一、集合与简易逻辑
2001年
(1) 设全集，，，则是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 命题甲：A=B，命题乙：. 则（ ）
(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；
(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。
2002年
（1） 设集合，集合，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2） 设甲：，乙：，则（ ）
（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件；
（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
2003年
（1）设集合，集合，则集合M与N的关系是
（A） （B） （C） （D）
（9）设甲：，且 ；乙：直线与平行。则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2004年
（1）设集合，，则集合
（A） （B） （C） （D）
（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；
（C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
2005年
（1）设集合，，则集合
（A） （B） （C） （D）
（7）设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2006年
（1）设集合，，则集合
（A） （B） （C） （D）
（5）设甲：；乙：.
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；
（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2007年
（8）若为实数，设甲：；乙：，。则
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
2008年
（1）设集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（4）设甲：，则
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
二、不等式和不等式组
2001年
(4) 不等式的解集是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2002年
（14） 二次不等式的解集为（ ）
（A） （B）（C） （D）
2003年
（5）、不等式的解集为（ ）
（A） （ B） （C） （D）
2004年
（5）不等式的解集为
（A） （B） （C） （D）
2005年
（2）不等式的解集为
（A） （B） （C） （D）
2006年
（2）不等式的解集是
（A）（B）（C）（D）
（9）设，且，则下列不等式中，一定成立的是
（A） （B） （C） （D）
2007年
（9）不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
2008年
（10）不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
(由)
三、指数与对数
2001年
(6) 设，，，
则的大小关系为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(是减函数,时,为负；是增函数，时为正.故)
2002年
（6） 设，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10） 已知，则等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
（16） 函数的定义域是。
2003年
（2）函数的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
（6）设，则下列不等式成立的是
（A） （B） （C） （D）
（8）设，则等于
（A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4
[ ]
2004年
（16） 12
2005年
（12）设且，如果，那么
（A） （B） （C） （D）
2006年
（7）下列函数中为偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
（13）对于函数，当时，的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（14）函数的定义域是
（A） （B） （C） （D）
（19）1
2007年
（1）函数的定义域为
（A）R （B） （C） （D）
（2）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
（5）的图像过点
（A） （B） （C） （D）
（15）设，则
（A） （B） （C） （D）
2008年
（3）
（A）9 （B）3 （C）2 （D）1
（6）下列函数中为奇函数的是
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
（A） （B） （C） （D）
（9）函数的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3]
[由得，由得，故选（C）]
（11）若，则
（A） （B） （C） （D）
四、函数
2001年
(3) 已知抛物线的对称轴方程为,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
(A) (B) (C) (D)
(7) 如果指数函数的图像过点，则的值为（ ）
(A) 2 (B) (C) (D)
(10) 使函数为增函数的区间是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(13)函数是（ ）
(A) 是奇函数 (B) 是偶函数
(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数
(16) 函数的定义域为____________。
(21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线对称，其中一个函数的表达式为,求另一个函数的表达式。
解法一 函数的对称轴为，
顶点坐标:，
设函数与函数关于对称，则
函数的对称轴
顶点坐标: ，
由得：，
由得：
所以，所求函数的表达式为
解法二 函数的对称轴为，所求函数与函数关于对称，则所求函数由函数向轴正向平移个长度单位而得。
设是函数上的一点，点是点的对称点，则
，，将代入
得:.即为所求。
(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本元时，售出总量为本。如果售价上涨%，预计售出总量将减少%，问为何值时这种书的销售总金额最大。
解 涨价后单价为元/本，售量为本。设此时销售总金额为，则：
，令，得
所以，时，销售总金额最大。
2002年
（9） 若函数在上单调，则使得必为单调函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
（10） 已知，则等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
，
（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（21）（本小题12分） 已知二次函数的图像与轴有两个交点，且这两个交点间的距离为2，求的值。
解 设两个交点的横坐标分别为和，则和是方程的两个根，
得：，
又得：，
（22）（本小题12分） 计划建造一个深为，容积为的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？
解 设池底边长为、，池壁与池底造价的造价之和为，则，
故当，即当时，池壁与池底的造价之和最低且等于：
答：池壁与池底的最低造价之和为22400元
2003年
（3）下列函数中，偶函数是
（A） （B） （C） （D）
（10）函数在处的导数为
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4
（11）的定义域是
（A） （B） （C） （D）
（17）设函数，则函数
（20）（本小题11分） 设，，，，求的值.
解 依题意得：
， ，
（21）（本小题12分） 设满足，求此函数的最大值.
