丁小平：科学哲学与数学哲学|微积分|数学|牛顿|科学

哲学的进步带动科学哲学的进步，哲学的进步带动数学的进步，如果哲学解决不了，科学革命来不了。哲学的革命依赖于其他学科的支撑，比如心理学的革命。哲学不谈认识论行吗？连人的心理结构是怎么回事都不知道，谈什么认识论。

科学从来都是人脑通过模型和常数，以逻辑的形式对规律或规律体系的逼近，也正因为如此，人类永远都不知道规律的真面目。科学的发展表现为逼近视角的丰富和逼近程度的提高，但这一切都依赖模型的构建和选择。而模型建立的关键在于解决好简单性和描述性的对立统一关系，也就是说在满足描述要求的前提下尽可能简单。

科学哲学问题说穿了就是要解决与科学有关的，同时用于解决科学相对最优化的观的体系，科学的方法的体系，这个就是科学哲学。

科学是什么呢？科学的本质是人的思维对客观规律体系的逼近或逼近体系。而我们以往的认识要么是模糊地，要么认为科学就是规律体系，事实上他不可能是。在这个问题上，揭示规律必须解决两个问题，一个是定性认识，一个是定量认识。不进入定量认识水平就不能称之为科学，最多就是一个定性的说法。但是只要进行量化，就要涉及数学工具问题。

一、形式逻辑

科学要讲逻辑，而逻辑充其量只是历史的投影，而历史既要有过去，又要有未来，而未来又成为历史，狼孩没有逻辑，逻辑是每个人的人脑，在现实生活当中，通过认识，产生了经验，经验也是历史的投影。形式逻辑的规律有5个，时空限制律，理由充足律，矛盾律，排中律和同一律。逻辑既然是历史的投影，那么想用已经发生的那么一短暂历史形成的逻辑来反思今天的科学是不行的。不能用过去的逻辑去否定将产生的创新。科学只有一个准则：持之有故，言之成理！

形式逻辑有局限性，太静止了，是孤立的。比如概念也是发生变化的。静止的概念不存在。这些提法都对，但是辩证逻辑能提出一个什么规律呢？即问题是找到了，但是没有解决，可以采用形象逻辑考虑。

这个现实世界不是我们想象用一个推理就可以推明白的。你真正想推理的时候，你发现，想依靠心理学把结果都推出来，而心理学也不清楚，那就靠不住了。从哲学推，哲学这个地方也靠不住，算了，我再找其他学科，你找遍了所有学科，你就发现人类就是处在这样一个环境里面，任何东西都是说不清楚。没有任何靠得住的进行形式推理的前提。形式推理的前提都是假定的。你回过头来看，科学就有很多前提是假定的。比如用如果…那么…的形式。说如果两条线平行，那么就怎么怎么样。其实这里边加了个假定，即存在一个直线空间。事实上我们这个世界不存在直线，谁能画出直线来？你说我沿着这个棱，这个棱不就是直线？我说那你就沿着这个棱沿下去，沿完之后发现它围着地球绕一圈，什么时候跑到这头，怎么又回去了？没有，只有圈，没有直线。你说我射出去个光射线，这个光经过各种天体的吸引，它到处转弯。你构造不出直线来，这个世界不存在直线。

在欧几里得的那时候想象世界存在直线，存在平面。我们说直线平面都是近似的说法，只不过是一个很大的曲面，在局部给人感觉好像是个平面。所以推理的前提都是假定，只要不假定，这个世界推理的前提都没有。在这时，形式逻辑是多么的有限。就是说，自遣意识是对非自遣意识的弥补，但是非自遣意识能干的自遣意识干不了。

二、创新

心理学的最新成果告诉人们，科学的创新一定在非自遣意识中产生，它的记忆形式是态的拓扑，它的逻辑类型为形象逻辑。而科学的规范形式产生于非自遣意识，它的记忆形式是态的分析，它的逻辑类型为抽象逻辑（亦即形式逻辑）但归根结底，这一切都是自遣意识对非自遣意识的反思。牛顿、莱布尼兹和欧拉所表述的东西都是处于非自遣意识中几近完成的创新。

创新在非自遣意识里发生，而不是在自遣意识里发生。因此逻辑推理，也就是说我们实现演绎过程，演绎过程只能丰富一个体系，只能在一个创新完成之后，使它的成果最大化，它自己不具有创新的能力。

有关创新的详细的东西我也不是很清楚，可以肯定的说，我们所看到的有关创新的理论都是不可信的。为什么？因为非自遣意识不可感，你只有反思它才可以朦朦胧胧搞清楚，不像自遣意识可以搞清楚。

