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首先要了解收敛数列的性质：

1、 收敛数列唯一

2、 收敛数列是有界数列

3、 对收敛数列增加或者删除有限项或改变有限项的值，得到的数列仍然收敛到同一个数

4、 收敛数列具有保号性和保不等式性

5、 收敛数列满足四则运算法则

6、 满足夹逼定理

那么如何证明数列收敛呢？

上面的性质是收敛数列可以得到的结论，也就是收敛数列的的充分性（收敛数列是条件，性质是结论，条件推出结论[充分性]）。

下面介绍利用以下性质证明数列收敛

1、 Cauchy收敛原理

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2、 单调有界原理

有界的单调数列必收敛

3、 Stolz定理

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4、 列紧性定理（Bolzano-Weierstrass）1815-1897

从任何有界数列中必可选出一个收敛的子列

如何证明数列发散？

1、根据对偶法则以及数列极限定义可以得出数列发散的定义

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2、 无界数列一定发散

3、 有一个发散的子列，数列一定发散

4、 有两个子列收敛于不同极限值，那么数列发散

5、 Cauchy收敛准则也可以判断数列发散