它们的“倍数关系”。
我们可以按照以下解题步骤来做题：
①判断是“和差”、“和倍”还是“差倍”。
②画出线段图，直观表示数量关系。
③找出或求出“和”与“差”对应的具体数值。
④套用公式，先求小的那个数（1倍数）。
例如，甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，则两班人数相等。求原甲、乙班各多少人？
“共有98人”是“和”，所以这是和差问题。调人后相等，说明原来甲班比乙班多 3×2=6 人，这是“差”，最后就是套公式计算。
下面这些核心公式一定用得上：
和差问题：(和 + 差) ÷ 2 = 大数；(和 - 差) ÷ 2 = 小数
和倍问题：和 ÷ (倍数 + 1) = 1倍数（小数）
差倍问题：差 ÷ (倍数 - 1) = 1倍数（小数）
2、行程、工程问题
行程问题核心公式：路程 = 速度 × 时间 （s = v × t）
相遇问题（相向而行）：速度和 × 相遇时间 = 总路程
追及问题（同向而行）：速度差 × 追及时间 = 初始路程差
解题步骤：画路线图，标出各段速度、时间、路程，找等量关系。
工程问题解题核心是要把总工作量看作 “1” 。
核心公式：
工作效率 = 1 ÷ 工作时间；
合作时间 = 1 ÷ 工作效率和
解题步骤：先确定“1”，再求出每个人的工作效率，最后根据问题求解。
这两类问题在初中仍是重点，小学阶段理解公式模型比死记硬背更重要。
3、归一与归总问题
当题目中出现“照这样计算”、“同样的速度”时，就要考虑用归一思想了。
正归一（求总量）：先求单一量，再乘份数
反归一（求份数）：先求单一量，再除总量
当题目中出现“计划…实际…”时，那么就要考虑归总思想。
解题核心是：总量不变，先求总量，再根据新条件求其他
我整理了一个比较细致的表格，大家可以对比着看看区别：
4、植树问题
先判断是线段植树还是环形植树！
具体的公式和示例我整理到下面这张表格了：
5、分数与百分数模型：“单位1”
所有分数/百分数应用题，第一步且最重要的一步就是找准“单位1”。
“单位1”寻找口诀：“的”前“比”后。比如：
苹果的1/3是坏的 → “的”字前面“苹果”是单位1。
今年产量比去年增长了20% → “比”字后面“去年”是单位1。
有两大基本题型：
已知单位1，求它的几分之几（百分之几）是多少？ → 用乘法。
例：一堆煤有100吨，用去了3/5，用去了多少吨？
解：单位1是“一堆煤”（100吨），求它的3/5：100 × 3/5 = 60吨
已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。 → 用除法。
例：修一段路，已经修了全长的40%，正好修了20千米。这条路全长多少千米？
解：“全长的40%”是20千米，求全长（单位1）：20 ÷ 40% = 50千米
进阶题型（“率”的对应）：
对于更复杂的“增加/减少百分之几”的问题，关键是找到 “已知的具体量” 对应的是单位1的 “几分之几（百分之几）”。
例：一本书现价36元，比原价便宜了10%，原价多少元？
分析：单位1是“原价”（未知）。“现价比原价便宜10%”，所以现价是原价的 (1 - 10%) = 90%。已知原价的90%是36元，求原价：36 ÷ 90% = 40元。
综合与应用题虽然看起来复杂，但只要理清对应的数量关系，就能掌握解题思路了。
另外，除了基本应用题的练习外，平时也可以让孩子以专题的形式专攻一类应用题，比如鸡兔同笼、工程问题等，这类题有一定难度，但却很训练孩子的思维能力。
好啦，今天的数和数的运算板块就聊到这里。
为了帮大家更好的复习，我也同步准备了一些资源：
⭐资源一：计算训练，这里包含了1-6年级所有通用计算练习题，需要的姐妹在可以在后台回复“计算习题”就可以领取了。
数和数的运算板块，计算绝对是重中之重，一定要掌握好了。
这份资源可以搭配这篇文章使用：
⭐资源二：应用题训练，这里包含了小学阶段应用题的重难点，每道题还附上了解析和答案，题量很多（一共四十多页），但题题经典，考前可以认真刷一遍，基本上就可以搞定校内80%以上的题目了。
需要的姐妹可以在后台回复“应用题练习”即可领取。
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