解 依题意得：
，即，得：
，
可见，该函数的最大值是8（当时）
2004年
（10）函数
（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数
（15），则
（A）27 （B）18 （C）16 （D）12
（17）13
，
（20）（本小题满分11分） 设函数为一次函数，，，求
解 依题意设，得，得，，
（22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄；若多种一株，每株减产。试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值.
解 设种（）株葡萄时产量为S，依题意得
，，
所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600.
2005年
（3）设函数，则
（A） （B） （C） （D）
（6）函数的定义域是
（A） （B） （C） （D）
（9）下列选项中正确的是
（A） 是偶函数 （B） 是奇函数
（C） 是偶函数 （D） 是奇函数
（18）设函数，且，，则的值为 7
注：
（23）（本小题满分12分）
已知函数的图像交y轴于A点，它的对称轴为；函数的图像交y轴于B点，且交于C.
（Ⅰ）求的面积
（Ⅱ）设，求AC的长
解（Ⅰ）的对称轴方程为：
依题意可知各点的坐标为、、
得：
在中，AB边上的高为1（），因此，
（Ⅱ）当时，点C的坐标为C（1，3），故
2006年
（4）函数的一个单调区间是
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函数中为偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（2，0），则该函数的解析式为
（A） （B） （C） （D）
（10）已知二次函数的图像交轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为
（A） （B） （C） （D）
（17）已知P为曲线上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是
（A） （B） （C） （D）
（20）直线的倾斜角的度数为
2007年
（1）函数的定义域为
（A）R （B） （C） （D）
（5）的图像过点
（A） （B） （C） （D）
（6）二次函数图像的对称轴方程为
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
（10）已知二次函数的图像过原点和点，则该二次函数的最小值为
（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12
（18）函数在点处的切线方程为
（21）设，则
2008年
（5）二次函数图像的对称轴方程为
（A） （B） （C） （D）
（6）下列函数中为奇函数的是
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函数中，函数值恒大于零的是
（A） （B） （C） （D）
（8）曲线与直线只有一个公共点，则k=
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7
（9）函数的定义域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（∞，3]
[由得，由得，故选（C）]
（13）过函数上的一点P作轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则的面积为
（A）6 （B）3 （C）12 （D）1
[设Q点的坐标为，则]
五、数列
2001年
(11) 在等差数列中，，前5项之和为10，前10项之和等于（ ）
(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70
注：，
(23) (本小题11分) 设数列，满足，且。
(i)求证和都是等比数列并求其公比；
(ii)求，的通项公式。
证(i)
:
:
可见与的各项都不为0.
， 所以，是等比数列且其公比为
所以，是等比数列且其公比为
(ii) 由得
， 得：
2002年
（12） 设等比数列的公比，且，则等于（ ）
（A）8 B．16 （C）32 （D）64
（24）（本小题12分）数列和数列的通项公式分别是，。
（Ⅰ）求证是等比数列；
（Ⅱ）记，求的表达式。
证（Ⅰ）因，，故为正数列。当时
可见的公比是常数，故是等比数列。
（Ⅱ）由，得：
2003年
（23）已知数列的前项和.
（Ⅰ）求的通项公式，
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
解（Ⅰ）当时，，故，
当时，，
故，，所以，
（Ⅱ），
∵ ，∴不是等比数列
∵， ∴是等差数列
的前n项和：
2004年
（7）设为等差数列，，，则
（A） （B） （C） （D）
（23）（本小题满分12分） 设为等差数列且公差d为正数，，，，成等比数列，求和.
解 由，得，
由，，成等比数列，得
由，得，
2005年
（13）在等差数列中，，，则
（A） （B） （C） （D）22
（22）（本小题满分12分） 已知等比数列的各项都是正数，，前3项和为14。求：
（Ⅰ）数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前20项之和。
解（Ⅰ），
得，，所以，
（Ⅱ），
数列的前20项的和为
2006年
（6）在等差数列中，，，则
（A）11 （B）13 （C）15 （D）17
（22）（本小题12分） 已知等比数列中，，公比。求：
（Ⅰ）数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前7项的和。
解（Ⅰ），，，
（Ⅱ）
2007年
（13）设等比数列的各项都为正数，，，则公比
（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3
（23）（本小题满分12分） 已知数列的前n项和为,
（Ⅰ）求该数列的通项公式；
（Ⅱ）判断是该数列的第几项.
解（Ⅰ） 当时，
当时，，满足，
所以，
（Ⅱ） ，得.