比如讲科技创新，创新首先有个特点：它不是自欺欺人。一句话，还是讲持之有故，言之成理。当然首先这个故也必须有现实基础它也不能太失真。它要有这样的故，那么言之成理就是在逻辑中所用的故。不管你用的什么逻辑，什么逻辑都得遵循什么逻辑规律。有的似是而非是胡扯，有的恰恰是非自遣意识已经把它处理好了，但自遣意识还没有反思清楚，但结果靠得住。就好像看这个人很憨厚，事实上也很憨厚，但是说依据却说不清楚。

一个新的事物要产生，包括虚在的产生，动力就是能量，创新的好想法的出来也是靠心理能量积累。这个世界的道理很简单，人们听了之后，说公认的东西就不去讨论它，比如树长在地表面上，那你证明一下，你就傻眼了。无从下手证明，其实没有必要证明。比如非自遣意识的思维带有能量，即只有有能量积累才可以发生，于是有人问，你怎么知道带有能量？那这是事实啊，你不让他想他就想，能不带能量吗？你说靠惯性，你原来这个思维就不存在，你怎么靠惯性，已有的东西靠惯性运动下来还可以理解，新的事物没有惯性。带能量的东西，不一定动起来，但不带能量又不存在惯性就一定动不起来。

三、观

观，就是一种看法，看法说穿了就是认为，自遣意识和非自遣意识都能产生“认为”。比如你现在让自遣意识分析这个东西，这个东西呢你的依据不够，但是你要产生结果，你就会产生疑问，认为就是这个观。你的非自遣意识就更自然是这样。观是没有证据但是它必须拿出结论，这东西就是由观来决定的。人类为什么产生观呢？这就像我刚才讲的，不管人想从哪个角度作为逻辑的基础来推演，想把整个世界推演清楚，只要一进入终极，就会发现那个东西自身就不是。那么怎么办呢？不清楚我就用观。没有证据，必须拿出结论，这就是观。人类为什么产生观，因为人类一旦用形式逻辑来推理，一旦推到终极，就得用得着观。观是推理的前提。但是推理的前提有两种，一种是通过实践得到的，一种则是我认为的，不用推理直接采用的。

你在有限时间内搞不清楚或是人类永远也搞不清楚或是人类将来会搞清楚但你个人搞不清楚，这样的问题，都肯定是用“认为”做前提。观是推理的前提。但是推理前提有两种。一种是通过确凿的证据，提供完全能靠得住的东西，反正它就是这个样子。比如我们现在回过头来看，我们研究问题细致的大前提就搞清楚了。你说欧几里得几何呀，它是一个直线平面观集合。他认为这个世界是有直线和平面的，如果你发现这个世界没有直线没有平面，你要不认为这个世界有直线有平面，欧几里得几何怎么建立啊。两条直线两条平行线一定吗？不是啊，在平面几何中它能相交。那你就完了。你说射线是有始点没终点的，不是啊，有终点，它绕一圈又回来了，没射线啊。你可以想象一条直线，无论如何你造不出一条直线。说它直是你的测量手段的精确度太有限制了。

四、模型

科学为什么要建立模型呢？这是因为我们没有办法处理多元函数，我们知道科学最好不要建立模型，比如研究那棵树，就是那棵树，可是做不到，跟这个树相关的因素太多了。无限元处理不了，微分方程90%解决不了。模型设计因素多，解不了，因素少，但容易失真。因素尽可能少，失真度不大，就很不错了。但永远不可能达到规律本身，而只是逼近规律。没有任何科学体系的建立能够离开模型的，没有任何模型它不做简化的，既然简化它就已经是一种比值，它就不可能是揭示规律自身了。任何模型都有仿真度也有失真度。比如建立物理学，物理学当中讲运动学，没有质点的概念行吗？没有刚体的概念行吗？可质点上哪找去，一个东西有质量没体积，说有一个东西绝对硬，不管加多大力都不变形，这可能吗？这完全不可能，世界上没这样的东西。

数学与其它科学一样，都不过是人脑借助于模型和常数以逻辑的形式对规律的逼近体系。模型是简单性和代表性的对立统一，没有恰当的模型，就没有相对完善的科学。现行实数体系和现行集合元素就是现行数学的数-形模型，由于现行模型的残缺性，导致现行数学的科学性受到了严重的影响，现行微积分体系自相矛盾、漏洞百出的状况就是突出的证明。

