只有一个圆时，最多能把平面分成圆内和圆外两个部分，这无可非议；

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第二个圆与第一个圆相交，有2个交点，这样增加了两个部分。

共有：2+2×1=2+2=4个部分。即2个圆最多能把平面分成4个部分；

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第三个圆与前两个圆相交，并且不与其它交点重合时，第三个圆上有2×2=4个交点，被分成4段圆弧，这样又增加了4个部分。

共有：2+1×2+2×2=4+4=8个部分。即3个圆最多能把平面分成8个部分；

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现在加入第4个圆，为了能使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，也就是2×3=6个交点。这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分。

共有：2+1×2+2×2+2×3=8+6=14个部分。即4个圆最多将平面分成14个部分；

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同理，5个圆最多将平面分成2+1×2+2×2+2×3+2×4=14+8=22个部分；

……

依此类推：

我们画第11个圆时，第11个圆必须与前面10个圆都有两个交点也就是2×10=20个交点，也就是增加了20个部分。

我们得到以下公式，n个圆最多分平面为：

2+1×2+2×2+2×3+2×4…+（n-1）×2

=2+2[1+2+…+（n-1）]

=n^2-n+2；

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当n=11时，最多可以分成：

2+1×2+2×2+2×3+2×4…+2×10

=11^2-11+2

=112（部分），

我们得到最后结果：11个圆最多可以把同一平面分成112个部分。