2008年
（15）在等比数列中, ，，
（A）8 （B）24 （C）96 （D）384
（22）已知等差数列中，，
（Ⅰ）求等差数列的通项公式
（Ⅱ）当为何值时，数列的前项和取得最大值，并求该最大值
解（Ⅰ）设该等差数列的公差为，则
，，
将代入得：，
该等差数列的通项公式为
（Ⅱ）数列的前项之和
，，
六、导数
2001年
(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本元时，售出总量为本。如果售价上涨%，预计售出总量将减少%，问为何值时这种书的销售总金额最大。
解 涨价后单价为元/本，售量为本。设此时销售总金额为，则：
, 令，得
所以，时，销售总金额最大。
2002年
（7） 函数的最小值是
（A） （B） （C） （D）
（22）（本小题12分） 计划建造一个深为，容积为的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？
解 设池底边长为、，池壁与池底造价的造价之和为，则，
答：池壁与池底的最低造价之和为22400元
2003年
（10）函数在处的导数为
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4
2004年
（15），则
（A）27 （B）18 （C）16 （D）12
2005年
（17）函数在处的导数值为 5
（21）求函数在区间的最大值和最小值（本小题满分12分）
解 令，得，（不在区间内，舍去）
可知函数在区间的最大值为2，最小值为2.
2006年
（17）已知P为曲线上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是
（A） （B） （C） （D）
2007年
（12）已知抛物线上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
（18）函数在点（1，2）处的切线方程为
［，，即］
2008年
（8）曲线与直线只有一个公共点，则
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7
（25）已知函数，且
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
解（Ⅰ），，
（Ⅱ）令，得：，，
，，，，
所以，在区间上的最大值为13，最小值为4.
七、平面向量
2001年
(18)过点且垂直于向量的直线方程为。
2002年
（17）已知向量，向量与方向相反，并且，则等于。
解 设，因向量与方向相反（一种平行），故，即，
将①与②组成方程组： ，解得：，故
也可这样简单分析求解：
因，，是的二倍，与方向相反，故
2003年
(13)已知向量、满足，，，则
（A） （B） （C）6 （D）12
2004年
（14）如果向量，，则等于
（A）28 （B）20 （C）24 （D）10
2005年
（14）已知向量满足，，且和的夹角为，则
（A） （B） （C） （D）6
2006年
（3）若平面向量，，，则的值等于
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2007年
（3）已知平面向量，，则
（A） （B） （C） （D）
2008年
（18）若向量，，，则
八、三角的概念
2001年
(5) 设角的终边通过点，则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
（5） 已知，，则等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）－1
2003年
（4）已知，则
（A） （B） （C） （D）
2007年
（11）设，为第二象限角，则
（A） （B） （C） （D）
九、三角函数变换
2002年
（3） 若，，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2003年
（19）函数的最大值是
2004年
（9）
（A） （B） （C） （D）
（17）函数的最小值为13
2005年
（10）设，，则
（A） （B） （C） （D）
2006年
（）在中，，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
2007年
（19）的值为
十、三角函数的图像和性质
2001年
(14)函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2005年
（4）函数的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
（20）（本小题满分11分）
（Ⅰ）把下表中的角度值化为弧度值，计算的值填入表中：
的角度值
的弧度值
(精确到0.0001)
（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数在区间上的图像
解（Ⅰ）
的角度值
的弧度值 0
(精确到0.0001) 0 0.0019 0.0159 0.0553 0.1388 0.2929
（Ⅱ）
2006年
（18）函数的最小正周期是
2007年
(4)函数的最小正周期为
（A） （B） （C） （D）
2008年
（2）函数的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
十一、解三角形
2001年
(20) (本小题11分) 在中，已知，，，求（用小数表示，结果保留到小数点后一位）。
解 ， ，
2002年
（20)（本小题11分） 在中，已知，且，求（精确到）。
解
2003年
（22）（本小题12分）
如图，某观测点B在A地南偏西方向，由A地出发有一条走向为南偏东的公路，由观测点B发现公路上距观测点的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测得，，问汽车还要行驶多少km才可到达A地（计算结果保留两位小数）
解
∵，，
∴是等边直角三角形，
答：为这辆汽车还要行驶才可到达A地
2004年
（21）（本小题满分12分） 已知锐角的边长AB=10，BC=8，面积S=32.求AC的长（用小数表示，结果保留小数点后两位）
2006年
（23）（本小题12分） 已知在中，，边长，.
（Ⅰ）求BC的长
（Ⅱ）求值
（Ⅱ）
2007年
（22）（本小题满分12分） 已知的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求
（Ⅰ）的正弦值；
（Ⅱ）的面积.