我们说这个世界上的一切事物都是相互联系的，在联系当中要么交替的良性循环，要么交替的恶性循环。总而言之，他是在联系当中变化的。既然联系是无限的，因此要描述一个事物，描述每一个联系就要用一个变量，因此他的变量也是无限的。描述事物的函数就成为无穷元函数。谁又能处理无穷元函数，就是一百元函数也处理不了。通常处理三元函数就比较困难，有何况是无穷元呢！为了解决这个问题，再加上今天的数学水平不是很理想、很高的情况下，这里就产生了一个问题，就必须反复做模型，而且模型还要进行简化，模型只要一简化，你的模型和现实事物就已经保持一定的距离了。在这个模型基础之上抽象出来的各种关系就已经是一种逼近了，但是它即便是朝着准确目标无限的趋近下去，所以我们用逼近这个词来说。不管人类的数学发展到什么程度，无穷元函数是永远处理不了的问题，因此人类的科学体系，是朝着科学体系无限的逼近下去，你不可能永远是它自身。

五、李约瑟难题

李约瑟难题是英国学者李约瑟所提出的，其主题是:“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生?

说是先有鸡还是先有蛋?学了辩证法就很简单，这是一个现实中不存在的问题，主观杜撰的问题，无所谓先后的问题。粗略的说，有这么一条鱼，他向鸡进化的时候，鱼籽就向鸡蛋转化，当鱼转化到鸡时，鱼子也就转化成鸡蛋了。李约瑟提的问题也是这样，李误解在那里呢?

李约瑟先生研究中国科学技术史，近代中国为什么不产生近代科学?一回答这个问题他就从生产力角度去回答这个问题，即是否能促进生产力发展。当然，中国人科学研究没有及时符号化，这个说得很对。任何事物的发生他一定要有发生的动力，没有动力他不会发生，这是一个哲学命题，他总用生产力来解释科学会不会发生，用这样一个必要条件来解决所有问题不行，所以发生了李约瑟误解。所以这个问题不存在。

科学发生的动力有很多，不仅仅是生产力的因素。科学刚产生的时候没有任何价值。从开普勒谈起，他们的三大定律对生产力没有价值。李约瑟在这个地方就产生了误解。科学产生历史的动力是什么，是政治意义，是西方社会要进步，他就必须打破历时千年的神学统治，科学产生的意义是推翻圣经，首先推翻托勒密的体系。工人，农民对科学的产生没有兴趣，相反，神教对科学有兴趣，因为他怕被推翻。当时，科学的真正意义在推翻神学，是政治意义，政治意义是使得科学发生的动力。而在中国不存在漫长的中世纪，在利玛窦来中国的时候，中国虽然处在封建社会的末明，但那个时候还很鼎盛。中国人民对这个东西不感兴趣，这个东西不支持也不反对皇权，皇帝不感兴趣，不推行，在中国没有动力，所以不产生。科学也好，任何事物，他在不同的历史时期，他的动力完全可能由不同内容内成的。杨振宁先生把原因归结到易经上也是错误的。

六、数学哲学

数学是什么呢?数学的本质是不是自然科学?现在有些人说他是研究数量关系的不研究自然，未必是自然科学，那么数学究竟说的是什么呢?我的观念体系构成我的数学观、数学哲学。数学与哲学是一类，也是观念体系、方法论体系，不是自然科学，这个体系侧重数的关系，你的数学研究不可能超越你的数学观念体系，但数学提供大量的方法，怎样理解应用呢?数学与自然科学的共同点是它们都是对规律的逼近体系，而数学和自然科学的根本不同在于数学是纯形式科学。因此一个体系只要具备如下三个特点，就构成数学科学，而且是最成功的数学科学：第一，逻辑上是自洽的；第二，相对广的应用范围；第三，相对最佳的量和形以及自身结构规律的逼近等。

数学思想是什么？数学构造一个东西，只要不违反逻辑违反现实，数学就必须允许别人构造符号。你不要管我，我就构造一个方程式y=a+x，这样可以吧。搞数学就是抽象，搞明白很难。看懂推理过程对提高理解力是很有帮助的。

