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柯西列的定义

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由此可见，Cauchy列的基本特征是有充分靠后的项的之后任意两项都可以逼近到任意给定的程度，事先给定的ε就是逼近程度。

柯西收敛原理就是：判断一个数列收敛的充分必要条件是，这个数列是基本列。

必要性是十分显然的，如果数列收敛的情况下，根据数列极限定义，必然会收敛到一个值，而这两项充分靠后的情况下也是充分接近的，我们可以在两项中间任意取值都可以缩小到事先给定的任意程度，也就是小于ε。

充分性的已知是基本列，需要证明这个基本列是收敛的，而数列收敛的证明之前有讲过，只需证明两点，具有单调性和有界性即可。

下面给出中科大教材的方法，先证明有界性，构造一个能够利用已知的数列项，从而判断部分有界，再进而补充任意有界。

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然后需要证明单调性，需要了解两点，

1、 从任意数列中可以选出一个单调子列。

2、 任何有界数列必可选出一个收敛子列。

如果证明从中选出的单调子列的极限和数列通项极限相等那么就可以证明该数列有极限，首先令这个选出来的子列的极限是a，然后再去证明也是数列通项的极限即可，与必要性证明类似，教材中有详细步骤，这里只提供思想参考 。

现在判断Cauchy收敛原理和之前所学的有何区别。

有了柯西列的定义，我们可以看出和数列极限的定义极为相似，不同点就是数列极限的定义需要实现知道极限值，而柯西收敛原理则不用，判断条件进一步扩大。单调有界原理也需要证明单调性，无疑增加了困难性。由此可见柯西收敛原理的重要性。