解（Ⅰ），
（Ⅱ）的面积
2008年
（20）在中，若，，，则AB=
（23）如图，塔与地平线垂直，在点测得塔顶的仰角，沿方向前进至点，测得仰角，A、B相距，求塔高。（精确到）
解 由已知条件得：，，
十二、直线
2001年
(18)过点且垂直于向量的直线方程 。
2002年
（4）点关于轴的对称点的坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（18）在轴上截距为3且垂直于直线的直线方程为 。
2003年
（16）点到直线的距离为
2004年
（4）到两定点和距离相等的点的轨迹方程为 .
（A） （B） （C） （D）
（12）通过点且与直线垂直的直线方程是 .
（A） （B） （C） （D）
（20）（本小题满分11分） 设函数为一次函数，，，求
解 依题意设，得，得，，
2005年
（16）过点且与直线垂直的直线方程为
2006年
（8）设一次函数的图像过点）和，则该函数的解析式为
（A） （B） （C） （D）
（20）直线的倾斜角的度数为
2008年
（14）过点且与直线垂直的直线方程为
（A） （B） （C） （D）
［直线的斜率为，所求直线的斜率为，由点斜式方程可知应选（A）］
（19）若是直线的倾斜角，则
十三、圆
2006年
（24）（本小题12分）
已知的圆心位于坐标原点, 与轴的正半轴交于A，与轴的正半轴交于B，
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设P为上的一点，且，求点的坐标。
解（Ⅰ）依题设得，，
故的方程：
（Ⅱ）因为，，所以AB的斜率为。
过且平行于AB的直线方程为.
由得：，
所以，点的坐标为或
2008年
（24）已知一个圆的圆心为双曲线的右焦点，并且此圆过原点.
（Ⅰ）求该圆的方程；
（Ⅱ）求直线被该圆截得的弦长.
解（Ⅰ），
双曲线的右焦点坐为 ，
圆心坐标，圆半径为。
圆的方程为
（Ⅱ）因直线的倾角为，
故
所以，直线被该圆截得的弦长为
十四、圆锥曲线
2001年
(3) 已知抛物线的对称轴方程为,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 点为椭圆上一点，和是焦点，则的值为（ ）
(A) 6 (B) (C) 10 (D)
(9) 过双曲线的左焦点的直线与这双曲线交于A,B两点，且，是右焦点，则的值为（ ）
(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27
，
(24) (本小题11分) 已知椭圆和点，设该椭圆有一关于 轴对称的内接正三角形，使得为其一个顶点。求该正三角形的边长。
解 设椭圆的关于 轴对称的内接正三角形为，，则：
，，，，
由于，所以，
因，，，于是的边长为
2002年
（8） 平面上到两定点，距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（23）（本小题12分） 设椭圆的焦点在轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两
点，使得OP所在直线的斜率为1，，若的面积恰为，求该椭圆的焦距。
解 设、，因，故.又因所在直线的斜率为1，故
。
将代入，得：
，即，
解得：
由得该椭圆的焦距：
2003年
（14）焦点、且过点的双曲线的标准方程为
（A） （B） （C） （D）
（15）椭圆与圆的公共点的个数是
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
（24）已知抛物线的焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与轴不垂直）.
（Ⅰ）若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证；
（Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆相内切.
证明：（Ⅰ）由得抛物线准线方程，
设、，则 ，
的斜率， 的斜率
∵ ， ∴
（Ⅱ）设的斜率为，则A、C、F所在的直线的方程为
设、，因A、C在抛物线上（AC与轴不垂直），故满足下列方程组：
将①代入②消去得：
，，
因
故
将代入②消去得：，
因
故，，因此，以AC为直径的圆的圆心为
因，，故，得：
AC为直径的圆的半径， 又定圆心为，半径，可得
因此，这两个圆相内切
2004年
（6）以椭圆的标准方程为的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于
（A）12 （B） （C）13 （D）18
（13）如果抛物线上的一点到其焦点的距离为8，则这点到该抛物线准线的距离为
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
（24）（本小题满分12分） 设A、B两点在椭圆上，点是A、B的中点.
（Ⅰ）求直线AB的方程
（Ⅱ）若椭圆上的点C的横坐标为，求的面积
解（Ⅰ）所求直线过点，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为，
A、B两点既在直线，又在椭圆，即A、B两点的坐标满足方程组
，将②代入①得：
此方程的判别式：
因此它有两个不等的实数根、.
