6 IIR数字滤波器的设计
6.1 实验目的
1、掌握脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和方法。
2、观察双线性变换法和脉冲响应不变法设计的滤波器的频率特性，了解双线性变换法和脉冲响应不变法的特点和区别。
6.2 实验原理
6.2.1 脉冲响应不变法
所谓脉冲响应不变法就是使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应和(t)的采样值，即：，其中，T为采样周期。
在MATLAB中，可用函数impinvar实现从模拟滤波器到数字滤波器的脉冲响应不变映射，调用格式为：
[b,a]=impinvar(c,d,fs)
[b,a]=impinvar(c,d)
其中，c、d分别为模拟滤波器的分子和分母多项式系数向量；fs为采样频率（Hz），缺省值fs=1Hz；b、a分别为数字滤波器分子和分母多项式系数向量。
6.2.2 双线性变换法：
由于s平面和z平面的单值双线性映射关系为s＝，其中T为采样周期。
因此，若已知模拟滤波器的传递函数，将上式代入即可得到数字滤波器的系统函数H(z)。在双线性变换中，模拟角频率和数字角频率的变换关系为：
可见，Ω和w之间的变换关系为非线性的。
在MATLAB中，可用函数bilinear实现从模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换映射，调用格式为：[b,a]=bilinear(c,d,fs)
6.2.3 设计步骤：
(1) 定技术指标转换为模拟低通原型设计性能指标。
(2) 估计满足性能指标的模拟低通性能阶数和截止频率。
利用MATLAB中buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord等函数，调用格式如：
其中，Wp为带通边界频率，rad/s；Ws为阻带边界频率，rad/s；Rp为带通波动，dB；Rs为阻带衰减，dB；‘s’表示为模拟滤波器；函数返回值n为模拟滤波器的最小阶数；Wn为模拟滤波器的截止频率(-3dB频率)，rad/s。函数适用低通、高通、带通、带阻滤波器。
(3) 设计模拟低通原型。利用MATLAB中buttap、cheb1ap、cheb2ap、elliap等函数，调用格式如[z,p,k]=buttap(n)。采用上述函数所得到原型滤波器的传递函数为零点、极点、增益表达式，需要和函数[c,d]=zp2tf(z,p,k)配合使用，以转化为多项式形式。
(4) 由模拟低通原型经频率变换获得模拟低通、高通、带通或带阻滤波器。利用MATLAB中lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs等函数，调用格式如[c1,d1]=lp2lp(c,d,Wn)。
(5) 利用脉冲响应不变法或双线性不变法，实现模拟滤波器到数字滤波器的映射。本实验用到的特殊函数：[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a)，计算幅频和相频响应。
6.3 实验内容以及步骤
用双线性变换法设计一个Chebyshev1型数字带通滤波器，设计指标为T=1ms,Rp=1dB,Wp1=0.35π，Wp2=0.65π,Rs=60dB,Ws1=0.2πWs2=0.8π。按实验步骤附上所设计滤波器的H（z）及相应的幅频特性曲线定性分析得到的图形，判断设计是否满足要求。
Ts=0.001;
Fs=1/Ts;
Rp=1;Rs=60;
wp1=0.35*pi;
wp2=0.60*pi;
ws1=0.2*pi;
ws2=0.8*pi;
Wp1=(2/Ts)*tan(wp1/2);
Wp2=(2/Ts)*tan(wp2/2);
Wp=[Wp1,Wp2];
Ws1=(2/Ts)*tan(ws1/2);
Ws2=(2/Ts)*tan(ws2/2);
Ws=[Ws1,Ws2];
BW=Wp2-Wp1;
Omegaw0=sqrt(Wp1*Wp2);
[N,OmegaC]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');
[z0,p0,k0]=cheb1ap(N,Rp);
AnalogB=k0*real(poly(z0));
AnalogA=real(poly(p0));
[BandB,BandA]=lp2bp(AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW);
[DigitalB,DigitalA]=bilinear(BandB,BandA,Fs);
[sos,G]=tf2sos(DigitalB,DigitalA);
[Hz,Wz]=freqz(DigitalB,DigitalA,1024,'whole');
dbHz=20*log10((abs(Hz)+eps)/max(abs(Hz)));
grd=grpdelay(DigitalB,DigitalA,Wz);
subplot(2,3,1);
plot(Wz/pi,abs(Hz));
title('幅频响应');
xlabel(''),ylabel('幅度:|Hz|');
axis([0,1,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]);
grid;
subplot(2,3,4);
plot(Wz/pi,dbHz);
title('模值(dB)');
xlabel('频率（单位：\pi）');
ylabel('分贝（dB）');
axis([0,1,-40,5]);
set(gca,'YTickmode','manual','YTick',[-50,-30,-2,0]);
set(gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'30';'?2';'?0']);
grid;
subplot(2,3,2);
plot(Wz/pi,angle(Hz)/pi);
title('相频响应');
xlabel('');
ylabel('单位：\pi');
axis([0,1,-1,1]);
grid;
subplot(2,3,5);
title('零极点图');
ylabel('单位：\dB');
xlabel('单位：\pi');
zplane(DigitalB,DigitalA);
axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);
subplot(2,3,3);
plot(Wz/pi,grd);
title('群延迟');
ylabel('样本');
axis([0,1,0,8]);
set(gca,'YTickmode','manual','YTick',[0:0.5:10]);
grid;
set(gcf,'color','w');
6.4 实验结果分析
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