有和无怎么过渡，我们传统数学非常幼稚，线由点构成，面由点或线构成，体由点线面构成，而点是无长度，无面积无体积的，点只能标明位置。多少个无长度的东西也不能构成有长度的东西，这在逻辑上很荒唐。不过人类都相信这种鬼话，数学在基石上就存在很多问题，数学的科学程度很低。数学也将是一个无限深化的过程，他的前提就是错误的，以后的前提革命将导致数学的革命。我们数学也是假定很多前提，形成一个逻辑严密的体系。任何事物在尺寸往下变化的时候，会发生很多质的革命，人们根本没有考虑到这个问题，一尺之追，日取齐半，万世不竭。取到原子尺寸这个层面，数学就难用了。人类的物理和化学研究已经研究到微观的层次，并且以后将会更加微观，我们的数学不行了。我们的量子力学出现这么多问题，也和数学有关，而我们的很多物理学家都是硬着头皮往前走，不善于从哲学角度思考这个问题。从这个角度，数学的近似性就相当大，在有些问题上，数学就完全不适用了，比如超微观变，日取齐半，有量变到质变的过程，传统数学不考虑这些。比如，一个大树，取着取着就不是树了。传统的数学没有考虑到这个问题，所以说他的逼近关系比我所要重新建立的逼近关系差得太远了。我们按照这种基础建立的逼近关系，重新把数学，不管是代数也好，几何分析也好都可以重建。数学将发生重大革命，哲学和数学的革命将导致自然科学的重大革命。

以柯西为代表的数学家，他们不懂得创新源于直觉，理论成于反思，更不知道人的心理由相互独立而又相互作用的无意识、非自遣意识和自遣意识三个部分构成：不知道革命性的思想（即创新）在非自遣意识中发生和理论不过是自遣意识对前者的反思形式，也不知道反思要借助于模型来完成。以柯西为代表的数学家也不懂得形式逻辑仅是自遣意识中的逻辑，而形象逻辑才是非自遣意识中的逻辑，因此，也就不懂非自遣语言不可用自遣意识理解和评价。从而前辈光辉夺目的非自遣论断被误作呓语，于是，牛顿明知其不全对，而在莱布尼兹发表微积分成果的压力下不得不发表的尘封20年的自遣论述成为柯西的法宝。牛顿说：“严格地说，消失量的最终比不是最终量之比，而是这些无限减少的量的比的极限。"这样的话被柯西继承，而牛顿光辉夺目的非自遣论断:“弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比。”这样的充满真知灼见的思想却被抛到九霄云外。从而微积分的演化历史进入了长达189年的历史大迂回时期。

我们所做的工作分为三部分：第一，提出现行微积分原理在逻辑上不能自洽的依据；第二，修正了实数和点的规定性，从而形成了作为数学前提的新量-形模型；第三，构造了以“变化”(Werden)为核心的微积分体系，并在此基础上重新构造了微积分原理。在模型构造部分，与其强调其子原理的定理性，还不如说其子原理的公理性。对于这些公理性的东西，虽然未必可以由新的形式逻辑推演出来，但是它们必须不违背新的形式逻辑原则。这里所说的新形式逻辑体系是指修正后的形式逻辑，因为现行形式逻辑因缺少时限律会发生悖论，还因无法面对事物转化环节的亦此亦彼性而限制科学发展。

模型的缺陷或失真，必然导致科学的错误发生。现行量形模型由实数和点的性质决定，它的一个根本特点就是任意两个实数和点之间都可以插入无限多个实数和点，因此，实数集永远是不连续集，点构成的几何图形或流形永远是有空隙的。因此，在这样的模型下也就不可能有真正意义的连续，从而，也就不可能有量与形变化的中介，比如，回答有与无的过渡问题。这就是柯西勒贝格微积分原理科学性不佳的根本原因。

重建微积分原理引发的新量-形模型是对传统模型的修正，这修正表现在“变化”(Werden)范畴的建立，以及实数的扩张性和点的度量性的重新规定。在新的量-形模型之上，我们建立了新的微积分原理，也还将有更多的人据此梳理传统数学并建立辩证数学。这一切必将引发数学界的某些争论，这其中，关于逻辑自治性和逼近度的讨论是有意义的，对模型的批评是无意义的。因为，与其批评一个模型，不如构建一个更佳的新模型。

归根结底，数学是形式科学，而且是各门科学中形式化程度最高的科学。形式科学总要表现为以模型为前提的形式系统，模型源于现实，是对客观现实的概括和抽象，这种概括和抽象在保证其逻辑推演可行性的前提下，要尽可能地保持与现实的致性。一旦模型确定，这个形式系统只接受逻辑自洽性和逼近程度以及逼近角度的质疑，不再接受任何与现实一致性的质疑。不仅如此，它还要求研究者老老实实地理解本模型决定的相应公理。比如，与其说用 “变化”(Werden)证明“切代割”是定理，不如说是用“变化”(Werden)说明“切代割”；与其说“切代割”是定理，不如说“切代割”是新量-形模型下的公理。如果质疑者仍坚持自己的观点，那么，新的量形模型会说：请你构造更好的模型并建立新的形式体系。