由得：，解得
将代入得直线AB的方程：
（Ⅱ）将代入方程③，解得，又得，
即A、B两点的坐标为A（0，1），B（2，0），于是
由于椭圆上的点C的横坐标为，故点C的坐标为C（，）
点C到直线AB的距离为：
或
所以，的面积为：
或
2005年
（5）中心在原点，一个焦点在且过点的椭圆方程是
（A） （B） （C） （D）
（8）双曲线的焦距是
（A） （B） （C）12 （D）6
（24）（本小题满分12分）
如图，设、是椭圆：长轴的两个端点，
是的右准线，双曲线：
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设P为与的一个交点，直线PA1与的另一个交
点为Q，直线PA2与的另一个交点为R.求
解（Ⅰ）椭圆的半焦距，右准线的方程
（Ⅱ）由P为与的一个交点的设定，得或。由于是对称曲线，故可在此两点中的任意一点取作图求，现以P进行计算。
由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为，PA2的方程为
解 得，解 得，
2006年
（15）设椭圆的标准方程为，则该椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
2007年
（12）已知抛物线上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为
（A）或 （B） （C） （D）
（14）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为
（A）8 （B）6 （C）4 （D）2
（24）（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于3，并且过点，求：
（Ⅰ）双曲线的标准方程
（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程
解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为，
故，
将点代入，
得：
故双曲线的标准方程为
（Ⅱ）双曲线焦点坐标：，双曲线准线方程：
十五、排列与组合
2001年
(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为（ ）
(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60
解法一 分步法
①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为；
②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为。
根据分步计数原理，总排列数为
解法二 分类法
将同一厂家的2部手机看成手机“”.
①手机“”排在1位，有种排法（、、、、）；
②手机“”排在2位，有种排法；
③手机“”排在3位，有种排法；
④手机“”排在4位，有种排法；
上述排法共24种，每种排法中手机“”各有二种排法，故总排列数为：
2002年
（11） 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有（ ）
（A）6个 （B）12个 （C）18个 （D）24个
解法一 ①从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为；
②将0排在首位的排列数为，而0不能排在首位；
总排列数减去0排在首位的排列数即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数的个数为
解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有种取法；
第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有种取法；
第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有种取法；
第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有种取法.
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。
.
解法三 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有种取法；
第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有种取法；
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。
解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有；
第二类：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有；
第三类：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有；
根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有：
2003年
（7）用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有
（A）64个 （B）16个 （C）48个 （D）12个
解法一 ①从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为；
②将0排在首位的排列数为，而0不能排在首位；
总排列数减去0排在首位的排列数即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数的个数为
解法二 第一步：.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有种取法；
第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取一个排在第二位，有种取法；
第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有种取法；
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。
.
解法三 第一步：从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有种取法；
第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取二个排在十位、个位，有种取法；
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有。
解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有；
第二类：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有；
第三类：0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有；
根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：
解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)
第一类：1排在百位的数是，共12个；
第二类：2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；
第三类：3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；
第四类：4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；
根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：个。
2004年
（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是
（A）50 （B）100 （C） （D）90（）
2005年
（11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有
（A）12种 （B）8种 （C）6种 （） （D）4种
2006年
（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有
（A）种 （B）种 （C）种 （） （D）种
2007年
（16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？
（A）400 （B）380 （C）240 （D）190
2008年
（12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有
（A）4种 （B）8种 （C）10种 （D）20种
（甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为）
十六、概率与统计初步
2001年
(15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2002年
（15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（19）设离散型随机变量的概率分布列是
－2 0 1 2
0．3 0．2 0．1 0．4
则的数学期望是 0.3 （）。
2003年
（12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是
（A） （B） （C） （D）
（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下
99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110
则该篮球队得分的样本方差为 56.16
2004年
（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是
（A） （B） （C） （D）
（19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm）
180， 188， 200， 195， 187
则身高的样本方差为 47.6
2005年
（15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为
（A） （B） （C） （D）
（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下：
98.6，100.1，101.4，99.5，102.2
该样品的方差为 1.7 （）（精确到0.1）
列表求解如下：
98.6 100.1 101.4 99.5 102.2
1.76 0.26 1.04 0.86 1.84
3.0976 0.0676 1.0816 0.7396 3.3856
2006年
（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个小球，则取出的两个球上所标示数字的和为3的概率是
（A） （B）() （C） （D）
（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm）
13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6
则该样本的方差为 0.2725
2007年
（17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为
（A）0.01 （B）0.02 （C）0.28 （D）0.72
（20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11
则该样本的方差为 4.5
2008年
（16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是
（A） （B） （C） （D）
（21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下:
1004 1001 998 999 1003
则该样本的样本方差为 5.2 cm2