丁小平：数学家要静下心来学一点哲学|数学|科学|逻辑学

不知人们是否注意到，资本主义制度相对于封建制度是一个革命性的进步，可是，它也有它自身的缺点——几乎把一切都商品化，科学也没逃出这个下场。纯数学似乎没有被商品化，理由是数学既没专利，也没有数学定理卖过钱，其实不然。数学研究可以分为官方数学研究与民间数学研究。民间纯数学研究当然不是商品化的，可是，它声音微弱，甚至连论文都没刊物给发，遭封杀更是正常的事，尽管大多科学革命要靠民间。官方的数学研究就不同了，它是以工资、获奖、待遇、身份、声望、兼职等形式完成商品化过程的。工资、获奖、待遇、身份、声望、兼职等都不过是外在形式，内在的东西不过是一个字——钱。我并不反对官方数学家赚钱，相反，我认为相对于其他行业，数学家的钱给得还太少。

既然官方数学研究是商品化的，那么，钱和待遇就不免是官方数学研究方向和研究方法的引导者，反过来说，数学家难以不被钱和待遇制约。这样一来，数学研究的内容和成果的真伪都无所谓，只要能换回金钱和优越的待遇就行。不是吗？不管庞加莱和克莱因等数学家是否强烈反对，以希尔伯特为代表的、其核心是胡扯的现代数学不也仍然是官方数学吗？讲授着错误的现行微积分原理数学工作者不也没少赚一分钱吗？这些教授明知这样做会误人子弟不也毫无亏心之感吗？

其实，官方数学研究人员也并不拒绝出真实而有实际意义的数学成果，但几乎都没有能力出革命性的数学成果。即使偶尔搞出革命性的成果那也得看成果是谁搞出来的。如果是权威搞出来的还好，否则，即使有革命性的成果也得缄默着，否则，该学者就可能丢饭碗。既然如此，也就没有人对这种费力奇大而换不得好处的研究感什么兴趣，又何况自己几乎就没这种能力。只要是想出真实而有实际意义的数学成果就得具备过硬的哲学功底，靠侥幸是难以长久的，因为纯数学研究不可能与哲学和逻辑学分家。

也许有人会说，外尔（H·Weyl，1885-1955）不就是满足你所要求条件的数学家吗？我们也没发现他比其他大数学家做出多少成果呀？对此，我的回答是这样的：是的，可是至少他没出其他数学家所出的那等常识般的科学笑话呀。相反，在哲学上下点功夫好处是很多的，又何况这种功夫是可以在茶余饭后下的。

为了启发哲学功夫不足或者鄙视哲学的科学家，我要问大家一个问题：逻辑证明中是否可以同义反复，也就是说前提中包含结果？大家的回答是：“不可以”，或者“可以”。其实，不管是“可以”还是“不可以”都是在瞎蒙。基督教神哲学家有一个著名的“本体论证明”，证明上帝存在。其证明步骤如下：因为上帝是完美的，所以上帝存在。理由是不存在的东西无所谓完美，既然上帝完美，那么，祂无疑是存在的。这里的荒唐在于：当我们盲目肯定上帝完美时，这个前提已经暗含上帝存在了。这个证明是典型的同义反复，没有意义，可是有很多数学家的逻辑推演都在犯这样的常识性错误。看到这里，回答“不可以”的数学家会说我们的回答不是对了嘛，我说是的，可是，你知道一切可以证明的东西的最基本关系都是同义反复关系吗？也就是说，“是”是通过“非”来说明的，“非”也是通过“是”来说明的；“是”中已然包含着“非”的存在前提，“非”中也同样已然包含着“是”的存在前提。而有意义的证明只在于在两个原始因素中加进一个或者多个因素。

推崇希尔伯特本身就是哲学无知的表现，但凡希尔伯特有起码的哲学基础，他就不会在二十三个数学问题的一开始就出现哲学笑话。关于连续统假设的问题是不懂得数学也同样是模型基础之上的科学的缘故；关于算数公理相容性的问题是不懂得逻辑哲学导致的笑话。再如，数学家们深信不疑的罗素悖论本来就是胡扯。一切事物无不以一定的条件为转移，无论是M集合还是N集合都不能跨越自身的界限，一旦界限变了，逻辑的合理性就打破了，这有什么不可理解呢？这与悖论有什么关系呢？