１．三角形内角和不等于180度
什么？三角形内角和不等于180度，那是不是我学的是假数学？其实并非如此，三角形内角和180度是欧氏几何下的重要结论，90%以上的人认为三角形内角和180度是不可捍动的．实际上，1826年，在俄罗斯的喀山，数学家罗巴切夫斯基发表了一篇＂有违常识＂的演讲，他说平行线可以相交，三角形内角之和不等于180度等古怪的定理．当然，这是当时高斯发现但不敢发表的，这确实太有违普通大众的认知．而罗巴切夫斯基后来遭到攻击和嘲讽，晚年连大学教职都被剥夺了．
实际上，欧氏几何里五条公设中，第五条一直在数学界存疑，但始终证明或者证伪．由第五条公设引发的争议一直就没有停止过，罗巴切夫斯基干脆将第五条公设改掉，新的公设与前四个公设竟然还是相容的，由此产生了一个全新的几何体系，这就是非欧几何，他的独立称为罗氏几何，在罗氏几何背景下，三角形内角和小于180度的．
与罗氏几何对应的黎曼几何也属于非欧几何，当然黎曼是完全颠覆了欧氏几何的五条公设，在黎曼几何的背景下，三角形内角和是大于180度的．
三角形内角和180度，这个在欧氏几何背景下才成立，三角形内角和不等于180度，没有掌握专业的数学知识，还真不一定会相信！
２．整数与偶数的数量相等
整数如1，2，3，4，5，6，7，8，9．．．．．．
而偶数2，4，6，8，10，12，14，16，18．．．．．
两个偶数之间还有一个整数，例如2和4之间还有一个3，4和6中间还有一个5，很明显整数的个数比偶数多，这是平常人对数字多少的理解，这种理解方式在多数背景下是没有问题的，然而我要说整数与偶数个数一样多，多数人一定是不会相信的，接下来看我的不完全证明：
从对应的角度看，一个整数都会对应一个偶数，1——2，2——4，3——6，4——8．．．．．这样的话每出现一个整数，总会出现一个偶数，整数与偶数是一一对应的，所以它们的个数是相等的．从这个角度来讲，整数与偶数的个数是相等的．当然，这个证明方法表面上看没有问题，就像上述证明整数比偶数多一样，并不科学的．我再举一个例子说明一一对应证明个数相同并不科学．
从三角形的顶点分别作射线，分别与AB、CD相交，相交的点则是一一对应的，ＡＢ和ＣＤ上的点的个数是相同的，那ＡＢ＝ＣＤ，而实际上ＡＢ和ＣＤ明显不相等，所以用一一对应相等去证明个数相等或者线段相等都是不科学的．
而实际上，初等数学到高等数学的本质区别在于有限与无限研究．初等数学中，＂有限＂背景下讨论的很多方法是符合人们的常规认知的，但是在＂无限＂背景下，这些常规的方法并不适用．必须得引入新的定义才能说清楚，否则就会陷入逻辑矛盾。就像整数与偶数的个数，其实数学上并不是用简单的个数来衡量，而是由集合论中集合的势来说明集合元素的个数．
３．无穷个房间住不满
同样的在有穷背景下，旅馆的房间是可以住满的，但是如果有一个旅馆有无穷个房间，那无穷个人来住，到底能不能住满呢？
有人说既然有无穷个人来住，对应有无穷个房间，那刚好可以住满的．其实，再来10个人，这个旅馆还能安排这些人住下．如何安排呢？你可以将１号房间挪到11号房间，2号房间挪到12个房间，．．．．．那就可以多出10个房间，刚好安排新来的10个人入住．同理的，再来n个人来住，同样还可以安排，你可以将1号房间挪到2号房间，2号房间的人挪到4号，．．．就像整数与偶数对应一样，剩下了无穷个房间，那这些房间刚好可以安排新来的人入住．至此，无论来多少人，旅馆都可以想办法安排他们入住．那说明这个旅馆是住不满的．是不是很神奇，明明开头说住满了的．其实这就是有穷与无穷的区别，无穷背景下，需要新的理论来武装，才能完全弄明白到底怎么回事，而没有学过高等数学或者学懂高等数学的人，真的不会相信．
４．实数比正整数多
数学就是如此折磨人，刚刚还讲整数与偶数个数一样多，怎么又出现了实数比正整数多呢？即使是说服了别人相信整数与偶数个数一样多，那你怎么说服别人相信实数比正整数多呢？是不是相当痛苦．接着上面所讲，持续很久的人们确实也陷入了这样的矛盾之中，直到康托创立的集合论，才有效的解决了类似的问题．
在他的集合论中，它对元素有无穷个的集合进行了分类．分成两类，一类是元素能够与整数形成一一对应关系的叫可数集合，另一类是无素不能与整数形成一一对应关系的叫不可数集合．基数，用来表示集合大小的，并定义了可数集合的基数是一个数，而不可数集合的基础是另一个数，同时他证明了实数的基础比正整数要大，进而在集合论的背景下逻辑严密的证明实数比正整数多．当然，具体证明可以参考集合论，可能只有大学数学专业的同学才会学到，而非数学专业的同学很可能就不会相信这样的鬼话了．
５．喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家
单看上述这句话，可能无数人都不会相信，更不要说它能用数学知识来证明．其实用数学语言来说，二维随机游走是常返的，３维的则不是．假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有50%的概率向右走１米，有50%的概率向走１米，按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少？答案是100%。在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点．
而一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走．假设整个城市的街道呈风格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等的选择一条路继续走下去，那么他最终能回到出发点的概率还是100%，而找到回家的路，就不成问题．
而喝醉的小鸟就没有这么幸运了，假如一个小鸟飞行时，每次都上下左右前后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远回不到出发点．事实上，在三维风格中随机游走，最终能够回到出发点的概率只有约34%．这个定理是著名数学家波利亚在1921年证明的．随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低．在四维风格中随机游走，最终能回到出发点的机率是19.3%，在八维空间中，这个概率只有7.3%．
当然，上述事实都需要一定的专业数学知识才能明白，否则多数人很难相信！
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